4 IL DIFFUSORE

4.1

Introduzione

Questo capitolo è dedicato allo studio preliminare del diffusore. Il diffusore è l’elemento centrale dell’impianto di recupero di pressione per la galleria del vento e da esso dipende, in massima parte, il dimensionamento di tutti gli altri componenti, nonché le prestazioni finali dell’impianto stesso.

Nella prima parte del capitolo sono presentati gli aspetti più importanti del problema, insieme ai risultati più significativi, messi in luce dalle pubblicazioni sull’argomento. Nella seconda parte, invece, viene presentato un metodo approssimato per il calcolo, non viscoso, del tratto convergente del diffusore con forma conica. Tale metodo, basato sulle relazioni dell’urto obliquo, è utile sia per la comprensione dei fenomeni in gioco e del ruolo dei singoli parametri, e sia per ottenere una prima stima, seppur grossolana, delle prestazioni ottenibili.

4.2

La compressione supersonica

Il problema classico della ricompressione di un flusso supersonico, è sicuramen-te uno dei più affascinanti di tutta l’aerodinamica ed ancora oggi, nonostansicuramen-te decenni di studi, è lontano da una completa comprensione. Applicazioni tipiche che richiedono la ricompressione di flussi supersonici sono, le prese d’aria degli aerei supersonici e i diffusori delle gallerie del vento. A questo secondo aspetto sono dedicati i seguenti paragrafi.

4.2.1 Diffusori per gallerie del vento supersoniche

Nella progettazione delle gallerie del vento supersoniche, specialmente se di grandi dimensioni, un aspetto di fondamentale importanza è il recupero di pressione totale a valle della sezione di prova. In questo modo è infatti possibile ridurre drasticamente la potenza necessaria al mantenimento del flusso. Per una galleria supersonica continua a circuito chiuso del tipo di Figura 4.1, la potenza teorica per unità di area di prova necessaria è data da [1]:

( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − λ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + γ − γ γ = γ − γ ∗ − γ + γ 1 A A a p 1 2 1 A P 1 0 0 1 2 1 (4.1)

dove p0 e a0 sono rispettivamente i valori di ristagno della pressione e della

velocità del suono a monte dell’ugello, A*_{/A è il rapporto delle aree dell’ugello e}

dipende dal numero di Mach di prova, infine λ è il rapporto tra la p0 e la pressione

di ristagno a valle del diffusore p′₀. Se ad esempio si considera l’aria come fluido di lavoro, alle condizioni di ristagno dell’atmosfera standard p0=101325 Pa e

a0=340,6 m/s, si ottiene

(

)

dove il primo termine è espresso in W/mm2_{. Considerando il caso in cui M=3, se si}

suppone che la compressione del gas avvenga mediante un urto normale si avrà λ≅3 e quindi P/A=6.1 W/mm2_{. Impiegando un diffusore bidimensionale a geometria}

variabile, si può ottenere, in base agli esperimenti compiuti da Neumann e Lustwerk ([2]), un recupero di pressione di ristagno del 53% circa (λ≅1.89), per il quale si ha P/A=3.3 W/mm2 _{con un risparmio di potenza del 46% a parità di area.}

Figura 4.1 Tipica configurazione di una galleria del vento supersonica ([1]). L’esempio precedente dimostra come l’efficienza del recupero di pressione totale

tratto divergente. Questo configurazione tuttavia non è realizzabile in pratica per diverse ragioni, prima fra tutte l’intrinseca instabilità che l’accompagna ([3]). Si supponga, infatti, che un tale flusso sia stato instaurato in un condotto convergente-divergente, in tal caso la portata di massa in ingresso al diffusore non è influenzata da ciò che accade a valle della gola, poiché il tratto convergente è interamente supersonico. In questo modo, se un disturbo proveniente dalla regione subsonica raggiunge la sezione ristretta facendo momentaneamente diminuire la portata di massa, viene a crearsi un accumulo di fluido davanti alla gola con conseguente onda d’urto. Poiché a causa dell’onda d’urto la velocità nella gola non può più essere sonica, la massima portata di massa non può essere ristabilita neanche una volta che il disturbo sia cessato. L’accumulo di fluido nel convergente è perciò destinato a proseguire facendo muovere l’urto normale verso monte fino ad uscire dall’imbocco del convergente, permettendo così al flusso in eccesso di spillare all’esterno.

