7 Analisi statica non lineare

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7 Analisi statica non lineare

7.1 Generalità sull’ analisi statica non lineare.

E’ un tipo di analisi che consente stime più realistiche ed affidabili della risposta strutturale esprimendo il comportamento globale dell’edificio, ignorando fenomeni di collasso locale attraverso una curva forza-spostamento. Consiste nell’applicare all’edificio i carichi gravitazionali e un sistema di forze orizzontali monotonamente crescenti fino al raggiungimento delle condizioni ultime, col fine di:

• valutare i rapporti di sovraresistenza;

• verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di riduzione q;

• come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione; • come metodo per la valutazione della capacita di edifici esistenti.

La procedura per l’analisi statica non lineare nella normativa sismica si basa sulla previsione del massimo spostamento mediante l’intersezione fra lo spettro anelastico (in termini di pseudoaccelerazione e spostamento) e la curva di capacita della struttura ottenuta dall’analisi pushover.

La struttura in esame si deve supporre caricata dai seguenti sistemi di forze:

• un sistema di forze verticali, associate ai pesi propri ed ai sovraccarichi, applicate in corrispondenza dei nodi strutturali, all’altezza dei solai di piano;

• un sistema di forze statiche orizzontali, applicate a livello dei solai, in corrispondenza dei baricentri di massa, opportunamente spostate per tener conto dei valori di eccentricità accidentale, che si assumono pari, per ciascuna direzione di applicazione della azione sismica e per ciascun piano considerati, a ±5% della dimensione massima del piano stesso in direzione perpendicolare.

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- 168 - In particolare, la normativa prescrive che l’analisi statica non lineare sia svolta valutando la risposta della struttura di interesse sottoposta ad almeno due distinte distribuzioni di forze orizzontali:

• una distribuzione di forze proporzionali al prodotto delle masse per la deformata corrispondente al primo modo di vibrazione (chiamata per semplicità

triangolare inversa); in prima approssimazione, si può ipotizzare una

distribuzione lineare degli spostamenti, per cui, assumendo che la generica i-ma componente Φi dell’autovettore {Φ} associato al primo modo di vibrare

dell’edificio sia pari alla quota zi rispetto allo spiccato del piano di fondazione

del piano baricentrico del generico i-mo solaio, la forza Fi agente a livello

dell’i-mo piano risulta definita come:

·_∑ · _· ·_∑ · _·

• una distribuzione di forze proporzionali alle masse (chiamata per semplicità

uniforme):

·_∑

La sommatoria si intende estesa a tutti gli N piani dell’edificio considerato.

L’analisi non lineare si articola nei seguenti passi:

• determinazione di un legame forza-spostamento generalizzato tra la risultante delle forze applicate (“taglio alla base” Vb) e lo spostamento dc di un “punto

di controllo”, usualmente scelto come il baricentro dell’ultimo piano. • determinazione delle caratteristiche di un sistema ad un grado di liberta a

comportamento bi-lineare equivalente.

• determinazione della risposta massima in spostamento di tale sistema con utilizzo dello spettro di risposta elastico;

• conversione dello spostamento del sistema equivalente determinato come sopra nella configurazione deformata effettiva dell’edificio e verifica della

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- 169 - compatibilità degli spostamenti (elementi/meccanismi duttili) e delle resistenze (elementi/meccanismi fragili).

La verifica citata in quest’ultimo passo per i singoli elementi è valida per edifici con tipologie costruttive in c.a., acciaio e composta c.a.-acciaio; per gli edifici in muratura il metodo prevede solo una verifica globale in termini di spostamento.

Nella analisi statica non lineare le forze orizzontali vengono scalate opportunamente, mantenendo invariati i rapporti relativi fra di esse, in modo tale da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un nodo di controllo sulla struttura (che è buona norma assumere coincidente con il centro di massa dell’ultimo solaio), fino al raggiungimento delle condizioni ultime.

Ciò si ottiene mantenendo costante il rapporto fra le forze e variando per passi di carico successivi il valore della forza laterale totale Fb. Il risultato dell’analisi può

essere rappresentato graficamente in un diagramma, definito curva di capacità, riportante in ascissa lo spostamento orizzontale dc del nodo di controllo ed in ordinata il

taglio totale alla base Fb (definito come somma di tutte le forze orizzontali). Sulla curva,

in particolare, vengono individuati la forza massima Fmax e lo spostamento ultimo du,

definito come lo spostamento corrispondente, oltre il punto di massima forza, ad una riduzione della forza pari al 20% della forza massima.

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- 170 - 7.2 Numero di analisi da effettuare

Il numero di analisi statiche non lineari da effettuare su un edificio sono, nel caso più generale, sedici per ciascuna direzione principale in esso individuata. È necessario, infatti, tener conto delle seguenti considerazioni:

• direzione della forzante: la forza sismica si deve considerare applicata secondo la direzione principale considerata e secondo la direzione a questa ortogonale; • verso della forzante: per ciascuna direzione di applicazione, la forza sismica si

deve considerare agente con verso concorde o discorde rispetto a quello fissato come positivo,se per la direzione ortogonale l’edificio non è simmetrico;

• eccentricità accidentale: per ciascuna direzione e per ciascun verso della forza sismica, si devono considerare un valore positivo ed un valore negativo della eccentricità accidentale;

• tipo di distribuzione; come già indicato, è necessario considerare due diverse distribuzioni di forze statiche orizzontali: una distribuzione triangolare inversa ed una distribuzione uniforme.

Nella seguente Figura 7.2.a) si riporta la pianta di un generico edificio (di cui si rappresenta, per semplicità, il solo ingombro massimo), per il quale un progettista potrebbe individuare due sistemi di riferimento ortogonali (x’-y’ e x’’-y’’) associati a due direzioni principali diverse (direzione dell’asse x’ e direzione dell’asse x’’).

a) b)

Identificazione delle direzioni principali della struttura e delle direzioni ad esse ortogonali (rispettivamente indicate come x’, x’’ ed y’, y’’).

Fig. 7.2 Analisi statiche non lineari da considerare per ciascuna direzione principale (per ciascuna distribuzione).

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- 171 - Nella Figura 7.2.b) sono illustrate, con riferimento alla direzione principale x’ , le otto possibili analisi per ciascun tipo di distribuzione di forza sismica considerata, al variare della direzione e del verso della forzante e del segno della eccentricità accidentale. Analoghe considerazioni valgono per la seconda direzione principale x’’.

Nel caso in cui l’edificio presenti una qualche simmetria assiale, il numero di analisi da considerare, ovviamente si riduce; in particolare, con riferimento alla numerazione delle analisi riportate in Tabella 7.1, si possono individuare per ciascuna direzione principale i tre seguenti casi:

• simmetria rispetto all’asse x’: 8 analisi (1, 3, 5, 6, 9, 11, 13, 14); • simmetria rispetto all’asse y’: 8 analisi (1, 2, 5, 7, 9, 10, 13, 15); • simmetria centrale: 4 analisi (1, 5, 9, 13);

analisi F ea distribuzione

1 + Fx’ + ea,x’ Triangolare inv.

2 + Fx’ - ea,x’ Triangolare inv.

3 - Fx’ + ea,x’ Triangolare inv.

4 - Fx’ - ea,x’ Triangolare inv.

5 + Fx’ + ea,x’ uniforme

6 + Fx’ - ea,x’ uniforme

7 - Fx’ + ea,x’ uniforme

8 - Fx’ - ea,x’ uniforme

analisi F ea distribuzione

9 + Fy’ + ea,x’ Triangolare inv.

10 + Fy’ - ea,x’ Triangolare inv.

11 - Fy’ + ea,x’ Triangolare inv.

12 - Fy’ - ea,x’ Triangolare inv.

