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Testo completo
f (x, y) f(x 0 , y 0 ) 8(x, y) 2 I (x 0 , y 0 ). (10) Consideriamo ora la funzione F (x) = f (x, y) | y=y0
Analogalmente, considerando la funzione G(y) = f (x, y) | x=x0
@ x f (x, y) = arctan(xy) + 1+(xy) xy 2
@ y f (x, y) = 1+(xy) x2 2
• Determiniamo i punti di punti di massimo e di minimo relativi della funzione f (x, y) = x 2 log(x 2 + 2y 2 ) nel suo dominio. La funzione risulta definita e deri- vbile nel dominio aperto D = R 2 \ {(0, 0)}. Gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo saranno quindi punti stazionari. Risultano punti stazionari i punti dell’asse delle ordinate P y (0, y), y 2 R \ {0}, e i punti Q ± ( ± p 1 e , 0). Ab- biamo f (0, y) = 0 mentre f (x, y) 0 se e solo se |y| p 1 2 . Ne segue che i punti P y (0, y) con |y| > p 1 2 sono punti di minimo relativo mentre i punti P y (0, y) con 0 < |y| < p 1 2 sono punti di massimo relativo. Proveremo invece che i punti Q ± ( ± p 1 e , 0) risultano punti di minimo relativo con f ( ± p 1 e , 0) = 1 e log e 12
(x 0 , y 0 ) @y@x @2
(5)
(6)
+ 1 2 ( @ @x2
+ @ @y2
(8)
f (v 0 + tu 1 ) f (v 0 ) = 1 2 Hf (v 0 )(tu 1 ) · (tu 1 ) + o(t 2 ) = t 22
Dalla definizione di o piccolo esiste 1 > 0 tale che se |t| < 1 allora |o(t 2 ) | < m 41
f (v 0 + tu 1 ) f (v 0 ) = t 22
Analogalmente, considerando v = v 0 + tu 2 , avremo che esiste 2 > 0 tale che f (v 0 + tu 2 ) f (v 0 ) = t 22
@ y f (x, y) = log(y + 4x 2 ) + y+4x y 2
della funzione f (x, y) = x 33
ammette come soluzioni i punti P (1, 0) e Q( e 12
0 2e 2 = 4 < 0 Otteniamo allora che P (0, 1) `e punto di minimo mentre Q( e 12
Consideriamo la funzione f (x, y) = ( x2
(ii) Osserviamo che la funzione risulta costante lungo le parabole y = ax 2 , x 6= 0, con f (x, ax 2 ) = 1+a a2
(iii) Studiamo la monotonia della funzione lungo le rette x = x 0 parallele all’asse delle ordinate. Posto G x0
G x0
G 0 x0
e dunque G 0 x0
• f(x, y) = x2
• f(x, y) = (x 2 + y 2 )e x2
• f(x, y) = x x22
(15)
(16)
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