Gli esperimenti su diffusori progettati per produrre compressioni isoentropiche hanno confermato l’instabilità di questa soluzione con relativa formazione di un’onda d’urto normale davanti all’imbocco. Si è osservato anche che adottando una sezione di gola maggiore rispetto al suo valore sonico, si ottiene una configurazione stabile con il tratto convergente supersonico e un’onda d’urto posizionata nel tratto divergente ([3]). La posizione di tale urto è determinata dalla pressione a valle, all’aumentare di quest’ultima l’onda si avvicina alla gola, mentre si allontana al suo diminuire; spostandosi, l’onda d’urto varia anche la sua intensità. Di particolare interesse è ovviamente la caduta di pressione totale dell’onda che, generalmente, costituisce la principale fonte di perdite dell’intero diffusore. Le perdite minori si hanno con l’urto posizionato il più vicino possibile alla sezione ristretta, dove il numero di Mach è minimo, e la loro entità dipende dalla contrazione ψ del convergente (o contraction ratio), ovvero dal rapporto dell’area in ingresso e dell’area minima del diffusore. Maggiori ψ producono numeri di Mach minori nella gola e quindi minori perdite per urto.

In letteratura viene spesso definita l’efficienza del diffusore η come il rapporto tra l’incremento isoentropico di entalpia e la variazione di energia cinetica del flusso tra l’ingresso e l’uscita, ovvero

( )

dove in genere il termine relativo alla velocità in uscita Ve è trascurabile e può

essere omesso.

4.2.2 Effetti di una seconda gola sull’avvio di un flusso supersonico

Nella configurazione classica delle gallerie del vento supersoniche la maggiore limitazione esistente su ψ è dovuta alla presenza della seconda gola, che complica l’avvio dell’impianto ([1],[4],[5]).

Figura 4.2 Schema di un condotto con ugello, sezione di prova e diffusore ([4]). Con riferimento alla Figura 4.2, si supponga di avere un condotto composto da un ugello di espansione, un tratto a sezione costante (sezione di prova o test section) e un diffusore. Considerando la pressione p0 del serbatoio a monte fissata

e gli effetti della viscosità del fluido trascurabili, si suppone di abbassare progressivamente la pressione a valle del diffusore in modo da poter ritenere il processo quasi stazionario.

L’evoluzione del flusso può essere suddivisa in quattro fasi successive come mostrato in Figura 4.3:

• Inizialmente si instaura in tutto il condotto un flusso subsonico (caso A di figura) in cui la pressione di ristagno è costante p0=p′0 e la portata di massa

aumenta al diminuire della pressione a valle p2 secondo la relazione

γ γ − γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − γ γ = 1 0 2 1 0 2 0 0 2 p p p p 1 1 2 RT p A m& (4.4)

dove A2 è la sezione del condotto di uscita a valle del diffusore. In questo caso si

avrà, in corrispondenza delle due sezioni ristrette, un minimo di pressione e un massimo del numero di Mach.

Figura 4.3 Avvio del flusso in un condotto supersonico in presenza di una seconda gola.

• Quando p2 raggiunge un certo valore, che può essere determinato imponendo

l’uguaglianza tra (4.4) e (4.5), si raggiunge la condizione sonica nella gola dell’ugello1_{. In questo caso l’ugello si dice ‘bloccato’ (chocked) poiché la portata}

di massa che lo attraversa si mantiene costante, con valore dato dalla (4.5), anche se la pressione a valle continua a diminuire:

( 1) ( 1) 0 * 0 1 2 RT A p m − γ + γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + γ γ = & (4.5)

Un ulteriore abbassamento della p2 determina la formazione di un’onda d’urto

normale a ridosso della gola dell’ugello che si sposta progressivamente lungo il tratto divergente al decrescere della pressione a valle (caso B di figura). L’onda d’urto causa una caduta di pressione totale la cui intensità dipende dalla posizione dell’onda stessa, in particolare maggiore sarà la distanza dell’urto dalla gola, minore sarà la pressione totale a valle p′₀. Applicando la (4.5) alla gola del diffusore si vede che al diminuire della pressione di ristagno

1 _{si è implicitamente ammesso che la sezione ristretta del diffusore abbia area}

maggiore di quella dell’ugello per evitare che il bloccaggio avvenga prima nel diffusore.

decresce anche la massima portata che il diffusore è in grado di smaltire. Se perciò viene raggiunta la condizione

* 2 * 1 0 0 _A A p p′ = (4.6)

il diffusore si troverà a lavorare alla massima portata di massa consentita (caso B′ di figura), ovvero sarà a sua volta bloccato e non sarà più possibile ottenere un flusso supersonico in uscita dall’ugello. Infatti, poiché nella gola del diffusore si è raggiunto la velocità del suono, qualsiasi ulteriore abbassamento della pressione a valle non ha più alcun effetto sulla configurazione del flusso nel condotto a monte, che resta sostanzialmente immutata con un’onda d’urto posizionata nel divergente dell’ugello, un flusso subsonico nella sezione di prova e nel convergente del diffusore e un secondo urto nel tratto divergente del diffusore. Risulta chiaro quindi che, per poter avviare correttamente la galleria, l’area *

