Limiti di funzioni

(1)

Limiti di funzioni

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

(2)

Intorno di un punto

Definizione (Intorno di x0 ∈ R)

Un intorno U di x0∈ R `e un intervallo (aperto) del tipo

(x0− δ, x0+ δ) cio`e

U := (x0− δ, x0+ δ) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}.

Definizione (Intorno di +∞)

Un intorno U di +∞ `e un intervallo (aperto) del tipo (a, +∞) cio`e U := (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}.

Definizione (Intorno di −∞)

(3)

Intorno di un punto

(4)

Intorno di un punto

Definizione (Definitivamente per x → c)

La funzione f ha una certa propriet`a definitivamente per x → c se esiste un intorno U di c tale che la propriet`a vale per ogni x ∈ U, x 6= c.

Nota.

x ∈ Ux0 = (x0− δ, x0+ δ) se e solo se |x − x0| < δ.

x ∈ U+∞= (a, +∞) se e solo se x > a.

(5)

Limite di funzione

Definizione (Intorni di ±∞, c) Con la scrittura

U−∞intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di −∞del tipo

U−∞,b= (−∞, b)

al variare di b;

U+∞ intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di +∞del tipo

Ua,+∞= (a, +∞)

al variare di a;

Uc intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di cdel tipo

Uc,δ= (c − δ, c + δ)

(6)

Limite di funzione

Nota.

Ricordiamo che per una successione f (n) := an era

lim

n→∞f (n) = L

se e solo se

per ogni > 0 esiste N() tale che per ogni n > N() si ha |f (n) − L| < .

In termini di intorni, la si pu`o trascrivere come se e solo se per ogni

VL= (L − , L + ) ∈ UL, esiste

U+∞= (N(), +∞) ∈ U+∞

(7)

Limite di funzione

Definizione (Limite (via intorni))

Sia R∗= R ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Sia f definita (almeno) definitivamente per x → c. Sia L ∈ R∗. La scrittura

(8)

Limite di funzione: c, L ∈ R

Nel caso c, L ∈ R la scrittura

lim x →cf (x ) = L significa che per ogni VL= (L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < } esiste Uc= (c − δ(), c + δ()) = {x ∈ R : |x − c| < δ()}

tale che se x ∈ Uc\c, allora f (x) ∈ VL.

Nota.

Notiamo che siccome gli intervalli Uc, VL dipendono solo da e δ() (oltre che

(9)

Limite di funzione: c, L ∈ R

Definizione (Limite finito per x → c)

Siano c, L ∈ R. Con la scrittura lim

x →cf (x ) = L

intendiamo cheper ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x) − L| <

per ogni x tale che

(10)

Limite di funzione

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(11)

Limite di funzione

Nota.

Se cambio , allora cambio δ().

Non si richiede di conoscere f (x ) per x = c.

(12)

Limite di funzione: esempio

Esercizio Mostrare che lim x →0x 2 _{= 0.} Svolgimento.

L’asserto limx →0x2 = 0 significa che per ogni > 0 esiste δ() > 0

tale che |x2− 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Ma |x2| < implica − < x2 _{< , ovvero per la non negativit`}_{a di}

(13)

Limite di funzione

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Figura : Il limite di x2_{per x → 0 `}_{e 0. Descrizione degli intorni U}

(14)

Limite di funzione: esercizi.

Esercizio Verificare che lim x →1 x2_{+ 6x + 5} x + 5 = 2. Svolgimento.

Per prima cosa osserviamo che f (x ) = x

2_{+ 6x + 5}

x + 5 =

(x + 5)(x + 1)

x + 5 = (x + 1). Di conseguenza dobbiamo mostrare che

per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 1| < δ() allora |(x + 1) − 2| ≤

(15)

Limite di funzione: esercizi.

Esercizio Verificare che lim x →2x 2_{− 8 = −4.} Svolgimento.

Dobbiamo mostrare che

per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 2| < δ() allora

|(x2_{− 8) − (−4)| ≤}

A tal proposito, visto che |(x2_{− 8) − (−4)| = |x}2_{− 4|, basta mostrare che}

per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 2| < δ() allora |x2_{− 4| ≤}_.

(16)

Limite di funzione: esercizi.

Risolvendo le disequazioni, abbiamo cos`ı ⇔

√

4 − < x <√4 + −√4 + < x < −√4 −

Poichè (√4 − ,√4 + ) è un intervallo aperto contenente 2 al suo interno, esiste di sicuro un intervallo simmetrico aperto di 2, cioè un intorno U2di 2

tale che se x ∈ U2\{2} allora |(x2− 8) − 4| < .

Per determinare δ(), basta porre δ() = min(2 −√4 − ,√4 + − 2). Infatti, con tale scelta, l’intervallosimmetrico apertoU2= (x − δ(), x + δ()) verifica

(17)

Limite di funzione: esercizi.