13 + Fy’ + ea,x’ uniforme

14 + Fy’ - ea,x’ uniforme

15 - Fy’ + ea,x’ uniforme

16 - Fy’ - ea,x’ uniforme

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- 172 - 7.3 Verifiche di sicurezza

Per ciascuna analisi svolta è necessario effettuare la verifica di sicurezza prevista dalla normativa. Nel caso di analisi statica non lineare, la verifica di sicurezza consiste nel confronto tra la capacità di spostamento e la domanda di spostamento dell’edificio, in condizione di stato limite ultimo e di stato limite di danno. Il procedimento di verifica è basato, nello specifico, sulla trasformazione della curva di capacità dell’edificio (taglio totale alla base – spostamento in sommità) in una nuova curva, riferita ad un sistema bilineare equivalente ad un solo grado di libertà; valutata su questa curva la massima risposta in spostamento del sistema equivalente, si determina la risposta effettiva dell’edificio (domanda di spostamento), che deve essere confrontata con la capacità di

spostamento, corrispondente ad uno spostamento limite differentemente definito, a

seconda dello stato limite considerato.

Fig. 7.3 Curva di capacità

Per gli edifici in muratura, al punto 4.5.4 Analisi statica non lineare, l’O.P.C.M. specifica che il metodo prevede solo una verifica globale in spostamento: non sono necessarie verifiche locali sui singoli elementi in quanto il modello non lineare considerato già tiene conto delle rispettive resistenze e capacità deformative dei singoli elementi. Inoltre, come indicato al punto 8.1.5.4 Analisi statica non lineare, le verifiche fuori piano possono essere effettuate separatamente, secondo le procedure indicate per l'analisi statica lineare al precedente punto 8.1.5.2 Analisi statica lineare, adottate le forze equivalenti indicate al 4.9 Considerazione di elementi non strutturali, assumendo qa= 3.

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- 173 - 7.4 Riduzione ad un sistema equivalente ad un grado di libertà

Al fine della definizione di un sistema equivalente ad un solo grado di libertà, al punto

4.5.4.3 Sistema bilineare equivalente viene definito un coefficiente di partecipazione Γ,

in funzione delle masse di piano mi e delle componenti Φi del vettore {Φ}

rappresentativo del primo modo proprio di vibrazione dell’edifico, supposto normalizzato al valore unitario della componente relativa al punto di controllo.

Al punto 8.1.6 Verifiche di sicurezza l’O.P.C.M. specifica che, per gli edifici in muratura, come vettore {Φ} si può assumere il vettore degli spostamenti prodotti da un sistema di forze distribuite lungo l’altezza dell’edificio assumendo una distribuzione lineare degli spostamenti.

Fig. 7.4 Riduzione ad un sistema equivalente ad un grado di libertà

Pertanto, definita zi la quota rispetto allo spiccato del piano di fondazione del piano

baricentrico dell’i-mo generico solaio dell’edificio e considerando come punto di controllo il centro di massa dell’ultimo piano, si può assumere:

Φ Γ _∑∑ _·· ∑ ·

∑ ·

Il coefficiente di partecipazione Γ è definito pertanto, indicando con mi la massa totale

del generico i-mo piano dell’edificio, dalla suesposta relazione.

La forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente ad un grado di libertà sono legati, in campo elastico, alle corrispondenti grandezze Fb (taglio alla base) e dc

(spostamento del punto di controllo) del sistema a più gradi di libertà dalle seguenti relazioni:

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- 174 - 7.5 Riduzione della curva ad un grado di libertà in una curva bilineare equivalente

La rigidezza elastica del sistema bilineare equivalente, secondo quanto indicato al punto

8.1.6 Verifiche di sicurezza, viene individuata tracciando la secante alla curva di

capacità del sistema equivalente ad un grado di libertà nel punto corrispondente ad un taglio alla base pari al 70% del valore massimo F*max ; il tratto orizzontale della curva

bilineare viene quindi individuato tramite l'uguaglianza delle aree sottese dalle due curve tracciate, fino allo spostamento ultimo d*u del sistema.

Determinati conseguentemente i valori dello spostamento d*

y e della forza F*y

corrispondenti alla condizione di snervamento, la rigidezza secante k*_{, la massa m}*_{ed il}

periodo elastico T* del sistema bilineare equivalente risultano definiti, rispettivamente,

come:

∑ · Φ

2 · ·

7.6 Risposta massima in spostamento del sistema equivalente

Secondo quanto indicato al punto 4.5.4.4 Risposta massima in spostamento del sistema

equivalente, nel caso in cui il periodo elastico T* del sistema bilineare equivalente

risulti non inferiore a TC, la risposta in spostamento del sistema anelastico è assunta

uguale a quella di un sistema elastico di pari periodo:

,

essendo lo spettro di risposta elastico in spostamento SDe definito come segue, secondo

quanto indicato al punto 3.2.3 Spettro di risposta elastico:

· _·

Nel caso in cui, invece, il periodo elastico T* del sistema bilineare equivalente risulti

inferiore a TC, la risposta in spostamento del sistema anelastico si assume maggiore di

quella di un sistema elastico di pari periodo, e si ottiene da quest’ultima mediante l’espressione:

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, _{· 1} _{1 ·}

,

dove:

·

rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente.

Secondo quanto prescritto al punto 8.1.6 Verifiche di sicurezza, per gli edifici in muratura ordinaria e per gli edifici in muratura armata in cui non si sia applicato il criterio di gerarchia delle resistenze, qualora il valore di q* così calcolato ecceda il

valore limite 3.0, la verifica di sicurezza deve ritenersi non soddisfatta. In quest’ultimo caso, posto 3 , si determina il corrispondente valore di spostamento del sistema anelastico equivalente in base alla seguente relazione:

· 1 3 1 ·

essendo _, · e dunque _, 3 ·

La limitazione di q* rappresenta quindi una limitazione, a priori, alla duttilità del

sistema strutturale nel suo complesso.

Non è inutile osservare che, nella precedente normativa (D.M. 16/01/96), la duttilità “locale” per le murature era pari a 1,5; d’altronde quest’ultimo valore è riferito alla duttilità “globale”, a cui contribuisce l’insieme dei pannelli murari reagenti.

7.7 Conversione della risposta equivalente in quella effettiva

Determinata la risposta in spostamento d*max del sistema anelastico equivalente, la

risposta in spostamento effettiva dell’edificio dmax (domanda di spostamento) è valutata

come Γ · e confrontata con la capacità di spostamento corrispondente allo stato limite considerato.

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- 176 - 7.8 Verifica allo stato limite ultimo

La capacità di spostamento, in caso di verifica allo stato limite ultimo, viene valutata sulla curva globale in corrispondenza dello spostamento per il quale, secondo quanto prescritto al punto 8.1.5.4 Analisi statica non lineare, si registra una riduzione delle forza non superiore al 20% del massimo.

Fig. 7.5 Verifica allo stato limite ultimo

7.9 Verifica allo stato limite di danno

Nella valutazione della protezione degli edifici nei confronti del danno, si fa riferimento ad eventi sismici che hanno una probabilità di occorrenza più elevata di quella dell’azione sismica di progetto. L’O.P.C.M., al punto 2.2 Protezione nei confronti del

danno prescrive che tale probabilità non sia assunta, in ogni caso, maggiore del 50% in

50 anni (valore cui corrisponde un periodo di ritorno di circa 72 anni). Al successivo

punto 3.2.6 Spettro di progetto per lo stato limite di danno, viene specificato che,

qualora non si esegua una puntuale valutazione dell’azione sismica corrispondente a tale probabilità di superamento, lo spettro di progetto da adottare può essere ottenuto riducendo lo spettro elastico secondo un fattore pari a 2.5.

