Numeri Complessi

(1)

Numeri Complessi

May 9, 2015

1 Definizione dei numeri complessi

Sappiamo che l’equazione x²+1 = 0 non ha soluzione nel campo R dei numeri reali. Infatti se c ∈ R fosse una soluzione avremmo 0 = c²+ 1 ≥ 1 > 0, perché c²≥ 0, e quindi 0 > 0, assurdo. Quindi se vogliamo risolvere questa equazione dobbiamo estendere il campo dei numeri reali. L’idea è la stessa che porta all’introduzione dei numeri reali a partire dai numeri razionali (le frazioni ^m_n). In questo caso è l’equazione x²= 2 che non ha soluzioni razionali. Le soluzioni esatte dell’equazione sono i numeri reali ±√

2. Dobbiamo usare un simbolo speciale per denotare la radice quadrata di 2 perch´e, non essendo appunto √

2 un numero razionale, la sua espansione decimale non è finita e neppure periodica e quindi richiede infinite cifre decimali. Possiamo dire che i numeri reali risolvono il problema della misurazione con precisione infinita. La radice quadrata di 2 misura la diagonale del quadrato unitario. Altro esempio famoso è il numero π che misura l’area del disco unitario. Anch’esso è un numero irrazionale (è più che un numero irrazionale, è un cosiddetto numero trascendente, ovvero non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali, a differenza di√

2 che `e soluzione dell’equazione x²− 2 = 0).

L’idea di estendere il campo dei numeri ad un campo più grande per risolvere un problema ci è dunque familiare. Vedremo che aggiungendo solo la radice quadrata di −1, usualmente chiamata i (iniziale di “immaginario”), otterremo un nuovo campo di numeri, detto campo C dei numeri complessi, e saremo in grado di risolvere tutte le equazioni algebriche di secondo grado. Quindi con poca spesa si ottiene molto, a differenza del passaggio dai razionali ai reali dove bisogna aggiungere infiniti numeri anzi una infinità non numerabile di numeri. Con anche un premio perché si può dimostrare (ma noi non lo faremo, è un risultato difficile, noto come “Teorema fondamentale dell’algebra”) che tutte le equazioni algebriche a coefficienti complessi sono completamente risolubili con i numeri complessi.

L’ unit`a immaginaria `e un simbolo i che soddisfa i²= −1.

Un numero complesso `e un’espressione della forma

a + ib = a + bi, dove a e b sono numeri reali

Ad esempio, 2 + 3i, iπ = 0 + iπ, −2 = −2 + i0 sono numeri complessi. In generale scriveremo a = a + i0, bi = 0 + bi. Quindi ogni numero reale si pu`o considerare un numero complesso. Due numeri complessi a + ib e c + id sono uguali, a + ib = c + id, se e solo se a = c e b = d.

Denoteremo con C l’insieme dei numeri complessi

C = {a + ib | a, b ∈ R}.

I numeri a e b si dicono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso a + ib e scriveremo

a = Re (a + ib), b = Im (a + ib)

ad esempio Re (1 − 2i) = 1, Im (1 − 2i) = −2, Re (3i) = Re (0 + 3i) = 0, Im (3i) = Im (0 + 3i) = 3, Re (−4) = Re (−4 + 0i) = −4, Im (−4) = Im (−4 + 0i) = 0.

Il numero complesso a + ib si pu`o rappresentare con il punto (a, b) nel piano R². Il piano coordinato Oxy i cui punti sono identificati con i numeri complessi si chiama il piano complesso o di Argand- Gauss. Ad esempio l’unit`a immaginaria si identifica con il punto (0, 1). L’asse delle x di dice l’asse reale, l’asse delle y l’asse immaginario.

(2)

x y

•0

•1

•i

−2•

•−i

•−2i

−1 +³₂i•

•1 + i •3 + i

•2 − 2i

•−2 − i

2 Operazioni su C

Definiamo ora le quattro operazioni su C. La somma e la differenza di due numeri complessi sono definite sommando o sottraendo le loro parti reali e immaginarie

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d) ad esempio

(3 − i) + (−1 + 2i) = (3 − 1) + i(−1 + 2) = 2 + i.

