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Modelli Matematici - Meccanica Quantistica
Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2020/21 (3° anno, I semestre, 3 CFU)
Docente: Maurizio Serva
”Nissuna umana investigazione si pu`o dimandare vera scienzia s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni, e se tu dirai che le scienzie, che principiano e finiscono nella mente, abbiano verit`a, questo non si concede, ma si niega, per molte ragioni, e prima, che in tali discorsi mentali non accade esperienzia, sanza la quale nulla d`a di s´e certezza”. - Leonardo da Vinci (1452-1519)
Programma
• Parte I - Comportamento dei sistemi quantistici e un po’ di storia.
Diffrazione e interferenza di elettroni: la doppia fenditura. Il problema della stabilit`a degli atomi. Le righe spettrali e la formula di Rydberg. La vecchia teoria dei quanti: il modello atomico di Bohr. La regola di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld.
• Parte II - Postulati, princ`ıpi e strumenti matematici della Meccanica Quantistica.
Stato quantistico: funzione d’onda e probabilit`a dell’esito di una misura della posizione. Principio di sovrappo- sizione. Operatori hermitiani. Autovalori e autostati. Probabilit`a dell’esito di una misura di un’osservabile.
• Parte III - Posizione e impulso: principio di indeterminazione di Heisemberg.
Operatore posizione e operatore impulso: autostati e autovalori. Prodotto e commutatore di operatori: il commutatore fondamentale. Relazione di indeterminazione di Heisenberg.
• Parte IV - La dinamica: l’equazione di Shr¨odinger.
Hamiltoniana quantistica ed equazione di Shr¨odinger. Autostati e autovalori. Stati legati e stati di scattering.
Soluzione generale. Conservazione della norma ed evoluzione della media di un operatore.
• Parte V - L’equazione di Shr¨odinger in una dimensione.
Spettro continuo: il caso libero. Il pacchetto d’onda. Non degenerazione dei livelli discreti nel caso unidimen- sionale. Spettro discreto: buca di potenziale di altezza infinita. Compresenza di spettro continuo e discreto:
buca di potenziale di altezza finita.
• Parte VI - L’equazione di Shr¨odinger per l’oscillatore armonico.
Stato fondamentale corrispondente all’autovalore ¯hω/2. Operatori di creazione e distruzione. Autostati e autovalori della hamiltoniana dell’oscillatore armonico.
Testi di riferimento
M.Serva, Meccanica Quantistica in un guscio di pinolo.
Scaricabile da http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/pinolo.pdf
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifˇsits, Fisica Teorica 3 - Meccanica quantistica. Teoria non relativistica, Editori Riuniti, University Press, 2010.
P. A. M. Dirac, I princ`ıpi della Meccanica Quantistica, Bollati Boringhieri, 1990.
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Short Syllabus
• I - The behavior of quantum systems and a little of hystory.
• II - Postulates, principles and mathematical tools of Quantum Mechanics.
• III - Position and momentum: the Heisenberg’s uncertainty principle.
• IV - The dynamics: the Shr¨odinger equation.
• V - The Shr¨odinger equation in one dimension.
• VI - The Shr¨odinger equation for the harmonic oscillator.
Course objectives:
This course aims to enable the students to understand basic Quantum Mechanics and to handle the Schr¨odinger Equation.
Learning outcomes (Dublin descriptors):
On successful completion of this course, the student should
• have acquired the basic notions of Quantum Mechanics,
• be able to handle the Shr¨odinger Equation in simple cases,
• be able of reading and understanding more advanced topics in Quantum Mechanics,
• have acquired a deeper comprehension of the physical world,
• be able to face novel problems with a similar mathematical modeling.
Prerequisites and learning activities:
Classical Mechanics, Elementary Probability Theory, Linear Algebra.
Teaching methods:
Lectures and exercises.
Assessment methods and criteria:
Written and, if necessary, oral examination.