Nota. (Facoltativa)

Si noti che, razionalizzando, con facili conti δ1:= 2 − √ 4 − = (2 −√4 − ) ·(2 + √ 4 − ) (2 +√4 − )= 4 − (4 − ) 2 +√4 − = 2 +√4 − δ2:= √ 4 + − 2 = (√4 + − 2) ·( √ 4 + + 2) (√4 + + 2)= (4 + ) − 4 2 +√4 + = 2 +√4 + e pure, da 2 +√4 − < 2 +√4 + , abbiamo δ2= 2 +√4 + < 2 −√4 − = δ1. In altre parole, nell’esercizio precedente

(18)

(19)

Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞

Nel caso c ∈ R, L = +∞, la scrittura

lim

x →cf (x ) = +∞

indica che per ogni intorno V+∞ di +∞ del tipo

V+∞= (K , +∞) = {y ∈ R : y > K } esiste Uc intorno di c ∈ R del tipo

Uc = (c − δ(K ), c + δ(k)) = {x ∈ R : |x − c| < δ(K )} tale che f (x ) ∈ V+∞ per ogni x ∈ Uc\c. Notiamo che gli intorni

dipendono, oltre che da c, solo da K e δ(K ). In virt`u di questa osservazione possiamo dare una definizione di limx →cf (x ) = +∞

(20)

Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞

Definizione (Limite +∞ per x → c)

Siano c, L ∈ R. Con la scrittura lim

x →cf (x ) = +∞

intendiamo cheper ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K , per ogni x tale che |x − c| < δ(K ), con x 6= c.

Nota.

(21)

Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio

Esercizio Mostrare che lim x →1 1 (x − 1)2 = +∞. Svolgimento.

Bisogna mostrare cheper ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che 1

(x −1)2 > K , per

ogni x tale che |x − 1| < δ(K ), con x 6= 1. Supponiamo 1

(22)

Limite di funzione

0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 105 Figura : Il limite di 1

(x −1)2 per x → 1 `e +∞. Descrizione degli intorni Uc (rosso), VL (magenta), per c = 1, per K = 20000. Dalla teoria si evince che per tale K una buona scelta `e δ(K ) =

q 1

(23)

Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R

Per quanto visto, se c = +∞, L ∈ R, con la scrittura lim

x →+∞f (x ) = L

intendiamo che per ogni VL∈ UL esiste U+∞∈ U+∞ tale che

f (x ) ∈ VL per ogni x ∈ U+∞.

Notiamo che

per L ∈ R, VL∈ UL se e solo se del tipo

(L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < }; U+∞∈ U+∞ se e solo del tipo

(K (), +∞) = {x ∈ R : x > K ()}.

(24)

Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R

Definizione (Limite L ∈ R a +∞)

Sia L ∈ R. Con la scrittura lim

x →+∞f (x ) = L

intendiamo cheper ogni > 0 esiste K () > 0 tale che |f (x) − L| < , per ogni x tale che x > K.

Nota.

(25)

Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(26)

Limite di funzione: c = +∞, L = −∞

Per quanto visto, se c = +∞, L = −∞, con la scrittura lim

x →+∞f (x ) = −∞

intendiamo che per ogni V−∞∈ U−∞ esiste U+∞∈ U+∞ tale che

f (x ) ∈ V−∞ per ogni x ∈ U+∞. Notiamo che

V−∞∈ U−∞ se e solo se del tipo

(−∞, M) = {y ∈ R : y < M}. U+∞∈ U+∞ se e solo del tipo

(27)

Limite di funzione: c = +∞, L = −∞

Definizione (Limite −∞ a +∞)

Sia L ∈ R. Con la scrittura lim

x →+∞f (x ) = −∞

intendiamo cheper ogni M esiste K (M) tale che f (x ) < M, per ogni x tale che x > K (M).

Nota.

Si sottolinea che K (M) varia con M.

(28)

Limite di funzione: c = +∞, L = −∞

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10

(29)

Limite di funzione: note

Nota.

se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, con L ∈ R, allora

la retta y = L si chiamaasintoto orizzontale;

se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, notiamo che il K

della definizione dipende da ;

se limx →±∞f (x ) = ±∞ notiamo che il K della definizione

(30)

Limite di funzione: esercizio

Esercizio

Definire limx →cf (x ) = L nei casi non spiegati, ovvero

c ∈ R, L = −∞; c = +∞, L = +∞; c = −∞, L ∈ R; c = −∞, L = −∞; c = −∞, L = +∞. Esercizio

Dopo aver definito

lim

x →∞f (x ) = +∞

mostrare, utilizzando la definizione, che lim

x →+∞x 2

(31)

Limite di funzione: unicit`

a.

Valgono per funzioni tutti i teoremi gi`a visti sui limiti di successioni.

Teorema

(32)

Limite di funzione: permanenza del segno.

Teorema

Se

limx →cf (x ) = L,

L > 0

allora f (x ) > 0 definitivamente per x → c.

Teorema

Se f (x ) ≥ 0 definitivamente e lim

x →cf (x ) = L

(33)

Limite di funzione: teorema del confronto.

Teorema (Dei due carabinieri o del confronto)

(34)

Limite di funzione: teorema del confronto.

Teorema Se h(x ) ≤ f (x ) (definitivamente, per x → c), limx →cf (x ) = −∞, alloralimx →ch(x ) = −∞. Corollario Se |h(x)| ≤ g (x) (definitivamente, per x → c), limx →cg (x ) = 0, alloralimx →ch(x ) = 0. Dimostrazione.

(35)

Limite di funzione: infinitesime e limitate.

Teorema

Se

limx →cf (x ) = 0,

g `e limitata (definitivamente, per x → c) allora

lim

x →cf (x ) · g (x ) = 0.

