- DEFINIZIONE DI VETTORE - COMPONENTI DI UN VETTORE - SOMMA E DIFFERENZA - PRODOTTO SCALARE - PRODOTTO VETTORIALE

CALCOLO VETTORIALE

ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

- DEFINIZIONE DI VETTORE

- COMPONENTI DI UN VETTORE - SOMMA E DIFFERENZA

- PRODOTTO SCALARE - PRODOTTO VETTORIALE

1

VETTORE

(lettera v in grassetto )

v

direzione verso





caratterizzato da

3

direzione modulo verso

punto di applicazione

v

esempi spostamento s velocità v accelerazione a

s = 16.4 m

v = 32.7 m s ^–1 a = 9.8 m s ^–2

COMPONENTE DI UN VETTORE

v_y² + v_x² =

= v²(cos² + sen²) =

= v² cos²+ v² sen² =

= v ²

(lungo una direzione)

direzione



v

 v_y v_x o

x

v_y = v cos  v_x = v sen 

sen cos

3

VERSORE vv

 modulo = 1 direzione v verso v





n = ^

n ^ direzione e verso

 n

F_n F



F_n = F cos



S

esempio: componente di un vettore

prodotto scalare fra il

vettore forza F e il versore n  F_n = F ^• n = F cos 

SOMMA DI VETTORI regola del parallelogramma

(metodo grafico) v^₁

v^₂

v^₃ v^₁ + v^₂ = v^₃

5

SOMMA DI VETTORI metodo per componenti

(metodo quantitativo)

v_3x = v_1x + v_2x v_3y = v_1y + v_2y v₃ = v_3x² + v²_3y

tg  = v_3y v_3x

3 dimensioni: componente asse z

v^₁

v^₂

v^₃

o

y

x

v_3y

v_2y v_1y

v_3x v_1x v_2x

DIFFERENZA DI VETTORI regola del parallelogramma

(metodo grafico)

v^₁ v^₂

v^₃ v^₁ – v^₂ = v^₃

v^₂ + v^₃ = v^₁

v^_1

v^_2

v^_3

v^_3

7

DIFFERENZA DI VETTORI metodo per componenti

(metodo quantitativo)

v_1x – v_2x = v_3x v_1y – v_2y = v_3y v₃ = v_3x² + v_3y²

tg  = v_3y v_3x 3 dimensioni: componente asse z

v^₁

v^₂ v^₃

o

y

x

v_3y

v_2y v_1y

v_3x v_1x

v_2x



PRODOTTO SCALARE

v₁



v^₂

v₁ ^ v₂ = v₁ v₂ cos 

 



3 dimensioni: componente asse z

proprietà commutativa

proprietà distributiva

v₁ ^ v₂ = v_1x v_2x + v_1y v_2y

 

v^₁ ^ v^₂ = v^₂ ^ v^₁

v^₁^ (v^₂ v^₃) = v^₁ ^ v^₂ + v^₁ ^ v^₃

*

9

PRODOTTO SCALARE

v₁



v^₂

v₁ ^ v₂ = v₁ v₂ cos 

 



 = 0

 = 90°

 = 180°

v^₁ ^ v^₂ = v₁v₂ cos =v₁v₂

v^₁ ^ v^₂ = v₁v₂ cos =0

v^₁ ^ v^₂ = v₁v₂ cos =– v₁v₂ v₂



v^₁

v₂



v^₁

v^₁

v₂



PRODOTTO VETTORIALE

v^₃

modulo v^₃ = v₁ v₂ sen  direzione v^₁ , v^₂

verso : avanzamento vite che ruota sovrapponendo v^₁ su v^₂

 v^₃

v^₂ v^₁

v^₁



z y x

11

MOMENTO DI UNA FORZA

M F

r

 A

O



braccio 



x y

z

M = OA

 F = r  F

modulo F r sen = F b direzione

verso

r, F

avanzamento vite che

ruota sovrapponendo r su F^{ }

 

dimensioni [M] = [forza][L]

• unità di misura: S.I. newton^xm (Nm)

MOMENTO DI UNA FORZA

M = OA

 F = r

 F

= 63°

esempio

M

modulo F r sen = 1000 N ^x 2 cm sen 63° = direzione

verso

r, F

avanzamento vite che

ruota sovrapponendo r su F



 

 

= 17.82 N m