Sul piano complesso la somma e la differenza di numeri complessi si ottengono dalla somma e la differenza dei corrispondenti vettori.

x y

0

z

w w + z

−z

w − z

Il prodotto di due numeri complessi `e definito in modo che formalmente valgano le propriet`a consuete delle operazioni

(a + ib)(c + id) = a(c + id) + (ib)(c + id) = ac + a(id) + (ib)c + (ib)(id) = ac + i(ad) + i(bc) + i²(bd) Essendo i²= −1, definiamo

(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) ad esempio

(1 + 2i)(3 − i) = 3 − i + 6i − 2i²= 5 + 5i, i(3 − 2i) = 2 + 3i.

(3)

Osserviamo che (a + ib)(a − ib) = a²− (ib)²= a²+ b² è un numero reale; poiché a²+ b² = 0 se e solo se a = b = 0, se a + ib 6= 0, ovvero se a 6= 0 o b 6= 0, il numero a²+ b²è positivo. Ora abbiamo

c + id

a + ib = (c + id)(a − ib)

(a + ib)(a − ib)= (ac + bd) + i(ad − bc)

a²+ b² = ac + bd

a²+ b² + iad − bc a²+ b². Quindi la divisione per un numero complesso a + ib 6= 0 `e definita.

Ad esempio

1 + i

√3 − i = 1 + i

√3 − i

√3 + i

√3 + i= (1 + i)(√ 3 + i)

4 =

√3 − 1 4 + i

√3 + 1 4 .

E facile verificare (ma non lo far`` o) che le quattro operazioni soddisfano le usuali proprietà e quindi i numeri complessi formano un campo. Il campo complesso è uno spazio vettoriale di dimensione due sul campo reale. Una base di C su R `e {1, i}. La trasformazione a+ib 7→ (a, b) è un isomorfismo di C su R².

3 Coniugato. Modulo

Dato il numero complesso z = a + ib, il numero complesso z = a − ib si dice il coniugato di z. Nel piano complesso il coniugato di z = a + ib `e rappresentato dal simmetrico (a, −b) di (a, b) rispetto all’asse x.

x y

0 i•

−i•

z = a + ib

•

z = a − ib

•

=

Il modulo o valore assoluto di z = a + ib `e il numero

|z| =p a²+ b². Ad esempio: | ± 2| = 2, |1 + i| =√

2, |i| = 1, | − 3i| = 3, |√

3 − i| = 2. Inoltre |z| = |z|.

Nel piano complesso il modulo di z = a + ib `e la distanza del punto (a, b) dall’origine.

x y

0

•z = a + ib

|z| =√ a²+ b²

a ib

Utilizzando un conto fatto qui sopra, troviamo zz = |z|² Valgono anche

z = z, z + w = z + w, zw = z w, zⁿ= zⁿ

(4)

|wz| = |w||z|, |w + z| ≤ |w| + |z|

Un numero complesso z `e reale se e solo se z = z. Un numero complesso z si dice immaginario puro se `e della forma z = ib, b ∈ R. Un numero complesso `e immaginario puro se e solo se z = −z.

Coniugato e modulo permettono di dare una forma compatta per la divisione di due numeri complessi

w z =wz

zz = wz

|z|².

Poiché i²= −1, i è una radice quadrata di −1, l’altra è −i. Siamo quindi autorizzati a chiamare i la radice quadrata principale di −1 e possiamo scrivere i =√

−1. In generale, se c `e un numero

reale positivo, scriviamo √

−c = i√ c.

Possiamo ora risolvere una qualunque equazione di secondo grado ax²+ bx + c = 0 anche quando il discriminante b²− 4ac < 0

x1,2= −b ±√

b²− 4ac

2a .

Ad esempio le soluzioni dell’equazione x²+ x + 1 = 0 sono

x1,2 =−1 ±√ 1 − 4

2 = −1 ± i√ 3

2 .

Le due soluzioni sono complesse coniugate. Questo risultato `e vero per qualunque equazione p(x) = 0 ove p(x) = anxⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ . . . + a0 `e un polinomio a coefficienti reali. Se z ∈ C `e una soluzione dell’equazione, p(z) = 0, allora anche z `e soluzione, p(z) = 0. Infatti, da p(z) = anzⁿ+ an−1zⁿ⁻¹+ . . . + a1z + a0= 0 segue che

0 = 0 = p(z) = anzⁿ+ an−1zⁿ⁻¹+ . . . + a1z + a0= anzⁿ+ an1zⁿ⁻¹+ . . . + a1z + a0= a_nzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹+ . . . + a₁z + a₀= a_nzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹+ . . . + a₁z + a₀= p(z).