Esercizio

Mostrare che limx →+∞sin (x )_x = 0.

Esercizio

(36)

Limiti destro e sinistro (finiti).

Definizione (Limite L ∈ R a c+)

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = L, L ∈ R

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale L e cio`e che per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x ) − L| < per ogni x ∈ (c, c + δ()).

Definizione (Limite L ∈ R a c−)

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) = L, L ∈ R

(37)

Limiti destro e sinistro (+∞).

Definizione (Limite L ∈ R a c+)

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale +∞e cio`e che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K per ogni x ∈ (c, c + δ).

Definizione (Limite +∞ a c−)

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) = +∞

(38)

Limiti destro e sinistro (−∞).

Definizione (Limite −∞ a c+)

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = −∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale −∞e cio`e che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) < K per ogni x ∈ (c, c + δ(K )).

Definizione (Limite +∞ a c−)

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) − +∞

(39)

(40)

Limiti destro e sinistro e limiti.

Teorema Sia c ∈ R. Allora lim x →cf (x ) = L se e solo se lim x →c−f (x ) = lim_{x →c}+f (x ) = L Esempio

La quantit`a limx →0segno(x ) non esiste in quanto

lim

x →0−segno(x ) = −1 6= limx →0+segno(x ) = 1.

Esempio

La quantit`a limx →01_x non esiste in quanto

(41)

(42)

(43)

Limiti: logaritmi.

Si mostra che

Teorema

lim_{x →0}+log_a(x ) = +∞, se a ∈ (0, 1);

limx →0+log_a(x ) = −∞, se a ∈ (1, +∞);

limx →x0loga(x ) = loga(x0), se x0 ∈ R;

limx →+∞loga(x ) = −∞, se a ∈ (0, 1);

(44)

Limiti: funzioni trigonometriche.

Si mostra che

Teorema

limx →x0sin(x ) = sin(x0), se x0 ∈ R;

limx →x0cos(x ) = cos(x0), se x0∈ R;

limx →x0tan(x ) = tan(x0), se x0∈ R\{

pi

2 + kπ, k ∈ Z}.

Teorema

limx →−∞arctan(x ) = −π/2;

limx →x0arctan(x ) = arctan(x0), se x0 ∈ R;

(45)

Limiti: continuit`

a.

Definizione

Sia x0 ∈ R e f definita in un intorno di x0. Tale funzione si dice

continuain x0 se e solo se

limx →x0f (x ) = f (x0).

Esempio

Per quanto visto sono continue in x0∈ R

(46)

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Teorema

Si supponga che c ∈ R∗, L1, L2 ∈ R e che

limx →cf (x ) = L1;

limx →cg (x ) = L2.

Allora

limx →cK · f (x ) = K · L1 per ogni K ∈ R;

limx →cf (x ) + g (x ) = L1+ L2;

limx →cf (x ) − g (x ) = L1− L2;

limx →cf (x ) · g (x ) = L1· L2;

se L2 6= 0, limx →c f (x )_{g (x )} = L_L1₂,

(47)

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Nota.

Si supponga che f , g siano continue in c ∈ R cio`e limx →cf (x ) = f (c);

limx →cg (x ) = g (c).

Allora dall’algebra dei limiti

limx →cK · f (x ) = K · limx →cf (x ) = K · f (c) per ogni K ∈ R e quindi se

f `e continua in c allora lo `e K · f ;

limx →cf (x ) + g (x ) = limx →cf (x ) + limx →cg (x ) = f (c) + g (c) e quindi

somma di funzioni continue in c `e pure continua in c;

limx →cf (x ) − g (x ) = limx →cf (x ) − limx →cg (x ) = f (c) − g (c) e quindi

sottrazione di funzioni continue in c `e pure continua in c;

limx →cf (x ) · g (x ) = limx →cf (x ) · limx →cg (x ) = f (c) · g (c) e quindi

prodotto di funzioni continue in c `e pure continua in c;

se g 6= 0, limx →c f (x )_{g (x )} =_limlimx →c_{x →c}f (x )_{g (x )} =_{g (c)}f (c) e quindi divisione di funzioni

(48)

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Teorema

Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = +∞ allora

limx →cf (x ) + g (x ) = +∞;

(49)

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Teorema

Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = −∞ allora

limx →cf (x ) − g (x ) = +∞;

limx →c−f (x) + g (x) = −∞;

limx →cf (x ) · g (x ) = −∞;

Teorema

Se limx →cf (x ) = ±∞ e limx →cg (x ) = L 6= 0 ∈ R allora

lim

x →c

f (x )

(50)

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Nota.

Le seguenti forme sono di indecisione +∞ − ∞ =?; ∞ ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; 0 · ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; 0 0 =? Nota.

(51)

Limite di funzione: algebra dei limiti,esempi.

Esempio

Sapendo che limx →−1x = −1, abbiamo

limx →−1x2 = (limx →−1x ) · (limx →−1x ) = (−1) · (−1) = 1;

limx →−15x = 5 · (limx →−1x ) = 5 · (−1) = −5;

limx →−11/x = (limx →−11)/(limx →−1x ) = 1/(−1) = −1;

limx →−1x

2_−3x+1

2x3₊₇ = (limx →−1x2−3x +1)/(limx →−12x3+7) = (−1)2_−3(−1)+1

(52)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Esempio

Mostrare che limx →+∞x2− 3x + 5 = +∞

Svolgimento.

Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non `e restrittivo supporre x > 0)

(53)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Teorema Se an6= 0 allora lim x →±∞anx n_{+ . . . + a} 1x + a0= segno(an) · (±)n∞ Dimostrazione.

(54)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Esempio Mostrare che lim x →−∞−3x 5_{+ 3x}2_{− 8x + 1 = +∞.} Svolgimento.

Con la tecnica appena usata

(55)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Teorema

Mostrare che se an6= 0 e bm 6= 0 allora

L = lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + n1x + b0 = an bm lim x →±∞x n−m_. Dimostrazione.

(56)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

e quindi lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + n1x + b0 = lim x →±∞ anxn bmxm = an bm lim x →±∞ xn xm. Nota.

L’asserto dice che

se n > m allora L = (±)n−m· segno(an/bm))∞;

se n = m allora L = an/bm;

(57)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esercizi.

Esercizio

Mostrare che limx →+∞ x

7_{+3x −8}

2−5x2_+3x = −∞. Svolgimento.

Eliminando i termini di grado pi`u alto

(58)

(59)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Teorema

Se f `e limitata e g → ±∞ allora f + g → ±∞; Se f `e limitata di segno costante e g → ±∞ allora f · g → segno(f ) · (±∞);

Esempio

limx →+∞x3+ cos(3x ) = (+∞) + limitata = +∞;

limx →+∞−x2+ sin2(x ) = (−∞) + limitata = −∞;

(60)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Esempio (Facoltativo)

E’ possibile utilizzare il fatto che sin(1/x ) `e limitata per valutare lim

x →+∞x · sin(1/x )?

Traccia.

Se fosse possibile utilizzare il fatto che sin(1/x ) `e limitata per valutare limx →0x · sin(1/x ) avremo

lim

x →+∞x · sin(1/x ) = +∞ · limitata = +∞

(61)

(62)

Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.

Esempio Calcolare lim x →+∞x 2_{+ x sin(x )} Svolgimento.

Notiamo che non `e chiaro come limite di una somma, poich`e x2→ +∞ mentre x · sin(x) non ha limite. Tuttavia

lim

x →+∞x

2_{+ x sin(x ) =} _lim

(63)

Cambio di variabile.

Teorema

(64)

Cambio di variabile.

Nota.

Questo importante teorema ci permette di effettuare la sostituzione t = g (x ) ed invece di calcolare il limite

(65)

Cambio di variabile: esempio 1.

Esempio Calcolare lim x →+∞a 1/x per a ∈ R\{0}. Svolgimento. (Metodo 1)

Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi lim

x →+∞a

1/x _{= lim} t→0+a

(66)

Cambio di variabile: esempio 1.

Esempio Calcolare lim x →+∞a 1/x per a ∈ R\{0}. Svolgimento. (Metodo 2)

(67)

Cambio di variabile: esempio 2.

Esempio Calcolare lim x →1(x − 1) 2 Svolgimento.

(68)

Cambio di variabile: esempio 3.

Esempio (Facoltativo) Calcolare lim x →+∞sin (1/x ) Svolgimento.

Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi lim

(69)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguente limite notevole

limx →±∞ 1 +1_x

x = e

Corollario

limx →±∞ 1 +α_x

(70)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Dimostrazione.

Partiamo dal caso α 6= 0. Ragioniamo per sostituzione, e poniamo t = x α, cio`e

x = αt. Dal limite notevole lim x →±∞ 1 +1 x x = e e dal fatto che se

(71)

Limite di funzione: limiti notevoli.

(72)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

limx →0 log (1+x )_x = 1

Dimostrazione facoltativa.

Effettuiamo la sostituzione y = 1/x , cio`e x = 1/y. Allora se x → ±0, si ha che y → ±∞ e da γ log(y ) = log(y )γ

(73)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Nota.

Nella precedente dimostrazione, abbiamo prima osservato che limx →0(1 +_y1)y = e,

limx →elog(x ) = 1,

(74)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

limx →0e

x₋₁

x = 1

Svolgimento.

Posto y = ex− 1 (e quindi x = log(y + 1)), se x → 0, allora y → 0 e quindi da limy →0 log (1+y )_y = 1

(75)

Limite di funzione: esercizi svolti, 1.

Esercizio Calcolare lim x →0 3x − 1 x . Svolgimento. Da 3x− 1 x = elog (3x)− 1 x = ex log (3)− 1 x · log (3) · log (3) abbiamo, posto y = x · log (3), da limx →0e

x₋₁ x = 1 lim x →0 3x_{− 1} x = x →0lim ex log (3)_{− 1} x · log (3) · log (3) = lim y →0 ey_{− 1}

(76)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

limx →0a

x₋₁

x = log(a).

Svolgimento.

(77)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Esempio Mostrare che lim x →0 (1 + x )α− 1 x = α per ogni α ∈ R. Traccia.

Se α = 0, il risultato `e di facile verifica. Se α 6= 0, osserviamo che

(1 + x )α− 1

x =

eα log (1+x )− 1 x visto il limite notevole limt→0e

t₋₁

t = 1, per avere un simile numeratore,

(78)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Siccomet = α log (1 + x ), se e solo se x = eαt − 1, come detto

lim

x →0

ex− 1 x = 1, e abbiamo, visto che yα_{= e}α·log(y )_,

(79)

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Lemma

Per x ∈ (0, π/2) si ha

sin x ≤ x ≤ tan (x ).