2

A deve essere abbastanza grande da consentire il passaggio dell’onda d’urto prima nella test section e poi nel diffusore. Questo si traduce nell’imporre che il primo membro della (4.6) sia sempre maggiore del secondo, in particolar modo si può far riferimento al caso più sfavorevole ovvero quello in cui l’urto normale avviene nella sezione di prova. In termini di massimo rapporto di contrazione ψmax e di numero di

Mach nella test section M1 si ottiene ([3])

( )

₍

₎

(

)

In Figura 4.4è stato riportato l’inverso di ψmax in funzione di M1.

• Se il bloccaggio della seconda gola è evitato, continuando ad abbassare la pressione a valle, l’onda d’urto passerà prima nella sezione di prova (caso C di figura) e quindi nel diffusore. La pressione totale a valle p₀′ raggiunge il suo valore minimo in corrispondenza del caso C, per poi tornare a salire quando l’urto entra nel convergente del diffusore. Il massimo recupero di pressione totale avviene quando l’urto è posizionato nella gola del diffusore, in Figura 4.4 è riportato l’inverso del valore minimo teorico ottenibile per λ. Per ragioni di stabilità è tuttavia conveniente che l’onda d’urto risieda leggermente a valle della gola (caso D di figura).

Figura 4.4 Massimo rapporto di contrazione del diffusore ψmax consentito per

avviare la galleria, minima perdita di pressione totale λmin ed efficienza η in

funzione del numero di Mach nella sezione di prova.

Dalla Figura 4.1 emerge chiaramente come il vincolo sul massimo rapporto di contrazione del diffusore limiti fortemente la capacità di quest’ultimo di fornire buone prestazione in termini di recupero di pressione totale, specialmente ad elevati numeri di Mach. Ad esempio, con un flusso a Mach 5 in ingresso, la massima contrazione che consente l’avvio del flusso è pari a circa 1.54 e il massimo recupero di pressione in queste condizioni è solo del 9.5%. Per rimuovere questo ostacolo e migliorare quindi le prestazioni delle gallerie supersoniche sono disponibili, almeno in via teorica, diverse soluzioni. Dato che il ψmax aumenta con

M1, si potrebbe pensare ad esempio di creare un overshoot iniziale del numero di

Mach. Così facendo si crea inizialmente un flusso con portata di massa minore di quella di design, in modo da consentire all’onda d’urto di superare la test section ed entrare nel diffusore. Una volta che l’urto ha oltrepassato la gola il numero di Mach può essere riportato al valore prefissato ripristinando così la portata. Questo tipo di soluzione ha trovato applicazione soprattutto in campo aeronautico, per ovviare ai problemi di avvio dei diffusori dei motori degli aerei supersonici ([6]). In tal caso infatti un limitato incremento del Mach di volo iniziale non presenta particolari problemi. Si noti comunque che, in base alle curve di Figura 4.4, questa soluzione è conveniente solo per velivoli con Mach di crociera non troppo elevati, e comunque i guadagni in termini di pressione totale che si ottengono sono piuttosto limitati. Nel caso di una galleria del vento questo tipo di soluzione non è ingegneristicamente praticabile. Essendo il numero di Mach nella test section, fissato dal rapporto delle aree dell’ugello, poterlo cambiare significherebbe dover

realizzare un ugello a geometria variabile, il che ovviamente comporta un notevole peggioramento della qualità del flusso in uscita, incompatibile con gli scopi applicativi di una galleria del vento. Una soluzione più conveniente è allora quella di adottare il diffusore a geometria variabile. In questo caso la sezione di gola potrebbe essere inizialmente portata ad un valore che consenta l’avvio senza problemi del flusso supersonico e, una volta che l’onda d’urto si trova nel tratto divergente del diffusore, ristretta in modo da aumentare il rapporto di contrazione e quindi la pressione totale a valle.

La complessità costruttiva di un condotto convergente-divergente con sezione di gola di area variabile, impone la massima semplificazione della geometria del condotto stesso. Per questo motivo, anziché adottare forme particolarmente accurate come si fa per l’ugello, per il diffusore si preferisce utilizzare pareti piane (nel caso bidimensionale) o coniche (nel caso assialsimmetrico).