Per le verifiche allo stato limite di danno, in caso di analisi statica non lineare, si segue pertanto il procedimento sopra descritto, utilizzando uno spettro elastico Se,SLD ridotto al

40%:

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, _.

La capacità di spostamento, inoltre, viene valutata sulla curva globale in corrispondenza dello spostamento minore fra quello corrispondente al raggiungimento di massima forza

Fmax e quello per il quale lo spostamento relativo tra due punti sulla stessa verticale,

appartenenti a piani consecutivi, eccede il 3‰ della corrispondente altezza interpiano (distanza verticale fra i due punti), nel rispetto di quanto prescritto al punto 4.11.2 Stato

limite di danno e, con riferimento agli edifici in muratura, al successivo punto 8.1.5.4 Analisi statica non lineare.

7.10 Procedimento risolutivo

Il programma SAM II integrato in ANDILWall effettua l’analisi statica non lineare utilizzando come criterio risolutivo il metodo di Newton-Raphson (NR), metodo maggiormente diffuso nei programmi ad elementi finti, con strategia arc-length (AL). In questo modo l’analisi è svolta automaticamente in controllo misto di forze e spostamenti, ovviando, con questo tipo di controllo, ai problemi noti in letteratura che caratterizzano il metodo di Newton-Raphson in controllo di forza.

L’analisi è svolta per incrementi di carico successivi: per ciascun incremento di carico, il solutore ricerca per iterazioni successive la soluzione del problema, in termini di moltiplicatore delle forze orizzontali e di valore degli spostamenti generalizzati (spostamenti e rotazioni) associati ai gradi di libertà nodali. Indicando, pertanto, con lo scalare α il moltiplicatore del vettore dei carichi orizzontali fo (il carico verticale fv è

mantenuto costante durante tutta l’analisi), il vettore fo,n si definisce, per ogni generico n-mo passo di carico, come _, · , essendo fo il vettore dei carichi orizzontali

di riferimento corrispondente ad α = 1.

Si faccia riferimento, per un generico n-mo passo di carico, alla Figura 7.6.

Le componenti _, · , del vettore dei carichi orizzontali fo,n, corrispondenti alle

forze orizzontali applicate ai piani della struttura di interesse, sono definite in base alla distribuzione considerata (triangolare inversa o uniforme) come quote parti del taglio totale alla base e, dunque, possono essere espresse in funzione del valore totale del carico orizzontale iniziale fo, per quanto detto:

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Figura 7.6 Distribuzione dei carichi verticali ed orizzontali su un edificio a due piani.

Quest’ultimo parametro (scalare) viene definito a sua volta come quota parte del carico gravitazionale totale fv agente sulla struttura, in funzione di un parametro PFS

(percentuale forza sismica):

·

essendo (si ricordi che i carichi verticali sono mantenuti costanti durante l’analisi): ∑

Indicando con u il vettore degli spostamenti incogniti del problema e con P(u) il vettore delle azioni interne della struttura, ed identificando inoltre il passo di carico mediante pedice e le iterazioni mediante apice, il procedimento risolutivo può essere così descritto (si faccia riferimento a Figura 7.7, in cui si riporta, per semplicità di rappresentazione, il caso monodimensionale corrispondente ad un problema ad un solo grado di libertà):

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- 179 - Figura 7.7 Rappresentazione grafica del procedimento NR-AL in una dimensione.

1. il solutore, a partire dalla configurazione del sistema trovata al termine del passo di carico n – 1 (corrispondente all’ultimo passo di convergenza) effettua una prima iterazione del passo di carico corrente n, aumentando il moltiplicatore α di una unità: 1 ;

2. tramite NR viene calcolato dal solutore il corrispondente incremento di spostamento incognito ( in generale, ), mediante linearizzazione del problema;

3. viene effettuato dal solutore un controllo di convergenza, in base ad uno dei criteri implementati: nel caso in cui il criterio sia soddisfatto o nel caso in cui sia superato un numero massimo Nmax prefissato di iterazioni senza che tale criterio

sia soddisfatto, si ritiene individuato il passo di carico corrente ed il solutore procede al passo di carico successivo, tornando al punto 1; in caso contrario si procede al punto 4 successivo;

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- 180 - 4. la strategia AL calcola il successivo incremento di carico (in generale, ),

imponendo il vincolo dell’arco di cerchio, a raggio costante per ogni passo di carico. L’AL, per garantire il rispetto di tale vincolo, non modifica solo il moltiplicatore dei carichi orizzontali, ma anche gli incrementi degli spostamenti generalizzati (associati ai gradi di libertà del sistema) calcolati precedentemente con NR;

5. si torna al precedente punto 2.

In particolare, il solutore passa all’incremento di carico successivo (punto 3) al verificarsi di una delle seguenti condizioni:

9 il criterio di convergenza adottato è soddisfatto;

9 viene superato un numero massimo Nmax prefissato di iterazioni senza che tale

criterio sia soddisfatto.

Nel primo caso, il programma trova una configurazione che l’utente definisce a priori accettabile in base al criterio di convergenza scelto, in termini di spostamento

∑ ed azioni interne · · , essendo, in generale, N il numero complessivo di iterazioni per il passo n considerato.

Nel secondo caso, il solutore, per il passo di carico corrente, non è in grado di trovare una soluzione che soddisfi il criterio di convergenza adottato. Quando si verifica questa condizione il programma passa all’incremento di carico successivo partendo dalla

migliore configurazione trovata durante le Nmax iterazioni precedenti: la scelta di tale

configurazione (in termini di moltiplicatore dei carichi orizzontali e degli spostamenti generalizzati associati ai gradi di libertà della struttura) viene effettuata in base alla ricerca della minore norma euclidea del vettore dei carichi sbilanciati, ottenuto dalla differenza tra il vettore delle forze esterne applicate (sia orizzontali che verticali)

· e le azioni interne della struttura . L’iterazione i cercata è dunque quella per cui risulti:

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- 181 - essendo:

α moltiplicatore (scalare) dei carichi orizzontali;

f0 vettore delle forze orizzontali esterne (valori iniziali); fv vettore delle forze verticali esterne;

P vettore delle azioni interne della struttura;

u vettore degli spostamenti generalizzati associati ai gradi di libertà della

struttura.

In Figura 7.7 è rappresentata, per la prima iterazione, tale norma euclidea che, nel caso monodimensionale, corrisponde alla differenza tra la forza interna e la forza esterna. Il programma interrompe l’analisi al verificarsi di due condizioni:

- raggiungimento della condizione di collasso allo stato limite ultimo, definito, al

punto 8.1.5.4 Analisi statica non lineare dell’O.P.C.M. come la condizione

corrispondente, oltre il punto di massima forza, ad una riduzione della forza pari al 20% della forza massima;

- raggiungimento di un numero massimo prefissato Np,max di punti di carico senza

che la condizione precedente si sia verificata: ciò, ai fini della verifica allo stato limite ultimo, comporta che l’analisi effettuata non può essere considerata completata, nel senso che il legame forza-spostamento trovato (curva di capacità) risulta solo parziale.

Per ovviare a questo problema si può agire su due parametri:

9 aumentare il numero massimo di passi Np,max: questa soluzione può, ovviamente,

ridurre l’efficienza computazionale del programma (in termini di durata dell’analisi);

9 aumentare la forza totale orizzontale applicata all’inizio di ogni passo di carico, mediante il parametro PFS (percentuale forza sismica) precedentemente introdotto: questa soluzione, pur aumentando in generale l’efficienza computazionale del programma (in termini di riduzione della durata dell’analisi), può tuttavia andare a scapito della precisione del risultato.

