Urto massa-pedana ??

5.25. URTO MASSA-PEDANA??

PROBLEMA 5.25

Urto massa-pedana ??

La massa m in Figura 5.19 si muove inizialmente sul piano orizzontale privo di attrito con velocità v₀. Successivamente sale sul piano inclinato di massa M, libero anche esso di muoversi sul piano. Determinare per quali valori della velocità v₀la massa supera il piano inclinato.

m v0 θ M

h

Figura 5.19.: Il sistema considerato nell’esercizio.

Soluzione

Sia l’energia che la quantità di moto orizzontale del sistema si conservano. Uguagliamo queste due quantità tra l’istante immediatamente precedente al contatto tra pedana e massa e l’istante in cui la massa arriva nel punto più alto della pedana:

1

2mv²₀ = ¹ 2mh

(Vx+v_x,rel)²+v²_y,reli + ¹

2MV_x²+mgh mv₀ = m(V_x+v_x,rel) +MV_x

dove Vxindica la velocità del piano inclinato (orizzontale) e v_x,rel, v_y,rel le due compo- nenti della velocità della massa relative a quest’ultimo. Questa velocità relativa deve inoltre essere inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo θ

v_y,rel

v_x,rel =tan θ

ma non useremo questa ultima condizione. Utilizzando le tre relazioni si può calcolare v_x,rel, v_y,rele Vx, e porre ad esempio v_x,rel >0.

Più semplicemente si può determinare la velocità necessaria a far arrivare la massa esattamente nel punto più alto della pedana. In questo caso v_x,rel =v_y,rel =0 e le leggi di conservazione si scrivono

1

2mv²_0,min = ¹

2(m+M)V_x²+mgh mv_0,min = (m+M)V_x,min da cui segue immediatamente

v_0,min = r

2ghm+M

M .

131 versione del 22 marzo 2018

5.25. URTO MASSA-PEDANA??

Per velocità maggiori di quella determinata il piano inclinato verrà superato. Notare che per M→∞ si ha il consueto risultato v0,min →^p2gh, mentre per M→^{0 v}0,min →∞.

132 versione del 22 marzo 2018