4 Forma polare

Sappiamo che un numero complesso z = a + ib si identifica con il punto (a, b) del piano complesso.

Se (r, θ) sono le coordinate polari del punto (a, b), allora a = r cos θ, b = r sin θ e quindi

z = r(cos θ + i sin θ), r = |z| =p

a²+ b², tan θ = b a

L’angolo θ si dice l’argomento di z e lo si denota con arg z. `E determinato a meno di multipli interi di 2π. L’angolo `e misurato in senso antiorario. Se z = r(cos θ +i sin θ), z si dice rappresentato in forma polare, se z = x + iy, z si dice rappresentato in forma cartesiana.

x y

0

•z

|z|

θ = arg z

Ad esempio: z = 1 + i, r = |z| =√

1²+ 1²=√

2, tan θ = 1, θ = π/4 z =√

2 cosπ

4 + sinπ 4

,

(5)

x y

0

•1 + i

√2

π 4

•√ 3 − i 2

−π 6

z =√

3 − i, r = |z| = √

3 + 1 = 2, tan θ = −1/√

3; poich´e z sta nel quarto quadrante, possiamo scegliere θ = −π/6

z = 2 cos

−π 6

+ sin

−π 6

.

Particolarmente utile `e la forma polare nella moltiplicazione e nella divisione di due numeri complessi: sia w = r(cos θ + i sin θ), z = s(cos φ + i sin φ), dove r = |w|, θ = arg w, s = |z|, φ = arg z, allora

wz = rs(cos θ + i sin θ)(cos φ + i sin φ) = rs (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i(cos θ sin φ + sin θ cos φ).

Dalle formule di addizione per seno e coseno si ricava

wz = rs cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)

Segue che per moltiplicare due numeri complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

x y

0

•w

θ z•

φ

wz•

θ + φ

Ad esempio, se z = r(cos θ + i sin θ), iz = r

cosπ 2

+ i sinπ 2

(cos θ + i sin θ) = r cosπ

2 + θ

+ i sinπ 2 + θ

quindi la moltiplicazione per i d`a la rotazione in senso antiorario di angolo π/2.

Similmente, utilizzando le formule di sottrazione per seno e coseno, per dividere due numeri complessi si dividono i moduli e si sottraggono gli argomenti

w z =r

s cos(θ − φ) + sin(θ − φ) In particolare, il reciproco di z = r(cos θ + i sin θ) `e dato da

1 z =1

r(cos θ − i sin θ)

(6)

x y

0

•z

θ

• 1/z

−θ

Ad esempio, calcoliamo il prodotto dei numeri complessi w = 1 + i e z =√

3 − i in forma polare.

Abbiamo visto prima che w = 1 + i =√

2 cosπ

4 + i sinπ 4

, z = 2h cos

−π 6

+ i sin

−π 6

i.

Segue che

wz = (1 + i)(√

3 − i) = 2√ 2h

cosπ 4 −π

6

+ i sinπ 4 −π

6

i

= 2√ 2h

cos π

12+ i sin π 12

i

x y

0

•w = 1 + i

√2

•z =√ 3 − i 2

•wz 2√

2 π 12

Se z = r(cos θ + i sin θ), allora z² = r²(cos 2θ + i sin 2θ), z³ = zz² = r³(cos 3θ + i sin 3θ), . . ..

Induttivamente, si ottiene la formula di De Moivre zⁿ= rⁿ(cos nθ + i sin nθ) Ad esempio, calcoliamo ¹₂ +¹₂i10

. Abbiamo 1

2+1 2i = 1

√ 2

cosπ

4 + iπ 4

⇒ 1 2 + i1

2

10

=

1

√ 2

10

h cos

10π 4

+ i sin 10π

4

+ i sin 10π

4

i

= 1

32

cos 5

2π

+ i sin 5 2π

= 1 32i

5 Esponenziale complesso

Abbiamo discusso le quattro operazioni aritmetiche con i numeri complessi. Vediamo ora come si definisce l’esponenziale. Questo richiede qualche nozione di Analisi Complessa che richiamer`o brevemente. Utilizzando il modulo z 7→ |z| alcune delle nozioni di Analisi Reale si possono trasferire sui complessi. Ad esempio la teoria della convergenza delle successioni e delle serie di numeri reali si possono trasferire ai numeri complessi.