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- 182 - 7.11 Criteri di convergenza

Il problema che il programma deve risolvere, in corrispondenza di ogni generico n-mo passo di carico, è quello di determinare per iterazioni successive la configurazione che corrisponda all’equilibrio fra il vettore delle forze esterne generalizzate (forze e momenti) · e quello delle azioni interne ; tale problema, con la simbologia

sopra introdotta, può essere espresso nel modo seguente:

· 0

dove è la differenza tra il vettore delle forze esterne e quello delle azioni interne. Dal momento che il programma esegue analisi di tipo non lineare, risulta impossibile risolvere la precedente equazione, se non per via numerica, mediante l’adozione di un criterio di convergenza.

Con criterio di convergenza si intende, in generale, una procedura utilizzata per valutare se la configurazione trovata, in corrispondenza di una generica i-ma iterazione, rappresenta una approssimazione accettabile della soluzione del problema, sulla base del confronto di un parametro Q, il cui valore sia legato alla configurazione considerata, con una tolleranza ε prefissata; il criterio si ritiene soddisfatto quando risulta verificata la disequazione:

I numerosi criteri reperibili in letteratura considerano parametri Q diversi ed adottano strategie differenti per la ricerca della convergenza. Essendo il problema ancora oggetto di discussione, si è deciso di implementare nel programma tre diversi criteri di convergenza.

I criteri di convergenza possono essere utilizzati nelle analisi sia singolarmente (cioè uno in alternativa all’altro) sia contemporaneamente. Nel primo caso, viene applicato il solo criterio scelto dall’utente; nel secondo caso, il solutore esegue in cascata tutti i criteri, nella stessa sequenza con cui sono qui di seguito presentati. Al verificarsi, durante una generica iterazione, di uno dei criteri, il solutore considera valida la configurazione trovata e passa al successivo passo di carico: ciascun criterio viene applicato, dunque, soltanto nel caso in cui i precedenti non risultino soddisfatti.

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- 183 - 7.11.1 Criterio energetico

Il criterio di convergenza basato sull’energia è espresso, indicando con εe la tolleranza

assegnata, dalla seguente relazione:

· · · ·

Come parametro discriminante per la verifica del criterio di convergenza si adotta il rapporto tra l’energia prodotta, in corrispondenza di ogni i-ma iterazione, dallo sbilanciamento fra le forze esterne generalizzate (forze e momenti) · e le

azioni interne per l’incremento, rispetto alla iterazione precedente i -1, degli spostamenti generalizzati associati ai gradi di libertà della struttura e l’energia

corrispondente alla prima iterazione di ogni generico n-mo passo di carico considerato.

7.11.2 Criterio delle forze

Il criterio di convergenza basato sulle forze è espresso, indicando con εf la tolleranza

assegnata, dalla seguente relazione:

· · ·

Come parametro discriminante per la verifica del criterio di convergenza si adotta, per ogni i-ma iterazione di ogni n-mo passo di carico, il rapporto tra la norma euclidea del vettore dei carichi sbilanciati, ottenuto come differenza tra il vettore delle forze esterne · e quello delle forze interne , ed il vettore delle forze esterne

applicate.

Questo criterio di convergenza possiede il pregio di tenere conto dell’equilibrio globale

della struttura, anche se in via soltanto approssimata, dal momento che momenti e

forze, dimensionalmente fra loro non congruenti, sono considerati in un unico scalare, anche se è esposto a perdite di precisione quando l’edificio si avvicina alle condizioni di rottura (teoricamente inefficace su un tratto orizzontale della curva forza spostamento).

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- 184 - 7.11.3 Criterio degli spostamenti

Il criterio di convergenza basato sugli spostamenti è espresso, indicando con εu la

tolleranza assegnata, dalla seguente relazione:

· ·

Come parametro discriminante per la verifica del criterio di convergenza si adotta, per ogni i-ma iterazione di ogni n-mo passo di carico, il rapporto tra la norma euclidea del vettore degli incrementi degli spostamenti associati ai gradi di libertà della struttura

duni (valutati rispetto alla iterazione precedente i -1) e la norma del vettore degli

spostamenti totali uni .

Il concetto su cui si basa questo criterio è quello della stabilità della soluzione: si suppone, cioè, che se il vettore degli spostamenti u subisce una piccola variazione du in corrispondenza di una generica iterazione i, la variazione sarà ancor più piccola in corrispondenza della iterazione successiva i +1, e che, pertanto, l’influenza di questo ulteriore incremento sulla precisione della soluzione, per il generico passo di carico n considerato, può essere ritenuta trascurabile.

7.12 Applicazione dell’analisi statica non lineare all’edificio oggetto di studio Il metodo SAM prevede una modellazione tridimensionale a macroelementi degli edifici in muratura, vedi fig. 7.8, nella quale la struttura, costituita da elementi verticali (pannelli in muratura ordinaria) ed elementi orizzontali (travi di accoppiamento in muratura non armata e cordoli in c.a.), viene schematizzata come un telaio equivalente costituito da:

- elementi ad asse verticale (maschio murario non armato); - elementi ad asse orizzontale (cordolo, fascia muraria).

Tale schematizzazione risulta accettabile nel caso in cui la geometria delle pareti e la distribuzione delle aperture in esse presenti siano caratterizzate da una certa regolarità, in particolare per quel che riguarda l’allineamento delle aperture.

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Fig. 7.8 Modellazione tridimensionale a macroelementi dell’ edificio in muratura

Fig. 7.9 Il modello a telaio equivalente generato automaticamente dal programma.

Gli elementi di colore nero sono i bracci rigidi, gli elementi colore granata sono i maschi murari (elementi ad asse verticale) e gli elementi color ocra sono le fasce di piano (elementi ad asse orizzontale).

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- 186 - Il codice di calcolo ANDILWall consente di eseguire la verifica sismica mediante il metodo dell’analisi statica non lineare, nel rispetto delle seguente normativa tecnica nazionale italiana:

- Allegato 2: “Edifici” all’O.P.C.M. n. 3274 del 20/03/2003: “Norme tecniche

per il progetto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”, come modificato dall’O.P.C.M. n. 3431 del 03/05/2005, con particolare riferimento

alle prescrizioni generali (di cui ai capitoli 1 – 4) ed alle regole specifiche per gli edifici con struttura in muratura (di cui al capitolo 8 nel caso di edifici di nuova progettazione ed al paragrafo 11.5 nel caso di edifici esistenti);

Per quanto riguarda l’azione sismica si è utilizzato lo spettro definito nel D.M.

14/01/2008, per poter confrontare i risultati ottenuti con l’analisi dinamica modale.

I solai sono considerati rigidi nel proprio piano (unica possibilità consentita, per ora, dal programma Andilwall).

7.12.1 Dati di input

Nelle tabelle seguenti si riportano alcuni dati di input utilizzati dal programma Andilwall:

Dati generali

Desc. Hp Lp-X Pp-Y Ap ApX' ApY' Par.

