Esercizi di Algebra Lineare Vettori: prodotto vettoriale
Anna M. Bigatti 1 ottobre 2012
Dati u e v vettori dello spazio e P − O , Q − O i due rappresentanti applicati in un punto O ; allora u e v sono paralleli ( u k v ), se O, P, Q sono allineati.
Fissiamo nel piano R2 (o nello spazio) un sistema di coordinate. Allora u k v se e solo se sono uno multiplo dell’altro (se ∃α ∈ R tale che u = α · v , oppure v `e il vettore nullo).
Prodotto vettoriale
Fissiamo nello spazio R3 un sistema di coordinate ortogonale monometrico.
Ora definiamo un’altra strana moltiplicazione:
Definizione 1 Il prodotto vettoriale di due vettori u = (x1, y1, z1) , v = (x2, y2, z2) in R3
`e il vettore
u ∧ v def= (y1z2− y2z1, −(x1z2− x2z1), x1y2− x2y1)
Dati u , v , w vettori in R2 e β ∈ R valgono le seguenti propriet`a:
(a) Anti-commutativit`a: u ∧ v = −v ∧ u (regola della mano destra) (b) Linearit`a: (β · u) ∧ v = β · (u ∧ v) e (u + v) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w
Lemma 2 Siano u , v vettori in R3
(a) u e v sono paralleli se e solo se u ∧ v = 0R3
(b) u ∧ v `e perpendicolare sia a u che a v
Teorema 3 Siano u , v vettori in R3 e θ l’angolo ˆuv . (a) u · v = |u| · |v| · cos(θ)
(b) |u ∧ v| = |u| · |v| · sin(θ)
Da cui segue
(a) L’area del parallelogrammo descritto da u e v `e |u ∧ v|
(b) Il volume del parallelepipedo descritto da u , v , w `e |(u ∧ v) · w|
Proiezione ortogonale su un vettore
Abbiamo visto che, in un sistema di coordinate cartesiane ortogonale monometrico, si ha u · v =
|u| · |v| · cos(θ) dove |u| · cos(θ) `e la lunghezza della proiezione ortogonale di u su v , allora il
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vettore proiezione ortogonale di u su v `e
pv(u) := u · v
|v| · vers(v) =u · v
|v|2 · v se v `e versore pv(u) := (u · v) · v
(Notate bene il diverso significato dei due “ · ”!!)
Si vede facilmente che u − pv(u) `e perpendicolare a v (calcolando (u − pv(u)) · v ).
Esercizi
Esercizio 4 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano.
(a) calcolare la lunghezza dei 3 lati del triangolo con vertici in A = (1, 2) , B = (3, 1) , C = (−1, −1) e calcolarne l’area.
(b) qual `e il prodotto scalare di due vettori di lunghezza risp 1 e 2, che formano un angolo di π/6 (30 gradi)? Dare un esempio di due vettori con queste propriet`a e applicati in O e calcolare la distanza tra i due estremi.
Esercizio 5 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nello spazio e si consi- derino i tre vettori u1= (1, 2, 0) , u2= (2, 4, 1) , u3= (4, 9, 1) .
(a) Trovare tutti i vettori che sono perpendicolari sia a u1 che a u2. (b) Calcolare il volume η del parallelepipedo definito dai tre vettori.
Esercizio 6 Sia dato un sistema di coordinate nello spazio. Determinare per quali valori del parametro k i 4 punti (0, 0, 0) , (1, k, k) , (1, 0, 2) , (k, 1, 2) sono complanari.
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