Una successione (sn) di numeri complessi converge al numero complesso s se |sn− s| `e piccolo quanto si vuole purch´e n sia abbastanza grande. Una serie

∞

X

n=0

an di numeri complessi converge

al numero complesso s se la successione delle ridotte sn =

n

X

j=0

aj converge ad s. Il criterio di convergenza di Cauchy vale anche in ambito complesso.

Teorema. Una successione (zn) di numeri complessi converge se e solo se per ogni reale ε > 0 esiste un intero N > 0 tale che |zn− zm| < ε per ogni n ≥ m > N.

(7)

dim. Se (zn) converge a z, allora per ogni ε > 0 esiste un intero N > 0 tale che |zn− z| < ε/2 se n > N . Segue

n ≥ m > N ⇒ |z_n− z_m| = |z_n− z + z − z_m| ≤ |z_n− z| + |z_m− z| < ε.

Viceversa, supponiamo che la condizione sia soddisfatta. Ci si riduce al criterio di Cauchy reale.

Osserviamo che

|Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|.

Si scrive zn = xn + iyn con xn, yn ∈ R. Segue che |xn− xm| = |Re (zn− zm)| ≤ |zn − zm| e

Il test di Cauchy si trasferisce senza difficolt`a alle serie.

Teorema. Una serie

∞

X

n=0

a_n converge se e solo se per ogni ε > 0 esiste N > 0 tale che

n ≥ m > N ⇒

n

X

j=m+1

a_j < ε

Una serie

∞

X

n=0

an converge assolutamente se la serie (a termini reali non negativi)

∞

X

n=0

|an| converge.

Teorema. Una serieP

na_nassolutamente convergente `e convergente e

X

n

a_n ≤X

n

|an|, (disuguaglianza triangolare generalizzata).

dim. Supponiamo cheP

n|a_n| sia convergente. Fissato ε > 0, esiste N > 0 tale che

n

X

j=m+1

|a_j| <

ε. Se n ≥ m > N , allora dalla disuguaglianza triangolare segue

n

X

j=m+1

a_j ≤

n

X

j=m+1

|a_j| < ε.

Basta ora applicare il test di Cauchy.

Dal corso di Analisi sappiamo che l’esponenziale reale e^xcoincide, per ogni x (reale), con la somma della sua serie di Taylor

e^x=

∞

X

n=0

xⁿ n!.

Possiamo ispirarci a questa formula per definire e^z per ogni numero complesso z

e^z=

∞

X

n

zⁿ n!

La serie converge assolutamente per ogni numero complesso z. Infatti X

n

zⁿ n!

=X

n

|z|ⁿ n! = e^|z|.

Segue che la serie converge per ogni z e quindi si ottiene una funzione (continua) z 7→ e^z di C in s´e stesso. La propriet`a importante dell’esponenziale reale e^x+y= e^xe^y vale anche per i numeri complessi

e^w+z= e^we^z

(8)

Per dimostrarla, definiamo il prodotto (alla Cauchy) di due serie

∞

X

n=0

a_n e

∞

X

n=0

b_n: `e la serie

∞

X

n=0

c_n, c_n = a₀b_n+ a₁b_n−1+ . . . + a_nb₀=

n

X

j=0

a_jb_n−j.

La definizione pu`o essere motivata come segue. Partiamo da due serie di potenzeP anzⁿeP bnzⁿ, moltiplichiamole termine a termine e raccogliamo i termini che hanno la stessa potenza di z.

Otteniamo

Xanzⁿ X bnzⁿ

= (a0+ a1z + a2z²+ . . .)(b0+ b1z + b2z²+ . . .)

= a₀b₀+ (a₀b₁+ a₁b₀)z + (a₀b₂+ a₁b₁+ a₂b₀)z²+ . . .

= c₀+ c₁z + c₂z²+ . . . Ponendo z = 1 si ottiene la definizione data del prodotto.