X' Par.Y' Ecc.dX' Ecc.dY' Qp (m) (m) (m) (m²) (m²) (m²) (%) (%) (m) (m) (m) Piano nr. 1 3.40 37.70 28.00 810.02 80.60 67.18 9.95 8.29 1.885 1.400 3.25 Piano nr. 2 4.80 37.70 28.00 810.02 63.53 64.21 7.84 7.93 1.885 1.400 8.05 Piano nr. 3 3.65 5.02 6.46 32.43 1.70 5.36 5.25 16.54 0.251 0.323 11.70 Piano nr. 4 4.80 37.70 28.00 780.25 58.30 54.84 7.47 7.03 1.885 1.400 12.85 Legenda Dati generali

Hp Altezza piano (m) Par.X' Pareti in X' (%) Lp-X Lunghezza piano (m) Par.Y' Pareti in Y' (%)

Pp-Y Profondità piano (m) Ecc.dX' Eccentricità accidentale dX' (m) Ap Area piano (m²) Ecc.dY' Eccentricità accidentale dY' (m) ApX' Area pareti X' (m²) Qp Quota piano (m)

(21)

- 187 - Pareti

Nome L H Sp. ang. Tipo Linf Lsup N-I N-J Area Jy Jz

(m) (m) (m) (°) (m) (m) (m²) (m4₎ _(m4₎ P-1 0.94 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 1 2 0.752 0.040 0.055 P-2 1.28 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 4 5 1.024 0.055 0.140 P-3 1.28 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 6 7 1.024 0.055 0.140 P-4 1.28 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 8 9 1.024 0.055 0.140 P-5 1.28 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 10 11 1.024 0.055 0.140 P-6 0.83 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 12 13 0.664 0.035 0.038 P-7 0.83 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 14 15 0.664 0.035 0.038 P-8 0.70 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 16 17 0.560 0.030 0.023 P-9 1.26 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 19 20 1.008 0.054 0.133 P-10 1.28 3.25 0.80 90.0 MUR 0.00 0.15 21 22 1.024 0.055 0.140 … … … … … … … … … Legenda Pareti

Nome Nome Parete Lsup Lunghezza tratto rigido superiore (m) L Lunghezza parete (m) N-I Nodo I

H Altezza parete (m) N-J Nodo J

Sp. Spessore parete (m) Area Area sezione (m²) ang. Angolo Jy Momento inerzia princ. (m^4)

Tipo Tipo Jz Momento inerzia orto (m^4) Linf Lunghezza tratto rigido inferiore (m)

Aree di solaio

Nome Area Parete Tipo Piano

(m²) Nr. SOL1 3.77 Y01 S1 1 SOL2 8.93 X01 S1 1 SOL3 3.16 X01 S1 1 SOL4 2.38 Y13 S1 1 SOL5 11.16 Y02 S1 1 SOL6 22.51 Y12 S1 1 SOL7 9.37 Y12 S1 1 SOL8 11.16 Y03 S1 1 SOL9 12.71 Y14 S1 1 SOL10 3.03 Y04 S1 1 … … … Legenda Aree di solaio

Nome Nome Solaio Parete Nome parete caricata Area Area solaio (m²) Tipo Tipo carico

(22)

- 188 - Fasce di piano

Nome L H Sp. Tipo Lsx Ldx N-I N-J Area Jy Jz

(m) (m) (m) (m) (m) (m²) (m4₎ _(m4₎ Fce-1 2.630 1.950 0.550 MUR 0.640 0.470 5 2 1.073 0.340 0.027 Fce-2 2.800 1.950 0.550 MUR 0.640 0.640 7 5 1.073 0.340 0.027 Fce-3 2.760 1.950 0.550 MUR 0.600 0.640 24 7 1.073 0.340 0.027 Fce-4 2.675 1.950 0.550 MUR 0.640 0.510 9 42 1.073 0.340 0.027 Fce-5 2.800 1.950 0.550 MUR 0.640 0.640 11 9 1.073 0.340 0.027 Fce-6 2.705 1.950 0.550 MUR 0.540 0.640 55 11 1.073 0.340 0.027 Fce-7 2.790 1.950 0.550 MUR 0.630 0.640 20 22 1.073 0.340 0.027 Fdw-8 1.375 0.750 0.800 MUR 0.410 0.000 15 310 0.600 0.028 0.032 Fdw-9 2.285 0.750 0.800 MUR 0.350 0.410 17 15 0.600 0.028 0.032 Fdw-10 2.065 0.750 0.800 MUR 0.410 0.290 13 62 0.600 0.028 0.032 … … … … … … … … …

Legenda Fasce di piano

Nome Nome fascia Ldx Lunghezza tratto rigido destra (m) L Lunghezza fascia (m) N-I Nodo I

H Altezza fascia (m) N-J Nodo J Sp. Spessore fascia (m) Area Area sezione (m²)

Tipo Tipo Jy Momento inerzia princ. (m^4) Lsx Lunghezza tratto rigido sinistra (m) Jz Momento inerzia orto (m^4)

Bracci rigidi

Nome L ang. N-I N-J (m) (°) A-166 0.47 90.0 2 3 A-167 0.35 90.0 18 17 A-168 0.10 90.0 22 55 A-169 0.47 90.0 26 27 A-170 2.88 90.0 31 268 A-171 4.97 0.0 3 34 A-172 2.06 0.0 34 32 A-173 0.08 90.0 36 39 A-174 0.67 0.0 38 39 A-175 2.15 0.0 42 41 … … … … …

Legenda Bracci rigidi

Nome Nome braccio rigido N-I Nodo I L Lunghezza braccio (m) N-J Nodo J ang. Angolo

(23)

- 189 - Carichi e masse nodali

Nodo Fx Fy Fz Mx My Mz Massa (N) (N) (N) (Nm) (Nm) (Nm) (kg) N-34 0.0 0.0 -672824.2 0.00 0.00 0.00 67476.4 N-36 0.0 0.0 -135569.9 0.00 0.00 0.00 13019.7 N-38 0.0 0.0 -48492.7 0.00 0.00 0.00 4688.0 N-39 0.0 0.0 -5154.6 0.00 0.00 0.00 525.4 N-41 0.0 0.0 -129433.8 0.00 0.00 0.00 12469.9 N-42 0.0 0.0 -17173.4 0.00 0.00 0.00 1750.6 N-44 0.0 0.0 -386041.2 0.00 0.00 0.00 38272.7 N-46 0.0 0.0 -306026.7 0.00 0.00 0.00 28551.3 N-47 0.0 0.0 -6136.8 0.00 0.00 0.00 625.6 N-49 0.0 0.0 -143330.5 0.00 0.00 0.00 14285.1 … … … … … … … …

Legenda Carichi e masse nodali

Nodo Nome Nodo Mx Momento X (Nm) Fx Forza in X (N) My Momento Y (Nm) Fy Forza in Y (N) Mz Momento Z (Nm) Fz Forza in Z (N) Massa Massa (kg)

Caratteristiche murature

Cod. Descr. Peso st.b. fk fvk0 fm fvm0 fvdlim (N/m³) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) MUR Muratura in _pietra 21000 0.85 2.60 0.12 3.72 0.17 2.20

Caratteristiche murature

Cod. Descr. mu E G rottT cp.M cFl.F cTg.F tipF kkr

(MPa) (MPa)

MUR Muratura in _pietra 0.40 1740.00 580.00 2 1 1 1 0 1.00 Legenda Caratteristiche murature

Cod. Codice archivio Descr. Descrizione Peso Peso a m³ st.b. Stress block fk Resistenza caratt. compr. fvk0 Resistenza caratt. taglio fm Resistenza media compr. fvm0 Resistenza media a taglio fvdlim Resistenza taglio limite mu Coefficiente attrito

E Modulo elastico E G Modulo elastico tangenziale G rottT Tipo rott. taglio 0-inf.res. 1-scorr 2-flex.diag 3-diag.scor

cp.M Comportamento maschio 0-elastico lineare 1-non lineare cFl.F Comportam. fascia a flex 0-elastico lineare 1-non lineare cTg.F Comportam. fascia a taglio 0-elastico lineare 1-non lineare tipF Tipo verifica fascia 0-solai rigidi 1-solai deformabili kkr Resistenza residua x fascia

(24)

- 190 - Caratteristiche tipologie di carico

Cod. Descr. P.P. S.P. S.A. Destinazione Ψ02

(N/m²) (N/m²) (N/m²) S1 Solaio piano generico 3200 2000 3000 Uffici aperti al pubblico. Scuole, Negozi, Autorimesse 0.60 SC Solaio copertura 200 1200 1300 Tetti e coperture con neve 0.00 SSC Vano scala 2500 1500 4000 Magazzini. Scale 0.60