Figura : Aree relative al disco unitario: area OCH =1₂sin(x ), area settore circolare OCH=1

(80)

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Dimostrazione.

Le aree del disco unitario della precedente figura, sono

area triangolo OCH =1

2sin(x ), visto che |OH| = 1,

area settore circolare OCH=1₂x, visto che se x `e in radianti

area disco : (2π) = area settore circolare : x ⇔ π : (2 · π) = area settore circolare : x ⇔ area settore circolare = x

2.

area triangolo OBH=1

2tan(x ).

Essendo per x ∈ (0, π/2), l’area del triangolo rettangolo OCH minore dell’ area del settore circolare OCH che a sua volta `e minore dell’area del triangolo rettangolo OBH, abbiamo

(81)

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

Vale il limite notevole

limx →0sin (x )_x = 1.

Dimostrazione.

Osservando che sin (x )_x `e pari, basta mostrare che limx →0+sin (x )_x = 1. Ma dal

lemma, per x ∈ (0, π/2),

sin x ≤ x ≤ tan (x ) = sin (x ) cos (x ). e dividendo i membri per sin x abbiamo

1 ≤ x sin (x ) ≤

1 cos (x )

e passando ai reciproci, poich`e 0 ≤ a ≤ b ≤ c implica 0 ≤ 1/c ≤ 1/b ≤ 1/a, cos (x ) ≤sin (x )

x ≤ 1,

(82)

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

limx →01−cos (x )_x2 = 1/2. Dimostrazione. Osserviamo che 1 − cos (x ) x2 = 1 − cos (x ) x2 · 1 + cos (x ) 1 + cos (x ) = 1 − cos 2 (x ) x2_{(1 + cos (x ))}= sin2(x ) x2 · 1 1 + cos (x ) (3) Da limx →0sin (x )_x = 1 si halimx →0sin

2_{(x )}

x2 = limx →0sin (x )_x ·sin (x )_x =1e quindi

(83)

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

limx →0tan (x )_x = 1.

Dimostrazione facoltativa.

Dal limite notevole limx →0sin (x )_x = 1, essendo limx →0_{cos(x )}1 = 1,

lim x →0 tan (x ) x = limx →0 sin (x ) x · cos (x ) = limx →0 sin (x ) x | {z }=1 · lim x →0 1 cos(x ) | {z }=1

(84)

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

limx →0arcsin (x )_x = 1.

Dimostrazione.

(85)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Nota. (Facoltativa)

I limiti notevoli finora visti dicono chesin (x ) ∼ x,tan (x ) ∼ x, arcsin (x ) ∼ x per x → 0. Vediamo l’effetto su un esempio.

x sin(x ) tan(x ) arcsin(x ) 1.0e + 00 8.4147098481e − 01 1.5574077247e + 00 1.5707963268e + 00 1.0e − 01 9.9833416647e − 02 1.0033467209e − 01 1.0016742116e − 01 1.0e − 02 9.9998333342e − 03 1.0000333347e − 02 1.0000166674e − 02 1.0e − 03 9.9999983333e − 04 1.0000003333e − 03 1.0000001667e − 03 1.0e − 04 9.9999999833e − 05 1.0000000033e − 04 1.0000000017e − 04 1.0e − 05 9.9999999998e − 06 1.0000000000e − 05 1.0000000000e − 05 1.0e − 06 1.0000000000e − 06 1.0000000000e − 06 1.0000000000e − 06 1.0e − 07 1.0000000000e − 07 1.0000000000e − 07 1.0000000000e − 07 1.0e − 08 1.0000000000e − 08 1.0000000000e − 08 1.0000000000e − 08 1.0e − 09 1.0000000000e − 09 1.0000000000e − 09 1.0000000000e − 09 1.0e − 10 1.0000000000e − 10 1.0000000000e − 10 1.0000000000e − 10

(86)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

limx →+∞

(logγx )α

xβ = 0, α > 0, β > 0, γ > 1.

Nota.

Importante il caso particolare

(87)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguenti limite notevole

limx →+∞x

β

αx = 0, α > 1, β > 0.

Nota.

limx →+∞ x

β

(88)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

limx →0+xα| log_γ(x )|β = 0, α > 0, β > 0, γ > 1.

Nota.

(89)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Esercizio Calcolare lim x →0+ √ x · log(sin(x )) Traccia.

(90)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Nota.

Nel calcolare il limite

lim

t→0+

r

arcsin(t) t

abbiamo notato che l’argomento `e una funzione composta f ◦ g (x ) = f (g (x )) dove

f (x ) =√x , g (x ) = arcsin(t)_t

e osservato che f (x ) =√x `e continua nel dominio. Quindi, visto che lim_t→0+ arcsin(t)

(91)

Limite di funzione: limiti notevoli.

Esercizio (Facoltativo) Calcolare lim x →0+ √ x · log₄(sin(x )) Traccia.

Osserviamo che da limx →0+

√ x

√

sin(x ) = 1 (perch`e?) abbiamo, posto t = sin(x )

lim

x →0+

√

x log₄(sin(x )) = lim

x →0+

√ x p(sin(x))

p

sin(x ) log₄(sin(x )) = 1 · lim

x →0+

p

sin(x ) log4(sin(x ))

= lim

t→0+

√

t log4(t) = 0

(92)

Limite di funzione: potenze.