Poniamo

An =

n

X

j=0

aj, Bn=

n

X

j=0

bj, Cn=

n

X

j=0

cj,

Se An→ A e Bn → B (le serieP aneP bnconvergono ad A e B risp.), non è detto che il prodotto converga ad AB, ovvero che Cn → AB, perché Cn non è uguale ad AnBn. Anzi, il prodotto può non convergere anche se i fattori convergono. Ma se almeno uno dei fattori converge assolutamente, allora il prodotto converge e converge al valore giusto,P cn = AB.

Teorema. Nelle ipotesi che a)

∞

X

n=0

a_n converge assolutamente, b)

∞

X

n=0

a_n = A, c)

∞

X

n=0

b_n = B, allora

∞

X

n=0

c_n=

∞

X

n=0

Xⁿ

j=0

a_jb_n−j

= AB.

dim. Poniamo A_n=

n

X

j=0

a_j, B_n=

n

X

j=0

b_j, C_n =

n

X

j=0

c_j, β_n= B_n− B.

Segue

Cn= a0b0+ (a0b1+ a1b0) + . . . + (a0bn+ a1bn−1+ . . . + anb0)

= a0Bn+ a1Bn−1+ . . . + anB0

= a0(B + βn) + a1(B + βn−1) + . . . + an(B + β0)

= A_nB + a₀β_n+ a₁β_n−1+ . . . + a_nβ₀. Poniamo

γ_n= a₀β_n+ a₁β_n−1+ . . . + a_nβ₀ ⇒ C_n= A_nB + γ_n. Poich´e A_nB → AB, per dimostrare che C_n→ AB basta dimostrare che γ_n → 0.

Utilizzando l’ipotesi (a), poniamo

α =

∞

X

n=0

|an|.

Fissiamo ε > 0. Dall’ipotesi (c) segue che βn→ 0 e quindi esiste un intero N > 0 tale che |βn| < ε per n > N . Per tali n abbiamo

|γn| ≤ |β0an+ . . . + βNan−N| + |βN +1an−N −1+ . . . + βna0| < |β0an+ . . . + βNan−N| + εα.

Poich´e a_k→ 0 per k → ∞, tenendo N fisso e facendo n → ∞, abbiamo lim sup

n→∞

|γ_n| ≤ εα.

Essendo ε > 0 arbitrario, otteniamo quanto voluto, γ_n→ 0.

(9)

Ricordo che se (sn) `e una successione di numeri reali ed E `e l’insieme dei limiti delle sottosuccessioni di (s_n) convergenti o divergenti a ±∞, allora

lim sup

n→∞

sn = sup E, lim inf

n→∞ sn= inf E.

Torniamo al nostro esponenziale. Le serie

∞

X

n=0

wⁿ n!,

∞

X

n=0

zⁿ n!

sono assolutamente convergenti e quindi, usando il Teorema precedente e la formula del binomio di Newton, si ricava

∞

X

k=0

w^k k!

! _∞ X

m=0

z^m m!

!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

w^k k!

z^n−k (n − k)!

!

=

∞

X

n=0

1 n!

n

X

k=0

n!

k!(n − k)!w^kz^n−k=

∞

X

n=0

(w + z)ⁿ n! . Segue che e^we^z= e^w+z, come voluto.

In particolare, se z = x + iy, x, y ∈ R, e^z = e^xeîy. Ora calcoliamo eîθ con θ reale (la scelta della lettera θ si capirà tra un momento). Separando gli esponenti pari da quelli dispari, si ricava

e^iθ=

∞

X

n=0

(iθ)ⁿ n! =

∞

X

m=0

(iθ)^2m (2m)! +

∞

X

m=0

(iθ)^2m+1 (2m + 1)!. Osserviamo che

(iθ)^2m= (i)^2mθ^2m= (i²)^mθ^2m= (−1)^mθ^2m, (iθ)^2m+1= i(−1)^mθ^2m+1. Segue che

e^iθ=

∞

X

m=0

(−1)^m θ^2m (2m)! + i

∞

X

m=0

(−1)^m θ^2m+1 (2m + 1)!.

Ricordando gli sviluppi in serie di McLaurin delle funzioni seno e coseno, si ottiene la formula di Eulero

e^iθ = cos θ + i sin θ

Possiamo quindi rappresentare i numeri complessi in forma polare come z = re^iθ, r = |z|, θ = arg z.