In realtà, tutta una serie di altre considerazioni rendono ingiustificata la realizzazione di diffusori con pareti sagomate, anche nel caso di esemplari a geometria fissa:

• nelle applicazioni in galleria del vento il diffusore non è soggetto a particolari esigenze per quanto riguarda il flusso in uscita, come invece avviene per l’ugello che ha lo scopo di produrre un getto il più uniforme possibile e con determinate caratteristiche. L’unico requisito del diffusore è quello di rallentare il flusso a velocità subsonica con una perdita accettabile di pressione di ristagno.

• al contrario di quanto avviene nell’ugello, nel diffusore la presenza di un forte gradiente di pressione avverso genera l’ispessimento dello strato limite, che può occupare una parte molto rilevante se non addirittura riempire completamente la sezione di passaggio. In queste circostanze non è possibile tenere conto degli effetti dello strato limite attraverso semplici formule di correzione del flusso non viscoso. Specialmente ad alti numeri di Mach, i fenomeni di interazione viscosa possono radicalmente modificare la configurazione del flusso, vanificando qualsiasi tentativo di trattazione teorica.

• Anche supponendo di avere gli strumenti per poter progettare e realizzare un diffusore di forma ideale, rimane comunque un problema di fondo. Infatti, nella maggior parte delle applicazioni, il flusso in ingresso non è uniforme, ma è fortemente perturbato dal modello e dalle sonde presenti nella sezione di prova, con presenza di onde d’urto, vorticità, non stazionarietà, turbolenza ed altri fenomeni variabili da caso a caso.

Per quanto riguarda le soluzioni costruttive adottate per realizzare diffusori a geometria variabile, nella figura seguente ne sono mostrati due esempi, entrambi testati nei primi anni ’50 al Massachusetts Institute of Technology (M.I.T.). Dopo un primo, fallimentare, tentativo di ottenere buone performance con il dispositivo di Figura 4.5 in alto, si è passati alla configurazione in basso con risultati più incoraggianti come dimostrano i risultati sperimentali raccolti in Figura 4.6.

Figura 4.5 Soluzioni costruttive per il diffusore a geometria variabile ([2]). L’adozione di una geometria con pareti piane o coniche comporta necessariamente l’introduzione di ulteriori perdite nelle prestazioni del diffusore. In questo caso infatti, pur trascurando gli effetti della viscosità, la compressione nel tratto convergente non può più essere ritenuta isoentropica poiché avrà luogo per mezzo di una serie di urti obliqui. Il limite teorico di recupero di pressione in questa nuova configurazione mostrato in Figura 4.6, è stato ricavato da Neumann e Lustwerk ([2]), mediante le relazioni dell’urto obliquo supponendo una configurazione di urti del tipo di Figura 4.7. Un ampliamento di questo metodo applicabile al caso assialsimmetrico sarà esposto nel paragrafo 4.4.

Dal grafico di Figura 4.6 si possono trarre una serie di interessanti conclusioni: 1. per i diffusori a geometria fissa il recupero di pressione effettivo è di un 10%

circa inferiore a quello massimo teorico. Tale inefficienza è da attribuirsi in massima parte al cattivo funzionamento del tratto convergente. Infatti, i modelli sprovvisti di convergente iniziale forniscono, come si vede, prestazioni in linea con quelle previste dalla teoria unidimensionale. L’aggiunta del tratto convergente, invece, produce benefici nettamente inferiori a quelli predetti con il modello non viscoso (quantificabili in 3÷4 punti percentuali) probabil-mente a causa dell’interazione tra gli urti obliqui e lo strato limite.

2. i diffusori a sezione circolare sembrano avere prestazioni leggermente superiori a quelle dei modelli a sezione rettangolare.

Figura 4.6 Risultati sperimentali relativi al recupero di pressione totale in diffusori di varie forme e dimensioni ([2]).

3. i diffusori a geometria variabile forniscono recuperi di pressione mediamente superiori di circa 20 punti percentuali rispetto a quelli fissi. Tuttavia le loro prestazioni effettive sono più lontane dal loro limite teorico rispetto a quanto lo siano quelle dei diffusori a geometria fissa. Questo fatto è probabilmente dovuto alla necessità di trovare un compromesso costruttivo per rendere possibile la variazione dell’area di gola a scapito della ‘pulizia’ delle superfici interne (in particolare nei punti di raccordo tra i vari elementi).

Figura 4.7 Configurazione ideale del flusso all’interno del diffusore ([2]).