A Archivio 3200 2000 6000 Archivi 0.80 G Gronda 340 180 0 Tetti e coperture

con neve 0.00 ST Solaio di sottotetto 3200 800 500 Uffici aperti al pubblico. Scuole, Negozi, Autorimesse 0.60

Legenda Caratteristiche tipologie di carico Cod. Codice archivio

Descr. Descrizione S.A. Sovraccarico accidentale

P.P. Peso proprio Destinazione Destinazione d'uso S.P. Sovraccarico permanente Ψ02 Coefficiente Ψ02

Altri parametri di calcolo e verifica Fattore di confidenza: 1.35

Muratura Ordinaria: Drift interpiano SLD (%): 0.3 Muratura Ordinaria: Drift limite a flessione (%): 0.6 Muratura Ordinaria: Drift limite a taglio (%): 0.4 Fascia non armata: Drift limite a flessione (%): 0.8 Fascia non armata: I° Drift limite a taglio (%): 0.2 Fascia non armata: Ultimo Drift limite a taglio (%): 0.4 Moltipl. taglio residuo allo SLU: 0.80

Coefficiente di fessurazione dei materiali: 0.50 Fattore di taglio per sezioni: 1.20

Angolo direzione principale sisma (°): 0.0 Parametri analisi sismica

Tipo di verifica: Muratura Ordinaria Fattore di importanza: 1.0

Coefficiente di amplificazione topografica (St): 1.0 Smorzamento viscoso (%): 5.0

Tipo di suolo: categoria B,C,E Parametri Spettri

Descrizione Elastico Danno

Accelerazione orizzontale al suolo (ag) 0.18 0.08

Fattore profilo stratigrafico (S) 1.20 1.20

Periodo TB 0.14 0.13

Periodo TC 0.41 0.38

Periodo TD 2.32 1.92

(25)

- 191 - 7.12.2 Dati di output

Nelle seguenti tabelle e figure si riportano i risultati dell’analisi statica non lineare:

Risultati analisi

Nr. Ver. Analisi ric.sp. _SLD cap.sp. _SLD ric.sp. _SLU cap.sp. _SLU q* _(q*=3)Sp.

(S/N) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm)

1 Sì Sisma +X' ecc.>0 - Distr. triang. 0.915 1.030 2.332 4.700 2.282 3.129

2 Sì Sisma +X' ecc.<0 - Distr. triang. 0.929 1.038 2.356 4.660 2.288 3.149

3 Sì Sisma -X' ecc.>0 - Distr. triang. 0.865 0.995 2.212 4.049 1.992 3.458

4 Sì Sisma -X' ecc.<0 - Distr. triang. 0.885 1.003 2.251 4.280 2.013 3.472

5 Sì Sisma +X' ecc.>0 - Distr. unif. 0.697 1.357 1.816 3.426 1.598 3.757

6 Sì Sisma +X' ecc.<0 - Distr. unif. 0.700 1.177 1.825 3.803 1.603 3.757

7 Sì Sisma -X' ecc.>0 - Distr. unif. 0.661 1.278 1.693 3.482 1.421 4.086

8 Sì Sisma -X' ecc.<0 - Distr. unif. 0.671 1.152 1.718 3.439 1.431 4.097

9 No Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. triang. 1.112 0.995 2.688 3.850 2.904 2.780

10 No Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. triang. 1.155 1.059 2.766 3.951 2.958 2.807

11 No Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. triang. 1.035 0.987 2.551 3.544 3.078 2.483

12 No Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. triang. 1.085 1.056 2.642 2.906 3.007 2.635

13 Sì Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. unif. 0.850 1.156 2.198 4.252 2.109 3.230

14 Sì Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. unif. 0.892 1.226 2.279 4.103 2.146 3.275

15 Sì Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. unif. 0.788 1.144 2.096 3.695 2.196 2.957

16 Sì Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. unif. 0.834 1.219 2.181 3.815 2.212 3.043 Legenda Risultati analisi

Nr. Nr. analisi Ver. Verificato (S/N) Analisi Descrizione Analisi

ric.sp. SLD Richiesta di spostamento allo SLD cap.sp. SLD Capacità di spostamento allo SLD ric.sp. SLU Richiesta di spostamento allo SLU cap.sp. SLU Capacità di spostamento allo SLU

q* Valore del rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema bilineare equivalente definito secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M. al punto 4.5.4.4

Risposta massima in spostamento del sistema equivalente dell’Allegato 2.

(26)

- 192 - Risultati analisi

Nr. Ver. Analisi _UltimoSpost. _{(0.7 F}Forza

max) Mtot Γ dy Fy

(S/N) (cm) (KN) (kg) - (cm) (KN)

1 Sì Sisma +X' ecc.>0 - Distr. triang. 4.70 6866.6 4848032 1.36 0.909 9108.7

2 Sì Sisma +X' ecc.<0 - Distr. triang. 4.66 6905.1 4848032 1.36 0.919 9082.0

3 Sì Sisma -X' ecc.>0 - Distr. triang. 4.05 7635.3 4848032 1.36 0.984 10431.1

4 Sì Sisma -X' ecc.<0 - Distr. triang. 4.28 7488.5 4848032 1.36 0.997 10322.7

5 Sì Sisma +X' ecc.>0 - Distr. unif. 3.43 9395.7 4848032 1.36 0.989 13008.9

6 Sì Sisma +X' ecc.<0 - Distr. unif. 3.80 9420.6 4848032 1.36 0.991 12964.0

7 Sì Sisma -X' ecc.>0 - Distr. unif. 3.48 10545.2 4848032 1.36 1.055 14627.7

8 Sì Sisma -X' ecc.<0 - Distr. unif. 3.44 10348.8 4848032 1.36 1.064 14520.6

9 No Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. triang. 3.85 5692.6 4848032 1.36 0.862 7156.3

10 No Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. triang. 3.95 5386.2 4848032 1.36 0.884 7027.0

11 No Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. triang. 3.54 5392.3 4848032 1.36 0.748 6752.8

12 No Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. triang. 2.91 5210.7 4848032 1.36 0.810 6912.2

13 Sì Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. unif. 4.25 7770.1 4848032 1.36 0.914 9854.1

14 Sì Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. unif. 4.10 7368.8 4848032 1.36 0.943 9684.9

15 Sì Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. unif. 3.70 7480.3 4848032 1.36 0.814 9463.8

16 Sì Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. unif. 3.81 7153.6 4848032 1.36 0.855 9395.9 Legenda Risultati analisi

Spost. Ultimo Spostamento ultimo del punto di controllo

Forza (0.7 Fmax) taglio alla base pari al 70% del valore massimo F*max che individua il punto da cui parte

la secante alla curva di capacità del sistema equivalente ad un grado di libertà, necessaria per ricavare la rigidezza elastica del sistema bilineare equivalente ; Mtot Massa totale del modello strutturale.

Γ Coefficiente di partecipazione Γ, definito secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M. al

punto 4.5.4.3 Sistema bilineare equivalente dell’Allegato 2.

dy Spostamento del punto di controllo del modello strutturale corrispondente alla

condizione di snervamento, definita secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M. al punto

4.5.4.3 Sistema bilineare equivalente dell’Allegato 2.

Fy Forza totale alla base del modello strutturale corrispondente alla condizione di

snervamento, definita secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M. al punto 4.5.4.3 Sistema

(27)

- 193 - Dai risultati dell’analisi statica non lineare risulta che:

• Per quel che riguarda il sisma nella direzione X, l’edificio risulta verificato. • Per quel che riguarda il sisma nella direzione Y, l’edificio non risulta verificato.