Nota.

Mancano da studiare i limite di funzioni del tipo f (x )g (x ). Al variare dei limiti di f , g , si possono incontrare per il calcolo di

lim

x →x0

f (x )g (x )

indeterminazioni del tipo

00, 1±∞, ±∞0. Da lim x →x0 f (x )g (x ) = lim x →x0 elog(f (x )g (x )) = lim x →x0 eg (x ) log(f (x ))

(93)

Limite di funzione: potenze, esempio 1.

Esercizio Calcolare lim x →+∞x x Nota.

Per quanto visto

lim

x →+∞e

x log(x )_.

Visto che x log(x ) → +∞ deduciamo che lim

x →+∞x

(94)

Limite di funzione: ordini di convergenza.

Definizione (Infinitesima in x0)

Una funzione f si diceinfinitesima in x0 se e solo se

lim

x →x0

f (x ) = 0.

Definizione (Ordini di infinitesimi)

Siano f , g due funzioni infinitesime in x0.

selimx →x0 f (x )

g (x ) = 0 alloraf `e di ordine superiore rispetto a g

(e si scrive f (x ) = o(g (x )) per x → x0);

selimx →x0 f (x )

g (x ) = ±∞ allorag `e di ordine superiore rispetto a

f (e si scrive g (x ) = o(f (x )) per x → x0);

selimx →x0 f (x )

g (x ) = L ∈ R alloraf , g hanno lo stesso ordine; se

(95)

Limite di funzione: ordini di convergenza.

Definizione (Infinito in x0)

Una funzione f si diceinfinito in x0 se e solo se

lim

x →x0

f (x ) = ±∞.

Definizione (Ordini di infinito)

Siano f , g due funzioni infinite in x0.

selimx →x0 f (x )

g (x ) = ±∞ alloraf `e di ordine superiore rispetto a

g;

selimx →x0 f (x )

g (x ) = 0 allorag `e di ordine superiore rispetto a f;

selimx →x0 f (x )

(96)

Gerarchia degli infiniti

Si vede che limx →+∞log_ax = +∞, se a > 1. limx →+∞xα= +∞, se α > 0. limx →+∞ax = +∞, se a > 1. limx →+∞x ! = +∞. limx →+∞xx = ∞

(97)

Gerarchia degli infiniti

In virt`u della gerarchia degli ordini di infinito, possiamo dimostrare i seguenti risultati.

Teorema

Vale il seguente limite

limx →+∞ log_xαax = 0 per ogni α > 0, a > 1.

Teorema

limx →+∞x

α

(98)

Gerarchia degli infiniti

Teorema

limx →+∞ a

x

x ! = 0 per ogni a > 1.

Teorema

limx →+∞ _xx !x = 0

Nota.

(99)

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 1.

Esempio Sappiamo che lim x →0sin (x ) = 0, lim x →0x = 0,

e dal limite notevole

lim

x →0

sin (x )

x = 1

(100)

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 2.

Esercizio

Mostrare che 1 − cos(x ) = o(x ) per x → 0, cio`e limx →0 1−cos(x )_x = 0. Svolgimento. Sappiamo che lim x →01 − cos (x ) = 0, lim x →0x = 0.

Dal limite notevole limx →01−cos(x )_x2 = 1/2 abbiamo

(101)

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.

Esercizio

Mostrare che tan(x ) ∼ x per x → 0.

Svolgimento.

Per definizione, basta mostrare che

lim

x →0

tan(x )

x = 1

(102)

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.

Esercizio

Mostrare che arctan(x ) ∼ x per x → 0.

Svolgimento.

Per definizione, basta mostrare che

lim

x →0

arctan(x )

x = 1.

(103)

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 4.

Esercizio

Mostrare che xx `e infinito di ordine superiore rispetto 3x (per x → +∞).

Traccia.

Basta osservare che

lim x →+∞ 3x xx =_{x →+∞}lim 3 x x = lim x →+∞e x log(3/x )_{= 0}

(104)

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 5.

Esercizio

Mostrare che, se α > β allora xα _`_{e infinito di ordine superiore}

rispetto xβ (per x → +∞).

Traccia.

Basta osservare che se α > β allora

lim

x →+∞

xα

xβ =_{x →+∞}lim x

(105)

Limite di funzione: nota sugli ordini di convergenza.

Nota. (Importante)

Si supponga di dover calcolare lim

x →x0

f+(x ) + f−(x )

g+(x ) + g−(x )

se le funzioni sonoinfinitesime e supponiamo f+/f−→ 0,

g+/g− → 0 (cio`e f+= o(f−), g+= o(g−)) essendo

lim x →x0 f+(x ) + f−(x ) g+(x ) + g−(x ) = lim x →x0 f−(x )(1 + (f+(x )/f−(x )) g−(x )(1 + (g+(x )/g−(x )) = lim x →x0 f−(x ) g−(x ) (5)

(106)

Limite di funzione: nota sugli ordini di convergenza.

se le funzioni sonoinfiniti e supponiamo f−/f + → 0,

g−/g+ → 0 essendo lim x →x0 f+(x ) + f−(x ) g+(x ) + g−(x ) = lim x →x0 f+− (x)(1 + (f−(x )/f+(x )) g+(x )(1 + (g−(x )/g+(x )) = lim x →x0 f+(x ) g+(x ) (6)

si possono tralasciare i termini infinito di ordine inferioref−,

(107)

Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 1.