I numeri e^iθ rappresentano tutti e soli i numeri complessi di modulo 1, quindi i numeri e^iθ, al variare di θ in R, parametrizzano i punti del cerchio unitario

U = {z ∈ C | |z| = 1} = {e^iθ| θ ∈ R}.

Chiaramente abbiamo

e^2πi= 1, eîπ= −1 e eîθ= eîφ se e solo se θ − φ ∈ 2πZ `e un multiplo intero di 2π.

θ = ^π₂

i = eⁱ^π²

θ = 0 1 = e⁰

• θ = ^π₄ eⁱ^π⁴ θ = i^2π₃

eⁱ^2π³

θ = π −1 = e^iπ

•

• •

•

• θ = ^13π₁₂ eⁱ^13π¹²

θ = ^3π₂

i = e^3π² θ = ^7π₄ eⁱ^7π⁴

(10)

E interessante osservare che la funzione R → U, θ 7→ e` îθ trasforma l’intervallo [0, 2π] nel cerchio unitario U. Poich´e e^2πi= e⁰ = 1, la funzione eîθ identifica gli estremi dell’intervallo. Quindi la funzione eîθ realizza matematicamente quello che si può ottenere fisicamente piegando e saldando gli estremi di un pezzo di filo di ferro.

•0

•2πi

e^iθ

•1

Osservazione Quando abbiamo separato gli esponenti pari dagli esponenti dispari nella serie e^iθ abbiamo riordinato i termini della serie. `E lecita questa operazione di riordino?

Precisiamo. Sia k : N → N, n 7→ kn una biiezione (quindi (kn) `e una successione in cui ogni intero positivo compare una ed una sola volta). Sia

∞

X

n=1

an una serie (a termini reali o complessi) e poniamo a⁰_n= a_k_n. La serieP a⁰_n si dice un riordino della serieP an.

In generale, le successioni delle ridotte (s_n) ed (s⁰_n) delle due serieP an eP a⁰_n sono formate da numeri completamente diversi. Quindi possiamo chiederci se un riordino di una serie convergente

`e ancora convergente e, in caso affermativo, se le somme necessariamente coincidono.

Ci accontentiamo di esporre il risultato seguente che mostra come l’operazione di riordino fatta per dimostrare la formula di Eulero `e lecita.

Teorema. Se la serieP an di numeri complessi converge assolutamente, allora ogni suo riordino converge e tutti convergono alla stessa somma.

dim. Sia s_n =

n

X

j=1

a_j l’n-esima ridotta di P an. Sia P a⁰_n, a⁰_n = a_k_n, un riordino diP an e sia

s⁰_n=

n

X

j=1

a⁰_j l’n-esima ridotta diP a⁰_n. Dato ε > 0, poich´eP |an| converge, dal criterio di Cauchy segue che esiste un intero positivo N tale che

n

X

j=m+1

|aj| ≤ ε, se n ≥ m ≥ N .

Scegliamo ora un intero p abbastanza grande in modo che gli interi 1, 2, . . . , N siano tutti contenuti nell’insieme k₁, k₂, . . . , k_p. Segue che, se n > p, allora i numeri a₁, a₂, . . . , a_N si cancellano nella differenza s_n− s⁰_n. Segue che, per n > p, |s_n− s⁰_n| < ε. Pertanto la successione (s⁰_n) converge alla stessa somma di (s_n).

6 Risolvere l’equazione z

ⁿ

= w

Si scrivono w = re^iθ (r > 0 e θ sono dati) e z = se^iφ (s > 0 e φ sono incognite) in forma polare.

Segue

zⁿ = sⁿe^inφ= re^iθ= w

e quindi sⁿ = r e eînφ= eîθ. Segue che s = r^1/n, nφ ≡ θ mod 2π. L’ultima equazione dà φ = θ + 2kπ

n , k ∈ Z.