Si nota inoltre che non sono soddisfatte le verifiche globali in termini di spostamento per quel che riguarda lo SLD (stato limite di danno), mentre per quel che riguarda lo SLV (stato limite ultimo di salvaguardia della vita), le verifiche risultano soddisfatte.

• Per l’analisi n° 11 e 12 si ha anche il superamento della verifica q*<3 secondo quanto prescritto al punto 8.1.6 Verifiche di sicurezza. La limitazione di q* rappresenta una limitazione alla duttilità del sistema strutturale nel suo complesso.

• Si nota inoltre che le verifiche sono insoddisfatte ma con un minimo margine; cioè la differenza tra la capacità di spostamento e la richiesta di spostamento, in percentuale Δ(%) risulta:

Nr. Ver. Analisi ric.sp.

SLD

cap.sp.

SLD Δ

(S/N) (cm) (cm) (%)

9 No Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. triang. 1.112 0.995 -11.75 10 No Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. triang. 1.155 1.059 -9.07 11 No Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. triang. 1.035 0.987 -4.86 12 No Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. triang. 1.085 1.056 -2.75

Per cui possiamo dedurre che l’edificio presenta un comportamento allo stato limite ultimo più che soddisfacente e una leggera inadeguatezza allo stato limite di danno.

(28)

- 194 -

7.12.2.1 Curve Forza-Spostamento

Analisi n° 1

Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione triangolare

Spostamento ultimo = 4.70 cm Forza ( 0.7 Fmax ) = 6866.6 KN

EDIFICIO VERIFICATO Analisi n° 2

Sisma +X' ecc.<0 - Distribuzione triangolare

EDIFICIO VERIFICATO

Richiesta di spostamento allo SLD Capacità di spostamento allo SLD

Capacità di spostamento allo SLV

(29)

- 195 -

Analisi n° 3

Sisma -X' ecc.>0 - Distribuzione triangolare

Analisi n° 4

Sisma -X' ecc.<0 - Distribuzione triangolare

(30)

- 196 -

Analisi n° 5

Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme

Analisi n° 6

Sisma +X' ecc.<0 - Distribuzione uniforme

(31)

- 197 -

Analisi n° 7

Sisma -X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme

Analisi n° 8

Sisma -X' ecc.<0 - Distribuzione uniforme

(32)

- 198 -

Analisi n° 9

Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare

Spostamento ultimo = 3.85 cm Forza ( 0.7 Fmax ) = 5692.6 KN EDIFICIO NON VERIFICATO

Le analisi n° 9, 10, 11 e 12 non risultano verificate poiché la capacità di spostamento allo stato limite di danno (SLD), (individuata dalla linea tratteggiata in verde con il cerchietto verde) risulta minore della richiesta di spostamento allo SLD (linea tratteggiata verde senza cerchietto)

Analisi n° 10

Sisma +Y' ecc.<0 - Distribuzione triangolare

Capacità di spostamento allo SLD

(33)

- 199 -

Analisi n° 11

Sisma -Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare

Analisi n° 12

Sisma -Y' ecc.<0 - Distribuzione triangolare

Capacità di spostamento allo SLD

(34)

- 200 -

Analisi n° 13

Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione uniforme

Analisi n° 14

Sisma +Y' ecc.<0 - Distribuzione uniforme

(35)

- 201 -

Analisi n° 15

Sisma -Y' ecc.>0 - Distribuzione uniforme

Analisi n° 16

Sisma -Y' ecc.<0 - Distribuzione uniforme

(36)

- 202 - 7.12.2.2 Stato di deformazione

Fig. 7.10 Deformazione della struttura dovuta all’analisi 2 (Sisma +X' ecc.<0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo

Fig. 7.11 Deformazione della struttura dovuta all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo

(37)

- 203 -

Fig. 7.12 Deformata Master-Node dovuta all’analisi 2 (Sisma +X' ecc.<0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo

Fig. 7.13 Deformata Master-Node dovuta all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo

(38)

- 204 - Dalla deformata Master-Node si può dedurre un comportamento globale della struttura nel suo insieme omogeneo, cioè escludendo l’esistenza di piani deboli.

Tuttalpiù si può notare un piano seminterrato più rigido degli altri.

Tutto ciò conferma lo stesso risultato dedotto con l’analisi lineare modale con spettro di risposta. C’è da tenere presente che il programma considera come piano terzo la parte più bassa (quella relativa ai bagni) dell’ultimo piano di limitate dimensioni che presenta uno spostamento del proprio master-node minore dello spostamento master-node dell’ultimo piano.

7.12.2.3 Evoluzione del danno

Sisma +Y' Analisi 9 (ecc.>0 - Distribuzione triangolare)

Si riportano alcune figure che rappresentano l’evoluzione del danno (raggiungimento del drift limite nel piano principale) per l’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) che risulta l’analisi più penalizzante, per alcuni step significativi: lo step che contraddistingue il raggiungimento dello stato limite di danno e lo step ultimo.

Fig. 7.14 Quadro di danno – drift limite piano principale dovuto all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico 10 – SLD

(39)

- 205 -

Fig. 7.15 Quadro di danno – drift limite piano principale dovuto all’analisi 9

(Sisma +Y' ecc.>0 -Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo n° 36 Drift interpiano SLD Valore di drift interpiano allo stato limite di danno dei pannelli

in muratura ordinaria. Secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M. al punto 4.11.2 Stato limite di danno dell’Allegato 2, il parametro è settato pari a 0.3%.

Drift limite a flessione Valore di drift interpiano allo stato limite ultimo dei pannelli in muratura ordinaria, nel caso di rottura per pressoflessione. Secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M., rispettivamente al

punto 8.2.2.1 Pressoflessione nel piano ed al punto 11.5.8.1 Pareti murarie dell’Allegato 2, il parametro è settato pari a

0.8% nel caso di analisi di edifici di nuova progettazione e pari a 0.6% nel caso di analisi di edifici esistenti.

Drift limite a taglio Valore di drift interpiano allo stato limite ultimo dei pannelli in muratura ordinaria, in caso di rottura per taglio. Secondo quanto prescritto dall’O.P.C.M. al punto 8.2.2.2 Taglio ed al

punto 11.5.8.1 Pareti murarie dell’Allegato 2, il parametro è

settato pari a 0.4% sia nel caso di analisi di edifici di nuova progettazione, sia nel caso di analisi di edifici esistenti.

Si può notare che all’ultimo step di carico, il seminterrato non presenta pareti che hanno superato il drift limite (neanche quello di servizio) mentre negli altri due piani tutte le pareti hanno superato il drift limite di servizio e alcune pareti anche quello ultimo.

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- 206 -

Fig. 7.16 Quadro di danno – drift limite fuori piano principale dovuto all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 -Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo n° 36

Anche qui, per il drift limite fuori piano, si nota che all’ultimo step di carico, il seminterrato presenta solo un maschio murario che ha superato il drift limite (ultimo) mentre negli altri due piani tutti i maschi hanno superato il drift limite di servizio e alcuni maschi anche quello ultimo.

Nella seguente Fig. 7.17 si riporta lo stato del danno all’ultimo step di carico dovuto alla rottura a pressoflessione nel piano principale e si nota ancora che il seminterrato presenta pochi maschi non verificati, mentre i 2 piani superiori presentano crisi per un maggior numero di maschi ed in particolar modo la parete più esterna, evidenziata in figura, presenta notevoli difficoltà.

In Fig. 7.18 si riporta lo stato del danno all’ultimo step di carico dovuto alla rottura a taglio e si nota che a parte qualche singolo maschio, sono soprattutto le fasce di piano ad andare in crisi e in modo abbastanza diffuso, inoltre il seminterrato presenta, come sempre, minori difficoltà.