Un discorso a parte va fatto per le gallerie ipersoniche di tipo pressure-vacuum. In questi impianti il flusso viene instaurato tra due serbatoi, uno ad alta pressione e uno a bassa pressione, tipicamente una camera a vuoto. Il vantaggio di questa soluzione è quello di consentire di avviare il flusso mantenendo la pressione a monte su livelli ragionevoli. Come si vede dalla Figura 4.4, al crescere del numero di Mach M1, il rapporto delle pressioni λ diviene sempre più grande, ad esempio

per M1=7 sarebbe richiesto un λ=41.1 per avviare la galleria. In queste condizioni,

avere in uscita una pressione totale di 1 atm significherebbe dover portare la pressione di ristagno a monte ad un valore di oltre 40 atm e quindi ben al di là delle possibilità di impianti di piccole dimensioni. Abbassando la pressione a valle per mezzo di una pompa a vuoto (valori compresi tra 10 e 100 Pascal sono più che sufficienti per questo scopo) è quindi possibile ottenere rapporti di pressione totale oltre 103 _{pur mantenendo la pressione di ristagno a monte al di sotto delle 10 atm.}

4.2.3 Effetti della viscosità

Nel paragrafo precedente sono stati introdotti i principali aspetti che caratterizzano il funzionamento dei diffusori trascurando quasi completamente la viscosità del fluido. Benché il modello unidimensionale sia utile per comprendere il funzionamento di massima del diffusore e fornisca un comodo termine di paragone a cui far riferimento, si è già potuto vedere come le previsioni quantitative basate su questa assunzione siano eccessivamente ottimistiche. Inoltre trascurare la viscosità significa non tener conto di importanti fenomeni che intervengono a modificare profondamente quella che è la configurazione del flusso all’interno del diffusore. Come precedentemente accennato, a causa del gradiente di pressione avverso e dell’interazione con le onde d’urto, lo spessore dello strato limite nel diffusore è talmente elevato che la soluzione non viscosa non può essere considerata una buona approssimazione del flusso reale, come invece avviene per l’ugello.

L’effetto forse più importante da considerare, per le implicazioni pratiche che comporta, è l’interazione tra lo strato limite e quella che è stata finora supposta l’onda d’urto normale del divergente. In effetti sperimentalmente si è osservato che la compressione non avviene affatto tramite un singolo urto normale ([7]), ma attraverso una complessa serie di urti obliqui che si riflettono più volte sulle pareti del condotto in modo semplice o attraverso riflessioni di Mach. Il completamento della compressione, ovvero la riduzione della velocità fino a valori

subsonici, in queste condizioni può occupare una lunghezza di condotto pari a diversi diametri e quindi è importante in fase di progetto assicurare la presenza dello spazio necessario alla compressione per evitare di avere in uscita un flusso ancora supersonico. Questo tipo di interazione onda d’urto-strato limite è stato sperimentalmente investigato da vari autori e le principali conclusioni tratte sono le seguenti:

• la compressione occupa minor spazio e ha efficienza maggiore se avviene in un condotto a sezione costante. Nel caso di un condotto divergente è preferibile utilizzare angoli di semiapertura piuttosto piccoli, specialmente se si hanno alti numeri di Mach prima dell’urto. In Figura 4.8 sono mostrati, in funzione del numero di Mach incidente, i rapporti tra, la pressione di ristagno a monte e la pressione misurata alla parete del condotto in un punto a valle dell’urto, per diversi angoli di divergenza. Come termine di paragone è stata riportata anche la curva teorica relativa al caso di flusso isoentropico con un urto normale.

Figura 4.8 Variazione del rapporto tra la pressione di ristagno a monte e la pressione statica misurata a valle, per un condotto conico divergente, al variare del numero di Mach in ingresso e dell’angolo di divergenza ([7]).

• in un condotto a sezione costante, la lunghezza necessaria al completamento della compressione è esprimibile tramite una correlazione del tipo ([7])

⎞

⎛ δ

Figura 4.9 Dipendenza della lun-ghezza dell’urto L/D dal numero di Mach per ReD=500 000 ([8]).

Figura 4.10 Dipendenza della lunghezza dell’urto L/D dal numero di Reynolds ReD per M=2 ([7]).

Come è logico attendersi, Reynolds più elevati accorciano significativamente la lunghezza della compressione. Il parametro δ/D, per il quale non sono disponibili una sufficiente quantità di dati sperimentali, è essenzialmente un fattore di scala e tiene conto di quanta porzione della sezione del condotto è occupata dallo strato limite.

• per un condotto a sezione costante, la caduta di pressione statica dovuta alla serie di urti può essere calcolata con buona approssimazione applicando la teoria dell’urto normale, e valutando il numero di Mach incidente con le relazioni di Fanno anziché con quelle del flusso isoentropico. In pratica, quello che è stato fatto è stato misurare la pressione p1 davanti al primo urto e la

pressione massima a valle p2 (dove si considera terminata la compressione) e si

è osservato che la relazione

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 01 1 1 2 p p p p f

(dove p01 è la pressione di ristagno prima dell’urto) è in buon accordo con la

Figura 4.11 Rapporto tra le pressioni statiche misurate a valle e a monte della zona di compressione, in un condotto a sezione costante, in funzione del numero di Mach calcolato con la teoria di Fanno e con la teoria isoentropica. Si vede che usando la teoria di Fanno, i dati sperimentali concordano molto bene con i valori previsti dall’urto normale ([7]).