(11)

Sembra che le soluzioni siano infinite perch´e infiniti sono gli interi k. Ma se due delle soluzioni φ differiscono per un multiplo intero di 2π danno la stessa soluzione z. Se

φ₁=θ + 2k₁

n , φ₂= θ + 2k₂

n ⇒ φ₁− φ₂= 2k₁− k₂

n π

e quindi φ₁e φ₂danno la stessa soluzione se e solo se k₁− k2`e un multiplo di n. Quindi le soluzioni sono tante quante le classi residue modulo n che sono rappresentate dai numeri 0, 1, . . . , n − 1, i possibili resti della divisione per n. Segue che le soluzioni sono

zk = r^1/ne^iφ^k, φk= θ + 2kπ

n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Le soluzioni si dicono le radici n-esime di w. Stanno tutte sul cerchio di raggio r^1/n. Inoltre la differenza tra gli argomenti di due soluzioni successive `e ^2π_n. Quindi sono i vertici di un n-agono regolare.

Esempio Risolvere l’equazione z⁵= −√

3 + i. Scriviamo w = −√

3 + i in forma polare. Il modulo

`e r = 2, il numero `e nel secondo quadrante e tan θ = −^√¹

3 e quindi possiamo prendere θ = 5π 6 . Quindi

w = 2e^i(5π/6). Segue che le soluzioni hanno modulo 2^1/5 e argomento φ0= π

6, φ1= π 6+2π

5 = 17π

30 , φ2= π 6+4π

5 = 29π

30 , φ3= π 6+6π

5 = 41π

30 , φ4= π 6+8π

5 = 53π 30 . Solo della prima soluzione `e agevole trovare la forma cartesiana

z0= 2^1/5e^iπ/6= 2^1/5 (cosπ

6

+ i sinπ 6

= 2^1/5 √3

2 + i1 2

!

= 2^−4/5(√ 3 + i).

φ₀=^π₆

2^1/5

•z0

• φ₁= ^17π₃₀

z1

φ2= ^29π₃₀ z₂•

• φ3= ^41π₃₀

z3

•z4

φ₄=^53π₃₀

7 Risolvere l’equazione e

^z

= w

Se z = x + iy, e^z= e^xeîyè in forma polare e, se w = reiθ, dobbiamo avere e^x= r (da cui segue che l’equazione ha soluzione solo se w 6= 0) e eîy = eîθ. Quindi x = ln r e y = θ + 2kπ, k ∈ Z. Segue che l’equazione ha infinite soluzioni che si dicono le determinazioni del logaritmo complesso di w

z = ln r + i(θ + 2kπ).

Esempio Risolvere l’equazione e^z= −√

3 + i = 2e^i(5π/6). Segue che z = ln 2 + i 5π

6 + 2kπ

(12)

8 Teorema fondamentale dell’algebra

Teorema. Sia p(z) = a_nzⁿ+ . . . + a₁z + a₀, con a_n 6= 0, un polinomio di grado n a coefficienti a_k in C, k = 0, 1, . . . , n. Allora esistono r ≤ n numeri complessi z₁, . . . , z_r, distinti tra loro ed r numeri interi m1, . . . , mr maggiori o uguali ad 1 e soddisfacenti m1+ . . . + mr= n, tali che p(z) si fattorizza come

p(z) = an(z − z1)^m¹· · · (z − zr)^m^r.

Detto più semplicemente, ogni polinomio in una variabile, a coefficienti complessi, di grado n, ha, contate con la molteplicità, esattamente n radici. Il riferimento a questo importante risultato come a Teorema fondamentale dell’Algebra è dovuto a ragioni storiche. Fu cos`ı battezzato quando la ricerca in Algebra era principalmente dedicata alla risoluzione delle equazioni algebriche. È una lunga storia della quale non darò neppure un cenno. Esistono molte dimostrazioni del Teorema, tutte richiedono strumenti di Analisi o Topologia. È un teorema di esistenza, non insegna come trovare le radici.

Esercizi

– Trovare parte reale e immaginaria di ciascuno dei seguenti 1

z; z − a

z + a (a ∈ R); z³; 3 + 5i

7i + 1; −1 + i√ 3 2

!³

; −1 − i√ 3 2

!⁶

; iⁿ; 1 + i

√ 2

n

, 2 ≤ n ≤ 8.

– Trovare il modulo ed il coniugato di ciascuno dei seguenti

−2 + i; −3; (2 + i)(4 + 3i); 3 − i

√2 + 3i; i

i + 3; (1 + i)⁶; i¹⁷. – Trovare tutte le soluzioni delle equazioni

4x²+ 9 = 0; x⁴= 1; x²− 8x + 17 = 0; x²− 4x + 5 = 0; z²+ z + 2 = 0; z²+1 2z +1

4 = 0.

