14 marzo 2007 2007

Esercitazione N Esercitazione N .1 .1

14 marzo

14 marzo 2007 2007

Matrici Matrici

™

operazioni operazioni

™

™

determinante determinante Caratteristica

Caratteristica

™™

teorema teorema di di Kronecker Kronecker Sistemi lineari

Sistemi lineari

™™

soluzioni soluzioni

™™

teorema teorema di di Rouch Rouch é é - - Capelli Capelli

ESERCIZIO1.

Matrici e loro operazioni

Verificare se in M₂ ( R) la matrice identità I₂ é combinazio- ne lineare delle matrici A, A², A³ con A= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 .

Dire che un elemento é combinazione lineare di altri ele- menti vuol dire che si può scrivere nel seguente modo:

I2 é C. L. di A, A², A³ ⇔ ∃ x, y, z ∈ R tali che I2 = xA + y A² + z A³ .

Calcoliamo prima A² e A³ :

X prodotto righe per colonne di matrici A² = A A = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 ;

A³ = A² A = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3 1 0

1 .

Allora la nostra relazione è x ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 +y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 +z ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0

1

sviluppiamo effettuando le operazioni tra matrici :

o PRODOTTO DI UN NUMERO PER UNA MATRICE

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−x x 0

x + ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2y y 0

y + ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3z z 0

z = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0 1

p SOMMA DI MATRICI

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

+ +

z y x 3z - 2y - x

0 z

y

x = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0 1

UGUAGLIANZA DI MATRICI

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

−

−

−

=

= + +

1 z y x

0 3z 2y x

0 0

1 z y x

EQUIVALENTE AL SISTEMA

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

−

−

1 z y x

0 3z 2y x

Dobbiamo ora stabilire se questo sistema ha o non ha soluzioni. In questo caso senza fare uso della teoria è faci- le vedere che ponendo ad esempio z=0, e poi sommando membro a membro si trova y=-1 e quindi x= 2. Dunque una soluzione c’è ed è (2,-1,0).

In realtà la scelta z=0 è arbitraria e si può vedere ad. es.

sommando m. a m. (2 volte) che tutte le soluzioni sono ( 2+z,-1-2z,z) al variare di z in R, dunque infinite:infiniti modi di scrivere I2 come C. L. di A, A², A³

MATRICI QUADRATE

A matrice quadrata nxn, R₁, R₂, …, R_n le sue righe d(A)= determinante di A, ρ(A) = caratteristica di A ( definita come max n° di righe L.I. )

∗

∗

R₁, R₂, …, R_n L.I.

ρ(A) massima = n d(A) ≠0

A invertibile DEF.

MATRICI MXN

∗

Max n°righe (colonne) L.I.

max ordine minori non nulli di A

max ordine sottomatrici quadrate

invertibili di A DEF.

ρ(A)

DEF.

ESERCIZIO2.

Caratteristica di una matrice – Regola di Kronecker

Calcolare la caratteristica delle seguenti matrici :

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

1 2 0

1

0 1 1

1

1 1

1 0

1 0

2 1

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 1 1

2 1 0 3

0 0 1 2

1 1 0 3

1 0 1 2

. A B

I° MODO (con la definizione)

Per definizione ρ (A) è il massimo numero di righe ( equi- valentemente colonne ) linearmente indipendenti di A.

Vediamo se troviamo delle combinazioni lineari sulle righe o sulle colonne. Ad esempio R₃ = R₁ – R₂ e R₄ = R₁-2R₂ quindi R₃ ed R₄ non danno alcun contributo ai fini del calcolo di ρ (A) ossia ρ (A)= ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 1 1

1 0 1 0

2

ρ 1 . Ora poiché per due righe

essere linearmente indipendenti significa non essere propor- zionali (non multiple), ricaviamo ρ (A)=2.

II° MODO (con i minori e la regola di Kronecker) ρ (B)= massimo ordine dei minori non nulli di B.

B = ⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0 3

0 0 0 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 1 2

Per definizione il max n. di righe (colonne) L.I. è 4, quindi ρ (B) ≤ 4.

⇒ 2 ≤ ρ (B) ≤ 4

Ora procediamo con la REGOLA DI KRONECKER e con- sideriamo i minori di ordine 3 orlanti il minore di ordine 2 non nullo :

a

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0 3

0 0 0 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 1 2

Calcoliamo quello in verde

0 0 1

1 1 0

1 0 1 Il minore individuato 0 1

0

1 = 1 ≠ 0

È un minore di ordine 2 non nullo.

Allora ρ (B) ≥2

Sono 6 minori. Se sono tutti nulli Krone- cker ci garantisce che ρ (B)=2, altri- menti appena ne troviamo uno non nullo ripetiamo l’algoritmo orlandolo …

0 0 1

1 1 0

1 0 1

= 1 ₁⁰ ₁¹ = 1 (-1) =-1 ≠ 0

Abbiamo trovato un minore di ordine 3 non nullo,quindi ρ (B)≥3.

Ora ripetiamo il processo, orlando la sottomatrice il cui det. è ≠ 0

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0 3

0 0 0 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 1 2

.

Abbiamo le due sottomatrici

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 1 0 3

0 0 1 2

1 1 0 3

1 0 1 2

,

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0

0 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 1

.