Per quanto riguarda il tratto convergente del diffusore (supposto piano o coni-co del tipo di Figura 4.7), la visconi-cosità ha l’effetto di introdurre ulteriori perdite, dovute all’attrito, oltre a quelle già presenti, causate dagli urti. In particolare le perdite per attrito saranno maggiori in diffusori più lunghi e viceversa. Supponendo di mantenere costante il rapporto di contrazione ψ del convergente, la lunghezza di quest’ultimo sarà legata all’angolo θ di inclinazione, o di semiapertura nel caso assialsimmetrico. Valori maggiori di θ comportano convergenti più lunghi e dovrebbero far aumentare le perdite di attrito, allo stesso tempo però le perdite per urto tenderebbero a diminuire poiché diminuisce l’inclinazione e quindi l’intensità dell’urto stesso. Tutto questo indurrebbe a supporre l’esistenza di un angolo θ ottimo per determinati valori di contraction ratio, numero di Mach e numero di Reynolds, tuttavia i dati presenti in letteratura sono troppo esigui per poter trarre conclusioni di carattere generale. La quasi totalità degli esperimenti in proposito fa riferimento a flussi con bassi numeri di Mach (<4) e bassi numeri di Reynolds, per i quali si è visto che piccoli valori di θ hanno sempre effetti positivi sull’efficienza del diffusore, come dimostra la Figura 4.12.

Figura 4.12 Variazione dell’efficienza di un diffusore a sezione rettangolare con l’angolo di contrazione del convergente, per Mach 2.55 e un contraction ratio di 1.28 ([8]).

Gli effetti della viscosità hanno importanti conseguenze anche per quanto riguarda il già citato problema dell’avvio di una galleria supersonica. Studi sperimentali ([9]) dimostrano che la trattazione classica del problema, basata sulla teoria monodimensionale, non è applicabile direttamente al caso di gallerie ipersoniche, dove generalmente si è in presenza di uno strato limite turbolento e di spessore molto elevato. In questo caso le perdite di pressione totale dovute alla viscosità giocano un ruolo altrettanto essenziale di quelle dovute agli urti, ed è possibile incorrere in problemi di avvio del flusso anche in assenza di contrazione iniziale del diffusore. Uno studio condotto da Goldberg e Hefner ([10]) su diffusori bidimensionali, affronta il problema introducendo un secondo parametro (oltre al contraction ratio ψ ) che tenga conto della viscosità. Tale parametro è il rapporto tra la dimensione dell’imbocco del diffusore e lo spessore dello strato limite (h1/δ) o

altezza relativa dell’imbocco. Quando h1/δ ha un valore paragonabile a 1 la teoria

classica non è più applicabile e bisogna ricorrere a criteri di avvio basati su entrambi i parametri. Si noti infine che, attraverso il rapporto h1/δ, numerosi

parametri geometrici entrano in gioco nell’avvio del diffusore come ad esempio, la forma e la lunghezza del tratto convergente.

4.3

Calcolo approssimato del flusso non viscoso nel tratto

convergente del diffusore

4.3.1 Modello di calcolo

Per il calcolo del flusso non viscoso nel tratto convergente conico del diffusore è stato utilizzato un modello basato su quello di Neumann e Lustwerk ([2]) per il caso bidimensionale. In particolare si è supposto, con riferimento alla Figura 4.13, che:

• le linee di corrente nella zona 2 siano rette parallele con pendenza pari all’angolo θ di semiapertura del cono;

• il flusso nella zona 3 sia uniforme e isoentropico;

• l’inclinazione β1 del primo urto coincida con quella del caso piano, mentre

quella del secondo sia determinata dal numero di Mach incidente, attraverso le relazioni dell’urto obliquo;

Figura 4.13 Schema di riferimento per il calcolo del flusso nel tratto convergente del diffusore.

A differenza del caso bidimensionale, in quello assialsimmetrico il flusso nella zona 2 compresa tra i due urti subisce una compressione dovuta al restringimento dell’area di passaggio. Come mostrato in Figura 4.14, tale restringimento può essere valutato considerando che, il flusso che entra nel convergente ad una certa distanza dall’asse Ri, si muoverà dopo il primo urto su una superficie conica di

semiapertura θ per poi uscire dal secondo urto ad una distanza dall’asse Re. Tale

flusso quindi, entra nel divergente attraverso un’area pari a 2πRidR ed esce

Figura 4.14 Contrazione della sezione di passaggio nell’attraversamento del condotto.