Esercizio Calcolare lim x →+∞ 2x4+ 4 · 3x x4₊√_{x + log(x )}. Traccia.

Eliminando gli ordini di infinito inferiori

(108)

Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 2.

Esercizio

Calcolare al variare del parametro α > 0 L = lim

x →+∞

2x4+ 4 · αx x4_{+ log x} .

Traccia.

Eliminando gli ordini di infinito inferiori lim x →+∞ 2x4+ 4 · 3x x4₊√_{x + log(x )}=_{x →+∞}lim 2x4+ 4 · αx x4 .

Se α < 1 allora 4 · αx _{→ 0 e si vede facilmente che L = 2.}

Se α = 1 allora 4 · αx = 4 e si si vede facilmente che L = 2. Se α > 1 allora eliminando gli ordini di infinito inferiori

(109)

Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 3.

Esempio Calcolare lim x →+∞ e5x x + sin(x ) − e6x. Traccia.

Eliminando la funzione limitata (che non da contributo contro le infinite!), visto che e6x ha ordine superiore rispetto a e5x in quanto e6x/e5x = (e6/5)x → +∞ (e ovviamente superiore rispetto a x)

(110)

Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 4.

Esercizio

Calcolare al variare del parametro α ∈ R+

lim

x →+∞

αx +1_{+ x}2

πx_{− e}−x_{− 2x}3_{+ sin(x )}

Traccia.

Notiamo che al numeratore tutto dipende se α ∈ (0, 1] o α ∈ (1, +∞). Al denominatore, tolti gli infinitesimi e le funzioni limitate, osserviamo che πx ha ordine superiore rispetto −2x3. Quindi

L = lim x →+∞ αx +1+ x2 πx₋ e −x_{− 2x}3₊ sin(x ) = lim x →+∞ αx +1+ x2 πx .

Seα ∈ (0, 1)il termine αx +1 _`_{e infinitesimo, mentre se}_{α = 1}_`_{e limitato. In}

entrambi i casi il termine αx +1 `e irrilevante. Quindi L = lim x →+∞ αx +1_{+ x}2 πx =_{x →+∞}lim x2 πx = 0

(111)

Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 4.

Seα ∈ (1, +∞)il termine αx +1`e infinito e domina su x2. Quindi

(112)

Limite di funzione. Esercizio di ricapitolazione.

Esercizio

Calcolare al variare del parametro α ∈ R+ lim x →+∞3 x +1_{− 3} √ x2₊₁ Svolgimento.

Notiamo subito che razionalizzare non aiuta. Ovviamente 3x +1 e 3 √

x2+1

sono infiniti, ma il limite richiesto non `e determinabile (forma +∞ − ∞).

Osserviamo che razionalizzando

(113)

(114)

(115)

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1

Esercizio Mostrare che lim x →0sin (x ) = 0. Svolgimento.

L’asserto limx →0sin (x ) = 0 significa che per ogni > 0 esiste

δ() > 0 tale che | sin (x ) − 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0.

(116)

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1

Ricordiamo ora che arcsin `e dispari e quindi si ha

arcsin (−x ) = − arcsin (x ) per x ∈ [−π/2, π/2]. Quindi affinch`e − < sin (x) < , almeno in un intorno di 0 contenuto in

[−π/2, π/2], basta − arcsin () = arcsin (−) < x < arcsin () cio`e |x| < arcsin ().

(117)

Limite di funzione

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Figura : Il limite di sin (x ) per x → 0 è 0. Descrizione degli intorni Vc (rosso), Uc (magenta), per c = 0, per = 0.2. Dalla teoria si evince che per tale una buona scelta è δ() = arcsin () = 0.2013 . . . ed è

(118)

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 2

Esercizio

Mostrare che non valelimx →0x2 = 1.

Svolgimento.

Per assurdo supponiamo sia limx →0x2= 1, cio`e che per ogni > 0

esiste δ() > 0 tale che |x2− 1| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Supponiamo inoltre sia < 1. Ma |x2_{− 1| < implica − < x}2_{− 1 < cio`e 1 − < x}2_{< 1 + e}

quindi dalla monotonia della radice quadrata che o p

(1 − ) < x <p(1 + ) o

−p(1 + ) < x < −p(1 − )

(119)

Limite di funzione: esercizio 3

Esempio Verificare che lim x →−∞2 1/x _{= 1} Svolgimento.

Come detto, mostrare che per ogni > 0 esiste K tale che se x < K allora |f (x) − L| < . Nel nostro caso diventa per ogni > 0 esiste K tale che se

x < K allora |21/x− 1| < . La tesi sta per

− < 21/x− 1 < ⇔ 1 − < 21/x< 1 +

(120)

Limite di funzione: esercizio 3

Se ≥ 1, allora

1 − < 21/x < 1 + `

e ovviamente verificata per x < 0 in quanto 1 − < 0 < 21/x < 1 < 1 + .

In questo caso, posto K < 0 arbitrario, 1 − < 21/x _{< 1 +}

(121)

Limite di funzione: esercizio 3

Se < 1 vogliamo

− < 21/x− 1 < ⇔ 1 − < 21/x < 1 + .