Calcoliamo il determinante della seconda

1 2 1 0

0 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 1

= 1

1 2 1

1 1 1

1 1 0

= -1(0) +1(2-1) = 1 ≠0

Abbiamo trovato un minore di ordine 4 non nullo quindi ρ(B)=4.

Sviluppo lungo R3

Elemento di posto 3+1 = pari

sviluppo lungo R₃

Riepilogando :

REGOLA DI KRONECKER

ρ (A)=p ⇔

Con Kronecker risparmi …

Se abbiamo ad esempio una matrice 4x5 Il numero dei minori di ordine 3 è :

40 4

! 10 3

2 3 4

! 3

3 4 5 3 4 3

5 ⎟⎟⎠ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Il numero dei minori di ordine 3 che orlano un minore di ordine 2 (che supponiamo non nullo) è : 3⋅2=6

La regola di Kronecker consente di risparmiare il calcolo di 34 minori di ordine 3.

1. A possiede un minore M non nullo di ordine p

2. Tutti i minori di ordine p+1 che orlano M sono nulli.

ESERCIZIO3.

Operazioni tra Matrici – Sistemi lineari

Sia data la matrice A= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 ∈ M2,3 (R).

a) Stabilire se esiste B∈ M3,2 (R) tale che AB= I2 e se esiste C∈ M3,2 (R) tale che CA= I_{3 .}

b) Nel caso in cui si sia risposto ad a) affermativamen- te, fornire un esempio, specificando se di matrici ri- chieste ne esistono un numero finito o infinito.

a)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ f e

d c

b a

= ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

−

f d e c

d b c a

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

−

f d e c

d b c

a = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0

1 ⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

= +

=

−

=

−

1 f d

0 e c

0 d b

1 c a

Una soluzione è ad esempio a=1, c=0, e=0, b=0, d=0,f=1 ,

dunque ∃ B= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ 1 0

0 0

0 1

richiesta.

2x3 3x2 2x2

Poi si vede facilmente che per il sistema

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

= +

=

−

=

−

1 f d

0 e c

0 d b

1 c a

(a, b, a-1,b, 1-a, 1-b) è soluzione al variare di a, b in R, dunque ci sono infinite B richieste.

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

f e

d c

b a

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 = _⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Stesso procedimento:

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

= +

−

=

...

...

0 b

0 b a

1 a

⇒ a= 1 , a= 0

⇒ sistema incompatibile

SISTEMI LINEARI

Esempio 1

⎩⎨

⎧

=

−

=

− 1 y x

0 y x

Esempio 2

⎩⎨

⎧

= +

= 2 y x

0 y - x

Esempio 3

⎩⎨

⎧

=

−

= 2 2y 2x

1 y - x

y y y

x x x

-1 1 O 2

P(1,1) 1

O

2 1 O

1

Nessuna soluzione

Disegni nel piano reale affine

Una (ed una sola) soluzione

infinite soluzioni (x, x-1) al variare di x in R

ESERCIZIO4.

Sistema lineare con parametro

Dato il seguente sistema lineare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

= +

-λ λz y

λ z - x

2 y λx

con λ∈R

stabilire per quali λ ∈ R ha soluzioni e quante sono.

Il sistema si può scrivere in forma matriciale :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

λ λ 2 z

y x λ 1 0

1 - 0 1

0 1 λ

Il sistema è esprimibile così : A X = b e A|b indica la matrice completa

A

matrice dei coefficienti

X

matrice delle indeterminate b

matrice dei termini noti

Per i sistemi lineari risponde al problema dell’esistenza di soluzioni e al loro ‘numero’ il

Teorema di Rouchè Capelli:

™ Il sistema ha soluzioni ⇔ ρ(A) = ρ(A|b)

™ Nel caso in cui ci siano soluzioni, sono ∞^n-p con n numero incognite e p= ρ(A)

Iniziamo studiando ρ(A) =

λ 1 0

1 - 0 1

0 1 λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

La caratteristica di A é minore o uguale a 3, essendo A una matrice quadrata di ordine 3. E’ importante rilevare la presenza di minore indipendenti dal parametro λ.

Esiste un minore, ₀¹ ₋⁰₁ che é diverso da zero, quindi ρ(A) ≥2 ∀ λ∈R .

Calcoliamo

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− = λ(1) - λ = 0 ∀ λ∈R

⇒ ρ(A) =2 ∀ λ∈R .

Ora studiamo ρ(A|b) :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ λ

λ 2

1 0

1 0 1

0 1

che vale 2 o 3 a seconda che la colonna

dei termini noti alteri o meno ρ(A).

Usiamo la regola di Kronecker : consideriamo il minore (eviden- ziato) di ordine 2 diverso da zero e calcoliamo i due minori di ordine 3 che lo orlano:

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− =0 (già visto)

λ λ 1

λ 1 0

2 0 1

−

− = λ-λ²+2

CASO 1. Entrambi i minori orlanti sono nulli , per Kronecker ρ(A|b) =2 ed è uguale a ρ(A), di conseguenza per il teorema di Roché Capelli ci sono soluzioni e sono ∞^n-ρ = ∞^3-2 = ∞¹

CASO 2. C’è in A|b un minore non nullo di ordine 3 ⇒ ρ(A|b)=3≠2=ρ(A) ⇒ nessuna soluzione (R.C.)

Conclusione: λ ≠ 2,-1 : nessuna soluzione λ =2,-1 : ∞¹ soluzioni

= 0 se λ =2,-1 1.

≠ 0 se λ ≠ 2,-1 2.