Nell’ambito delle ipotesi fatte, è immediato dedurre da semplici considerazioni geometriche che:

[

]

ovvero, tutte le linee di corrente subiscono la stessa compressione totale e raggiungano il secondo urto tutte nelle stesse condizioni.

Poiché è stato implicitamente supposto che vi sia completa cancellazione del secondo urto all’uscita del tratto conico, la dimensione del raggio di gola RT è

un’incognita del problema. Dato che RT dipende da β2 e quest’ultima è a sua volta

dipendente dal rapporto delle aree della compressione isoentropica nella zona 2 (e quindi da RT), il problema deve essere risolto iterativamente secondo lo schema

Figura 4.15 Procedura iterativa di calcolo del flusso nel diffusore.

dove M1, M′ , 2 M2′′ e M3 sono rispettivamente i numeri di Mach in ingresso, a valle

del primo urto, a monte del secondo e in uscita. Il controllo di convergenza è effettuato sulla variabile M₂′′ , in particolare l’uscita dal ciclo avviene quando lo scarto sul valore di M2′′ tra due cicli consecutivi diviene minore di un certo ε

prefissato. Adottando come valore di primo tentativo (0) ₂

2 M

M′′ = ′ e richiedendo un errore inferiore allo 0.1% la convergenza viene solitamente raggiunta dopo 4 ÷ 6

M1 M2”(0) θ URTO OBLIQUO URTO OBLIQUO M2’ β1 β2 M3 RELAZIONI GEOMETRICHE RT/R0 FLUSSO ISOENTROPICO M2” ∆M2”< ε exit SI NO

calcolo precedente. Si otterrà così una successione di zone a flusso conico e zone a flusso uniforme.

4.3.2 Risultati

I calcoli sono stati effettuati supponendo che, in ingresso al diffusore, vi sia un flusso uniforme con numero di Mach pari a 7. I dati sono stati riportati in funzione dell’angolo θ di semiapertura del convergente, al variare del numero k di riflessioni dell’urto sull’asse da 1 a 3.

Figura 4.16 Numero di Mach nella

gola. pressione totale nella gola e quella in Figura 4.17 Rapporto tra la ingresso.

Figura 4.18 Rapporto tra la

pres-sione nella gola e quella in ingresso. temperatura nella gola e quella in Figura 4.19 Rapporto tra la ingresso.

conver-obliquo per il valore locale del numero di Mach. Questo risulta di particolare evidenza nella prima figura, dove l’interruzione del grafico avviene in corrispondenza di coppie di valori M-θ legati tra loro dalle relazioni previste dalla teoria dell’urto obliquo.

• il rapporto tra la pressione totale in uscita e quella in entrata risulta poco influenzato da k. Questo significa che la quasi totalità della perdita di pressione totale avviene nei primi urti, dove il numero di Mach è più elevato. • al contrario di quanto avviene per la pressione totale, il rapporto di pressione

statica è fortemente influenzato da k. In questo caso, l’incremento maggiore di pressione si realizza, infatti, negli stadi successivi al primo ed è dovuto in massima parte alla compressione isoentropica nella zona a flusso conico.

• angoli θ più grandi producono maggiori perdite di pressione totale, ma anche numeri di Mach più bassi nella gola del diffusore. Considerando che a valle della gola dovrà esserci il divergente, nel quale (idealmente) avverrà la definitiva compressione per urto normale, non è detto a priori che convergenti con θ minori abbiano un rendimento maggiore. Infatti la caduta di pressione di ristagno causata da un urto normale dipende fortemente dal numero di Mach al quale l’urto avviene. Questo aspetto sarà trattato più in dettaglio nel paragrafo successivo.

• dal punto di vista dello strato limite valori bassi dell’angolo θ saranno preferibili per almeno due motivi. Avere θ piccoli significa avere una variazione più graduale della geometria del condotto e quindi un minor gradiente di pressione avverso a parità di salto di pressione. Inoltre, poiché l’angolo di semiapertura θ coincide anche con l’angolo di deviazione che il flusso subisce nei vari urti, avere un minor valore di quest’angolo significa avere urti più lievi con gradienti di pressione minori che migliorano l’interazione tra onda d’urto e strato limite.

