l Esercitazioni di Fisica (Prof. Della Valle) Dinamica dei sistemi

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Esercitazioni di Fisica (Prof. Della Valle) Dinamica dei sistemi

1. Dimostrare che il centro di massa di una sbarra di massa M e lunghezza L coincide con il punto medio della sbarra se essa possiede una densità lineare λ uniforme. Nel caso in cui λ non sia uniforme ma valga λ =50g/m+20x g/m² (x distanza da un estremo della sbarra) e la sbarra sia lunga L=30cm calcolare:

a. la massa totale M della sbarra;

b. la distanza del centro di massa da uno degli estremi.

[^L^¹⁰^L²^^{15.9 g;}_M^L²_^_²⁵^²⁰₃ ^L^__^^{15.28 cm}]

2. Una ragazza di massa m=50kg è in piedi su una zattera di massa M=100kg e lunghezza L=3m posta in prossimità di una boa fissa, e si trova all’estremità della zattera più vicina alla boa, a distanza d=2m. La ragazza si sposta sull’altra estremità della zattera. Trascurando l’attrito tra la zattera e l’acqua, si determini la nuova distanza della ragazza rispetto alla boa.

M 4 m

d L d

 m M  



3. Un proiettile di massa m viene lanciato da terra all’istante t=0 con velocità iniziale v0=10m/s in una direzione che forma un angolo θ=60° con l’orizzontale. Durante il volo il proiettile esplode in due frammenti di massa pari a 2m/3 ed m/3 ed rispettivamente. I due frammenti atterrano simultaneamente e la distanza del frammento più leggero dal punto di lancio è x2 =11m. Trascurando la resistenza dell’aria si calcoli a quale distanza dal punto di lancio atterra il frammento di proiettile più pesante.

[x1=7.74m]

4. Due corpi di massa m1 e m2=2m1 sono agganciati ai capi di una molla di massa trascurabile e posti su di un piano liscio orizzontale. La molla ha lunghezza di riposo L e costante elastica k. Inizialmente le due masse sono collegate da un filo e la molla è compressa di un tratto l0. In un dato istante il filo viene tagliato ed il sistema e lasciato libero di muoversi. Si determini la velocità massima raggiunta dai due corpi nel loro moto.

1max 0 2max 0

1 1

v 2 ;v

3 6

k k

l l

m m

  

5. Una biglia di massa m1 si muove con velocità v0 su un piano orizzontale liscio e subisce un urto elastico centrale con una seconda biglia, di massa m2 = 3m1, inizialmente ferma. Successivamente la seconda biglia cade da un gradino di altezza h=0.5m. Si trovi il valore di v0 per cui la biglia tocca terra a distanza d=5m dal bordo del gradino.

0

2 m

v g 31.32 s

d h

 

6. Un cannone di massa M inizialmente fermo su un piano orizzontale scabro spara, con un'inclinazione α rispetto all'orizzontale, un proiettile di massa m. Sapendo che il proiettile viene espulso con una velocità v0 e che la superficie su cui poggia il cannone presenta un coefficiente di attrito dinamico μD, si calcolino il rinculo del cannone e l’impulso della reazione vincolare d’appoggio. Si trascuri l'attrito tra cannone e suolo durante lo sparo.

2 2 2

p

v cos

; v sin 2

P

rinc N y

d

x m m

M g

 



 

   I  u

7. Un proiettile di massa m =0.5 kg colpisce con velocità v0=120 m/s un blocco di legno di massa M=10 kg che è vincolato ad una molla di costante elastica k =100 N/m; dopo l’urto il proiettile fuoriesce dal blocco con velocità vf =10 m/s. Calcolare: (i) la velocità V del blocco M subito dopo l’urto; (ii) la massima compressione della molla; Si trascuri l’attrito del blocco con il piano di appoggio.