– Scrivere il numero in forma polare con argomento compreso tra 0 e 2π

−3 + 3i; 1 −√

3i; 3 + 4i; 8i.

– Calcolare le forme polari di zw, z/w, 1/z, scrivendo prima z e w in forma polare z =√

3+i, w = 1+√

3i; z = 4√

3−4i, w = 8i, z = 2√

3−2i, w = −1−i; z = 4(√

3+i), w = −3−3i.

– Calcolare le potenze indicate

(1 + i)²⁰; (1 −√

3i)⁵; (2√

3 + 2i)⁵; (1 − i)⁸. – Scrivere i seguenti numeri in forma cartesiana

e^iπ/2; e^2πi; e^i3π/4; e^−iπ; e^2+iπ; e¹⁺²ⁱ.

– Usare la formula di Eulero per trovare le formule di addizione e di sottrazione di seno e coseno;

le formule per sin 2θ, cos 2θ, per cos 3θ, sin 3θ, cos nθ, sin nθ.

– Sia a + ib un numero complesso. Trovare numeri reali x, y tali che (x + iy)²= a + ib.

– Trovare le formule di bisezione per coseno e seno, ovvero calcolare cos^θ₂, sin^θ₂ in termini di cos θ e sin θ.

– Trovare un’espressione chiusa per 1 + cos θ + cos 2θ + . . . + cos nθ.

– Far vedere che la serie

∞

X

n=0

sin(nθ)

n! converge e calcolarne la somma.

– Trovare: le radici n-esime di 1 per n = 2, 3, 4, 5, 8; le radici quinte di 32; le radici cubiche di i; le radici cubiche di 1 + i.

– Trovare parte reale e parte immaginaria di i^1/4scegliendo la radice quarta il cui argomento `e tra 0 e π/2.

(13)

– Calcolare la forma cartesiana di e^e^iθ. – Risolvere le equazioni

(z − 2)³= i; z²+ 1

√2z −

√3i

8 = 0; z⁴− z²+ 1 = 0.

– Sapendo che z = 1 + i `e una soluzione dell’equazione z³+ 6z²− 14z + 16 = 0, trovare tutte le altre soluzioni.

– Risolvere l’equazione e^2iz+3= i.

– Descrivere geometricamente gli insiemi di punti z che soddisfano le condizioni seguenti.

1. |z − i + 3| = 5 2. |z − i + 3| > 5 3. |z − i + 3| ≤ 5 4. |z + 2i| ≤ 1 5. Im z > 0 6. Im z ≥ 0 7. Re z > 0 8. Re z ≥ 0 9. 1 < |z| < 2 10. arg z = 0 11. arg z = −^π₂ 12. arg z = ^π₆ 13. ^π₆ ≤ arg z < ^π₃ 14. |arg z| < ^π₃ 15. |z − i| + |z + i| = 3 16. Re (z²) ≤ 1 17. Im (z + 1/z) = 0 18. |z| = 1/|z| 19. Im

z − i

√3 + i

= 0 20. Im z e^iπ/2

> 0.

– Sia D la regione del piano complesso z formato dai numeri complessi z = x + iy che soddisfano le condizioni date. Descrivere (o disegnare) l’immagine R di D nel piano complesso w della funzione w = f (z) indicata.

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, w = z; x + y = 1, w = z; 1 ≤ |z| ≤ 2,π

2 ≤ arg z ≤ 3π

4 , w = z²; 0 ≤ |z| ≤ 2, 0 ≤ arg ≤π

2, w = z³; 0 < |z| ≤ 2, 0 ≤ arg ≤π

2, w = 1/z; π

4 ≤ arg z ≤ π

3, w = −iz;

arg z = −π

3, w =√

z; x = 1, w = z²; y = 1, w = z²; x = 1, w = 1/z;

1 ≤ x ≤ 2,π

4 ≤ y ≤ 2π

3 , w = e^z; −∞ < x < +∞,π

4 ≤ y ≤ π

2, w = e^z; 0 < x < π

2, 0 < y < +∞; w = e^iz.

- Siano a, b ∈ C e c > 0 fissati. Descrivere l’insieme dei punti z che soddisfano

|z − a| − |z − b| = 2c per ogni possibile scelta di a, b e c.