4.4

Prestazioni del diffusore in presenza del tratto divergente

Come accennato in precedenza, allo scopo di valutare in modo completo le prestazioni del diffusore al variare dell’angolo di convergenza θ, è necessario prendere in considerazione anche ciò che accade nel tratto divergente. Infatti, sussistono due fenomeni contrastanti che si manifestano al crescere di θ. Come risulta dalle figure 4.16-4.21, al crescere dell’angolo di semiapertura del convergente, le prestazioni dello stesso, in termine di recupero di pressione totale, subiscono un repentino degrado. D’altra parte però, si ha contemporaneamente una riduzione del numero di Mach nella gola, il che implica minori perdite di pressione di ristagno nel tratto divergente. Infatti, se si suppone che la compressione nel tratto divergente avvenga attraverso un singolo urto normale, il massimo recupero di pressione si avrà proprio quando l’urto è posizionato nella sezione di gola e sarà tanto maggiore quanto minore sarà il numero di Mach.

Quanto detto lascia supporre che, almeno in certe condizioni, esista un angolo θ ottimale, che minimizza le perdite di pressione totale dell’intero diffusore. I calcoli effettuati sembrano confermare questa ipotesi, come evidenziano i grafici riportati nelle figure 4.22-4.27.

Figura 4.22 Rapporto tra la pres-sione totale in uscita e quella in ingresso, nel caso k=1.

Figura 4.23 Efficienza del dif-fusore, nel caso k=1.

Figura 4.24 Rapporto tra la pressione totale in uscita e quella in ingresso, nel caso k=2.

Figura 4.25 Efficienza del dif-fusore, nel caso k=2.

Figura 4.26 Rapporto tra la pressione totale in uscita e quella in ingresso, nel caso k=3.

Figura 4.27 Efficienza del dif-fusore, nel caso k=3.

Per un dato valore di k, le curve sono parametrizzate in base al parametro f definito come il rapporto tra il numero di Mach al quale avviene l’urto Msh e il

numero di Mach nella gola Mth.

th sh

M M

f =

Utilizzando f come parametro, il calcolo del tratto divergente è stato effettuato supponendo di avere un’espansione isoentropica supersonica da Mth a Msh, un urto

normale a Msh e una compressione isoentropica subsonica dal valore del numero di

Mach dopo l’urto fino al numero di Mach di uscita dal diffusore Mex che è stato

posto uguale a 0.1.

Ovviamente le migliori prestazioni si ottengono per f=1, corrispondente al caso di urto posizionato nella gola, questa condizione però può presentare problemi di instabilità. Essendo il valore di Msh determinato dalla pressione a valle del

diffusore, una minima perturbazione che ne faccia aumentare il valore provoche-rebbe l’ingresso dell’onda d’urto nel tratto convergente e, di conseguenza, la sua fuoriuscita dall’imbocco del diffusore. Pertanto la scelta del valore di progetto di f dovrà tener conto dei massimi disturbi che si prevede possano interessare la pressione a valle. Allo stesso modo, il raggiungimento di un buon livello di prestazioni del diffusore dipenderà fortemente dall’abilità di ridurre al minimo tali disturbi.

Per quanto riguarda la dipendenza dall’angolo θ si nota che l’effetto dominante è quello del divergente, per il quale le prestazioni migliorano all’aumentare di θ. Per valori di f tra 1.0 e 1.1 si riscontra l’esistenza di un angolo θ ottimo, il cui valore è comunque prossimo a quello massimo ammissibile. Questo risultato indica che, nel progetto del convergente, l’obiettivo principale da perseguire dovrà essere quello di minimizzare il numero di Mach nella gola e non tanto quello di massimizzare il recupero di pressione totale.

of the Aeronautical Sciences, Vol. 18, No. 6, 1951.

[3]. Kantrowitz A., Donaldson C., “Preliminary investigation of supersonic diffusers”, NACA WR-L-713, May 1945.

[4]. Liepmann, H.W., Roshko, A. – “Elements of Gasdynamics” – John Wiley & Sons, Inc., 1960

[5]. Pope, A., Goin, K.L. - “High Speed Wind Tunnel Testing” - John Wiley & Sons - New York, 1965.

[6]. Hill, P.G., Peterson, C.R., – “Mechanics and Thermodynamics of Propulsion” – Addison-Wesley Publishing Company, 1991.

[7]. Lukasiewicz, J. “Diffusers for Supersonic Wind Tunnels”, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 20, No. 9, 1953.

[8]. Neumann, E.P., Lustwerk F., “Supersonic Diffusers for Wind Tunnels”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 16, No. 2, 1949.

[9]. Henry, J.R., et al. “Boundary Layer and Starting Problems on a Short Axisymmetric Scramjet Inlet”, NASA SP-216, 1969.

[10]. Goldberg, T.J., Hefner, J.N., “Starting Criterion for Hypersonic Inlets”, Journal of Aircraft, Vol. 7, No. 3, 1970.