Statistica Cognome:
Lauree Triennali in Biologia e Biologia Molecolare Nome:
25 giugno 2010 Matricola:
Tema C 1. Parte A
1.1. Siano x1, . . . , xn e y1, . . . , ym due campioni normali indipendenti con medie e varianze incognite. Le varianze campionarie sono pari rispettivamente a s2x e s2y. Il test per il confronto di medie basato sulla varianza combinata s2p = (n−1)s
2
x+(m−1)s2y
n+m−2 pu`o essere applicato solo se
entrambi i campioni sono numerosi.
almeno un campione `e numeroso.
le medie incognite siano uguali.
le varianze incognite sono uguali.
1.2. Una variabile casuale X `e tale che E(X) = −1, V ar(X) = 5. Se si pone Y := −2X + 5, quanto vale V ar(Y )?
7
−5
15
20
1.3. Su un campione di dati si esegue un test χ2 di adattamento alla distribuzione di Poisson.
Se il valore-p del test `e 0.0001, quale di queste conclusioni `e corretta?
C’`e una forte evidenza che la distribuzione incognita sia una Poisson.
C’`e una forte evidenza che la distribuzione incognita non sia una Poisson.
`E stato commesso errore di prima specie.
`E stato commesso errore di seconda specie.
1.4. Se due eventi A e B sono tali che P (A) = 45 e P (B) = 35, si pu`o certamente concludere che
P (A ∪ B) = 1
P (A ∪ B) = 1225
P (A ∩ B) = 1225
P (A ∩ B) ≥ 25
1.5. Il percentile zα della distribuzione normale standard
`e il valore della funzione densit`a della normale standard calcolata nel punto α.
`e un numero che, al variare di α, pu`o assumere solo i valori compresi tra 0 e 1.
`e un numero che, al variare di α, pu`o assumere tutti i valori reali.
`e una distribuzione di probabilit`a.
1.6. Qual `e la probabilit`a di ottenere almeno una testa in tre lanci di una moneta?
78
38
13
23
1
2
1.7. In un campione di 7 dati, tre dati valgono 2.2, due dati valgono 1.2, un dato vale 2.5 e un dato `e incognito. Quanto vale la mediana?
1.2
1.7
2.2
Non `e possibile rispondere senza conoscere il valore del dato incognito.
2. Parte B
2.1. La casa farmaceutica AAA esegue dei test su eventuali effetti collaterali del farmaco ZZZ.
Un campione di 734 individui viene trattato con il farmaco ZZZ, e 117 di essi ha lamentato mal di testa. Un campione di 725 individui, viene invece trattato con un placebo, e di essi 77 ha lamentato mal di testa. Quali conclusioni si possono trarre? (Determinare il valore-p di un opportuno test).
Soluzione. Usiamo un test di confronto di due proporzioni. Se p1 `e la proporzione di individui trattati con ZZZ, che lamentano mal di testa, e p2 `e l’analoga proporzione per gli individui trattati con placebo, sottoponiamo a verifica l’ipotesi H0 : p1 ≤ p2. Posto ˆp1 = 117/734 e
ˆ
p2 = 77/725, la statistica test assume valore st = pˆ1− ˆp2
qpˆ1(1− ˆp1)
734 +pˆ2(1− ˆ725p1)
= 3.0044
Il valore-p del test `e
α = 1 − P (Z ≤ st) ' 0.0013.
I dati sono dunque fortemente in contrasto con H0, cio`e mostrano un sostanziale aumento di incidenza del mal di testa fra coloro che sono trattati con ZZZ.
3
2.2. Un quotidiano locale ha fornito i seguenti dati relativi al numero di furti in appartamento in una cittadina nell’anno 2008, nei diversi giorni della settimana.
Giorni della settimana Dom. Lun. Mar. Mer. Gio. Ven. Sab.
Numero di furti 74 45 46 48 52 61 75
Nella locale centrale di polizia ci si domanda se questi dati siano sufficienti a ritenere che i furti non si distribuiscano in modo uniforme nei sette giorni della settimana. Voi che ne dite?
(Effettuare un test al 5%)
Soluzione. Applichiamo un test χ2 di buon adattamento all’ipotesi H0 di adattamento alla distribuzione che assegna probabilit`a 1/7 ad ogni giorno della settimana. Poich´e il numero totale di furti `e n = 401, le frequenze attese in ogni giorno della settimana sono uguali a 401/7 = 52.2857. Otteniamo allora la statistica test
st = (74 − 52.2857)2
52.2857 +(45 − 52.2857)2
52.2857 +(46 − 52.2857)2
52.2857 + · · · +(75 − 52.2857)2
52.2857 ' 17.446.
essendo χ26,0.05 = 12.592, la statistica test cade nella regione critica, e quindi H0 viene rifiutata.
Pertanto, a livello di significativit`a del 5%, questi dati sono sufficienti a ritenere che i furti non si distribuiscano in modo uniforme nei sette giorni della settimana.
4
2.3. Si ritiene che la temperatura del corpo umano nella popolazione sana sia distribuita normalmente con media 36.7o e deviazione standard 0.32o.
a) Qual `e la percentuale di persone sane la cui temperatura `e superiore ai 37.3o?
b) Supponiamo di dare la seguente definizione di febbre: un individuo ha la febbre se la sua temperatura `e superiore a T , dove T `e quel valore della temperatura per cui esattamente il 10% della popolazione sana ha una temperatura maggiore di T . Si determini il valore di T .
Soluzione.
a) Sia X ∼ N (36.7, (0.32)2), e Z = X−36.70.32 ∼ N (0.1).
P (X > 37) = P
Z > 37.3 − 36.7 0.32
= P (Z > 1.8750) = 1 − P (Z ≤ 1.8750) ' 0.0304.
Quindi la percentuale di persone sane la cui temperatura `e superiore ai 37o`e il 3.04%.
b) Dev’essere
0.01 = P (X > T ) = P
Z > T − 36.7 0.32
, cio`e
T − 36.7
0.32 = z0.01= 2.326, da cui
T = 36.7 + 0.32 ∗ 2.326 = 37.4443