In Fig. 7.19 si riporta lo stato del danno all’ultimo step di carico dovuto alla rottura a pressoflessione fuori piano e si può notare che esistono solo pochi maschi murari isolati che non sono verificati.

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Fig. 7.17 Quadro di danno – rottura a pressoflessione nel piano principale dovuto all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo n° 36

Fig. 7.18 Quadro di danno – rottura a taglio nel piano principale dovuto all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo n° 36

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Fig. 7.19 Quadro di danno – rottura a pressoflessione fuori piano principale dovuto all’analisi 9 (Sisma +Y' ecc.>0 - Distribuzione triangolare) allo step di carico ultimo n° 36

Sisma +X' Analisi 5 (ecc.>0 - Distribuzione uniforme)

Per quanto riguarda l’analisi nella direzione X, riportiamo i risultati ottenuti con l’analisi 5, in quanto tutte le analisi compiute lungo X risultano verificate, e l’analisi 5 risulta, la più “confrontabile” in termini di taglio alla base, all’analisi modale con spettro di risposta.

Dai risultati dell’evoluzione del danno dovuto alla rottura a pressoflessione nel piano, riportati, prima piano per piano nelle Fig. 7.20-22, poi in Fig. 7.23 per l’edificio completo, si può notare la difficoltà ad assorbire l’azione sismica da parte della parete principale evidenziata. Si nota che il piano seminterrato risulta ancora quello che ha i minori problemi.

Per quanto riguarda la rottura a taglio nel piano si nota intanto che le fasce di piano entrano in crisi quasi tutte, poi si denota che all’ultimo piano c’è solo una parete che va in crisi a taglio, mentre nei sottostanti piani le pareti che vanno in crisi aumentano. Infine si può evidenziare che la parete frontale principale, evidenziata in Fig. 7.27 risulta ancora quella più carente anche per quanto riguarda il taglio.

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Rottura pressoflessione nel piano principale

Fig. 7.20 Quadro di danno – rottura a pressoflessione nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – piano seminterrato

Fig. 7.21 Quadro di danno – rottura a pressoflessione nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – piano terra

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Fig. 7.22 Quadro di danno – rottura a pressoflessione nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – ultimo piano

Fig. 7.23 Quadro di danno – rottura a pressoflessione nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – edificio completo

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Rottura a taglio

Fig. 7.24 Quadro di danno – rottura a taglio nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – seminterrato

Fig. 7.25 Quadro di danno – rottura a taglio nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – piano terra

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- 212 -

Fig. 7.26 Quadro di danno – rottura a taglio nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – ultimo piano

Fig. 7.27 Quadro di danno – rottura a taglio nel piano principale dovuto all’analisi 5 (Sisma +X' ecc.>0 - Distribuzione uniforme) allo step di carico ultimo n° 53 – edificio completo

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- 213 - 7.13 Risultati delle analisi con FC = 1

Considerando il livello di conoscenza dell’edificio di cui disponevamo, non abbiamo potuto far altro che utilizzare il fattore di confidenza (FC=1.35) più alto che la normativa prevedeva.

Considerando che il valore di 1.35 risulta alquanto penalizzante, in analogia a quanto fatto per le verifiche eseguite sulla base dell’analisi modale con spettro di risposta, abbiamo anche ritenuto utile eseguire l’analisi statica non lineare con fattore di confidenza FC=1.

Risultati analisi

Nr. Ver. Analisi ric.sp.

SLD cap.sp. SLD ric.sp. SLU cap.sp. SLU Spost. Ultimo Fy (S/N) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (KN)

1 Sì Sisma +X' ecc.>0 - Distr. triang. 0.889 1.114 2.262 4.545 4.54 10227,7

2 Sì Sisma +X' ecc.<0 - Distr. triang. 0.891 1.012 2.267 4.354 4.35 10104,0

3 Sì Sisma -X' ecc.>0 - Distr. triang. 0.851 1.082 2.146 4.147 4.15 12057,7

4 Sì Sisma -X' ecc.<0 - Distr. triang. 0.861 1.075 2.175 5.456 5.46 11666,8

5 Sì Sisma +X' ecc.>0 - Distr. unif. 0.679 1.312 1.737 3.933 3.93 14423,9

6 Sì Sisma +X' ecc.<0 - Distr. unif. 0.676 1.228 1.733 4.060 4.06 14371,6

7 Sì Sisma -X' ecc.>0 - Distr. unif. 0.649 1.216 1.595 3.677 3.68 16936,2

8 Sì Sisma -X' ecc.<0 - Distr. unif. 0.654 1.213 1.608 3.911 3.91 16824,5

9 Si Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. triang. 1.033 1.092 2.543 4.213 4.21 8288,7

10 No Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. triang. 1.080 1.056 2.627 3.985 3.98 7912,2

11 Si Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. triang. 0.998 1.085 2.480 2.879 2.88 7923,7

12 No Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. triang. 1.056 1.048 2.583 2.674 2.67 8057,8

13 Sì Sisma +Y' ecc.>0 - Distr. unif. 0.793 1.223 2.056 4.785 4.78 10227,7

14 Sì Sisma +Y' ecc.<0 - Distr. unif. 0.839 1.303 2.149 4.349 4.35 10104,0

15 Sì Sisma -Y' ecc.>0 - Distr. unif. 0.760 1.214 1.983 2.444 2.44 12057,7

16 Sì Sisma -Y' ecc.<0 - Distr. unif. 0.806 1.209 2.094 4.162 4.16 11666,8 Confrontando i risultati qui riportati con FC = 1, con quelli sopra riportati con FC =

1.35, si può notare che con FC=1 ho solo 2 analisi non verificate (contro le 4 di prima);

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- 214 - poco: per l’analisi 10 il distacco tra richiesta e capacità di spostamento risulta solamente del 2.2%, mentre per l’analisi 12 tale distacco risulta solamente dello 0.76%.

Si deduce che, sarebbe di fondamentale importanza, stabilire una campagna di prove sui materiali per stabilire con esattezza le caratteristiche meccaniche dei materiali in modo da confermare i valori assunti, stimati secondo normativa o eventualmente aggiornare le verifiche con i valori più attendibili.

7.14 Calcolo del sisma che l’edificio è in grado di sopportare

Si è voluto verificare per quale valore dell’azione sismica, l’edificio risultasse verificato globalmente per mezzo dell’analisi statica non lineare in termini di capacità di spostamento.

A tal proposito si è variata solamente l’azione sismica allo stato limite di danno in quanto allo stato limite di salvaguardia della vita, l’edificio risultava globalmente già verificato.

L’edificio risulta verificato per i seguenti parametri sismici: Parametri Spettri

Descrizione Elastico Danno

Accelerazione orizzontale al suolo (ag) 0.18 0.07

Fattore profilo stratigrafico (S) 1.20 1.20

Periodo TB 0.14 0.12

Periodo TC 0.41 0.37

Periodo TD 2.32 1.88

Max coeff. amplificazione (F0) 2.52 2.49

L’edificio risulta verificato per una ag = 0.07 a cui corrisponde un periodo di ritorno TR

dell’azione sismica pari a 53 anni, contro una azione di normativa allo SLD con una ag = 0.08 a cui corrisponde un periodo di ritorno TR pari a 75 anni.

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- 215 - Risultati analisi

Nella tabella sottostante si riporta un confronto tra le richieste e le capacità di spostamento per i valori dell’azione sismica che verificano globalmente l’edificio (con ag = 0.07 e Tr = 53 anni) e le stesse grandezze relative all’azione sismica di normativa

(con ag = 0.08 e Tr = 75 anni): Nr. Ver. Analisi ric.sp. SLD cap.sp. SLD ric.sp. SLD cap.sp. SLD ag = 0.07 TR=53 anni ag = 0.08 TR=75 anni (S/N) (cm) (cm) (cm) (cm)