[

 

k v M l s m v

m v

V  m ₀  _f 5.5 / ;   ₀ =1.74m]

8. Un blocco di legno di massa M è appeso ad un piolo mediante una fune inestensibile di lunghezza L e di massa trascurabile. Una pallottola di massa m si conficca nel blocco con velocità v0:

a. Si calcoli il minimo valore di v0 per cui il blocco compie un giro attorno al piolo.

b. Per tale valore di v0, si calcoli l’energia dissipata nel blocco durante l’urto.

c. Come cambierebbe la risposta a se al posto della fune vi fosse un’asta rigida sempre di massa trascurabile?

 

v0 M m 5 ; _diss 2.5M M m ;

gL E gL

m m

 

 

v0

m

M k

vf

m

L M



v

0

m

l

M

(2)

R

m v

M

B O h

m

1

m

₂

A

C D

h

9. Un blocco di massa M, in quiete su un piano orizzontale liscio, viene colpito da un proiettile di massa m con velocità vo diretta verso il basso ed inclinata di un angolo  rispetto all’orizzontale. Ipotizzando l’urto completamente anelastico, calcolare la velocità vf del blocco dopo l’urto e l’impulso esercitato dal piano sul blocco durante l’urto.



0cos M v m v_f m

 

;

I  mv₀sin uˆy

10. Un cuneo di massa M=2kg, la cui sezione è delimitata da un quarto di cerchio di raggio R=50cm, libero di muoversi su di un piano orizzontale, è inizialmente in quiete. Un corpo di massa m=0.5kg viene lanciato lungo il piano orizzontale in direzione del cuneo. Si determini il minimo valore che deve avere la velocità iniziale del corpo affinché possa percorrere la superficie curva del cuneo giungendo fino alla quota h=R/2. Si supponga trascurabile ogni forma di attrito.

( ) m

v m M gR 2.48 s M

  

11. La guida ABC in figura giace in un piano

orizzontale. All’estremo A è attaccata una molla di massa trascurabile e costante elastica k=400n/m alla quale è appoggiata una massa m1=200g; in queste condizioni la molla risulta compressa di x0 cm.

Rilasciando la molla, la massa m1 urta elasticamente una massa m2=2 m1 ferma sul tratto AB.

a. Determinare x0, sapendo che dopo l’urto m1, ribattendo sulla molla, la comprime di x1=3.5cm

b. La massa m2, per effetto dell’urto, sale lungo il profilo liscio BC e prosegue per un tratto scabro CD (μD=0.5).

Sapendo che CD=CO=h, determinare per quale valore di h la massa m2 si arresta in D.

 

0 1

1

3 11.5 cm; 1 0.2 m

9 1 _D

x x h k

m g 

   



12. Tre barche uguali A,B e C, di massa M=100kg, si muovono affiancate sull’acqua con la stessa velocità v (|v|

=6m/s). Dalla barca B, che si trova in posizione centrale, vengono lanciati nello stesso istante di tempo due corpi di massa m=10kg che ricadono sulle due barche laterali. Le velocità v’ (|v’|=10m/s) dei due corpi al momento del lancio sono orizzontali rispetto alla barca B, normali rispetto a v ed uguali in modulo. Supponendo di trascurare l’attrito dell’acqua, si determinino:

a. la velocità della barca B dopo il lancio dei due corpi;

b. la direzione secondo cui si muovono le barche A e C dopo che le due masse sono ricadute in esse

 

^{v ;} ^tan¹

 

^{v =8.62}

fin

m m

m M   ^ ^ m M V ^

      

v i

13. Due sfere identiche si muovono su un piano privo di attrito lungo due direzioni che formano rispettivamente un angolo α=45° e β=30° rispetto all’orizzontale. La prima sfera ha una velocità v1=3m/s, la seconda v2=4.24m/s. Ad un dato istante esse si urtano in maniera totalmente anelastico. Stabilire in quale direzione si muoveranno le sfere dopo l’urto determinare

a. la velocità delle due sfere dopo l’urto;

b. la perdita percentuale di energia durante l’urto