Se x < 0 allora certamente 21/x < 1 < 1 + . Basta mostrare che per un certo K < 0 si ha che se x < K allora

1 − < 21/x. Dalla monotonia crescente di log₂(x ), osservato che log₂(1 − ) < 0, x < 0 basta

log₂(1 − ) < log₂2x1 = 1

x ⇔ x < 1 log₂(1 − ) e quindi posto K = _log 1

2(1−), se x < K allora

(122)

Limiti destro e sinistro e limiti: esercizio 1.

Esercizio Mostrare che lim x →0− 1 x = −∞ Svolgimento. Con la scrittura lim x →0− 1 x = −∞

indendiamo che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che 1_x < K per ogni x ∈ (−δ(K ), 0).

In effetti, affinch`e 1_x < K basta _K1 < x (attenzione, K < 0) che `e verificata per x ∈ (−δ(K ), 0) con δ(K ) =_K1

(123)

(124)

Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile

(facoltativo)

Traccia.

Dopo un po’ di conti essendo x + 3 x + 4 = 1 −

1 x + 4

si ricava, raccogliendo opportunamente e moltiplicando sopra e sotto per (−1/(x + 4)), x + 3 x + 4 x 2+7_{2x +1} = e x 2(1+7/x 2) x (2+1/x ) log(1−1/(x +4)) −1/(x+4) (−1/(x +4))

e per algebra di limiti e limiti notevoli si ha che il limite dell’esponente vale −1/2 e quindi il limite vale

(125)

Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile

(facoltativo).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 105 0.6065 0.6065 0.6066 0.6066 0.6066 0.6066 0.6066 0.6067 0.6067 Figura : La funzionex +3 x +4 x 2 +7_{2x +1}

(126)

Limite di funzione: esercizio 2. Medio (facoltativo).

Esempio Calcolare al variare di α ∈ R L = lim x →+∞αx − p x2_{+ 3} per ogni α ∈ R. Traccia.

L’unico caso complicato `e quello per α > 0. Distinguere i casi α2− 1 6= 0 (quindi α = 1) da quelli in cui α2− 1 = 0. Si ottiene che per

(127)

Limite di funzione: esercizio 3. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →0 (1 + x ) √ 2_{− 1} x = √ 2 Traccia.

Usare il limite notevole

lim

x →0

(1 + x )α− 1

(128)

Limite di funzione: esercizio 4. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →0 √ 1 + x − 1 3 √ 1 + x − 1 = 3/2 Traccia.

Moltiplicare e dividere per x e quindi ricordare il limite notevole

lim

x →0

(1 + x )α− 1

(129)

Limite di funzione: esercizio 5. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →+∞ p 1 + x2_{− x = 0} Traccia.

(130)

Limite di funzione: esercizio 6. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che L = lim x →+∞( p 1 + x2_{− x)}x3/2 _{= 0} Svolgimento. Da (f (x ))g (x )= eg (x ) log(f (x )) lim x →+∞( p 1 + x2_{− x)}x3/2 = ex3/2log( √ 1+x2_−x)

Dall’esercizio precedente sappiamo che limx →+∞

√

1 + x2_{− x = 0}

quindi log(√1 + x2_{− x) → −∞ e da x}3/2 _{→ +∞ ricaviamo che}

(131)

Limite di funzione: esercizio 7. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che L = lim x →−∞( p 2x2_{+ 1 + x ) = +∞} Traccia.

(132)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Mostrare che, razionalizzando oppurtanamente,

lim x →+∞ √ x − r x2_{+ 1} x = 0. Esercizio

Mostrare che, razionalizzando oppurtunamente, lim

x →−∞

3

p

x2_{+ 1 −}√_2x2_{= −∞.}

Suggerimento: nella razionalizzazione moltiplicare sopra e sotto per

(133)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Utilizzando opportune sostituzioni, calcolare limx →0sin(3x )_x

limx →π+ √sin(x )

x −π

limx →+∞x π₂ − arctan(x)

(134)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Mostrare che lim x →0 1 − cos3(x ) x tan (x ) = 3/2.

Suggerimento: a3− b3 _{= (a − b)(a}2_{+ ab + b}2_{) e usare limite}

notevole. Esercizio Mostrare che lim x →3 2x − 6 sin (πx ) = −2/π.

(135)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Mostrare che lim x →+∞x · π 2 − arctan (x) = 1.

Suggerimento: t = tan (x ) e usare un limite notevole.

(136)

(137)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Mostrare che lim x →0 sin(x2) p3x4_{+ x}5_{cos(x )}= 1/ √ 3 Esercizio

Calcolare attraverso le sostituzioni t = 1/x , y = arccos(t) e u = (π/2) − y

lim

(138)

(139)

(140)

(141)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Calcolare (attenzione, x → 0) lim x →0 5x− 7x x Traccia.

Raccogliere 7x _{e ricordare che lim} x →0a

x₋₁

(142)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Calcolare lim x →−∞ x3+ 2x + 1 x − 1 cos x 2 + 2 Traccia.

(143)

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Calcolare lim x →0 sin(x2) p3x4_{+ x}5_{cos(x )} Traccia.

Usare il limite notevole limx →0sin(x )/x = 1 e raccogliere x4 nella