Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.1
Forma canonica di controllo
• Si faccia riferimento al seguente sistema S = (A, b, C, d) lineare, inva- riante e ad un solo ingresso:
(1)
˙x(t) = A x(t) + b u(t) y(t) = C x(t) + d u(t)
• Propriet`a. Il sistema S = (A, b, C, d) `e raggiungibile se e solo se `e algebricamente equivalente ad un sistema Sc = (Ac, bc, Cc, dc) in forma canonica di controllo (o di raggiungibilit`a), cio`e un sistema dove le matrici Ac e bc hanno la struttura:
Ac =
0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0
... ... ...
−α0 −α1 . . . −αn−1
bc =
0 0...
1
e dove i parametri α0, . . . , αn−1, sono i coefficienti del polinomio caratte- ristico monico della matrice A:
∆A(λ) = λn + λn−1αn−1 + . . . + α0
• La trasformazione x = T xc che porta il sistema (1) nella forma canonica di controllo `e caratterizzata dalla seguente matrice
T = R+(R+c )−1
dove R+ `e la matrice di raggiungibilit`a del sistema (1) e dove (R+c )−1 `e una matrice che ha la seguente struttura:
(R+c )−1 =
α1 α2 α3 . . . αn−1 1 α2 α3 . . . 1 0 α3 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ...
αn−1 1 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 2005/2006
