Forma canonica di controllo

(1)

Capitolo 1. INTRODUZIONE 4.1

Forma canonica di controllo

• Si faccia riferimento al seguente sistema S = (A, b, C, d) lineare, inva- riante e ad un solo ingresso:

(1)

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

˙x(t) = A x(t) + b u(t) y(t) = C x(t) + d u(t)

• Proprietà. Il sistema S = (A, b, C, d) è raggiungibile se e solo se è algebricamente equivalente ad un sistema S

c

= (A

c

, b

c

, C

c

, d

c

) in forma canonica di controllo (o di raggiungibilit` a), cio`e un sistema dove le matrici A

c

e b

c

hanno la struttura:

A

c

=

⎡

⎢⎢

⎣

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

... ... ...

−α

0

−α

1

. . . −α

n−1

⎤

⎥⎥

⎦

b

c

=

⎡

⎢⎢

⎣

0 0 ...

1

⎤

⎥⎥

⎦

e dove i parametri α

0

, . . . , α

n−1

, sono i coeﬃcienti del polinomio caratte- ristico monico della matrice A:

∆

A

(λ) = λ

ⁿ

+ λ

ⁿ⁻¹

α

n−1

+ . . . + α

0

• La trasformazione x = T x

c

che porta il sistema (1) nella forma canonica di controllo `e caratterizzata dalla seguente matrice

T = R

⁺

(R

⁺_c

)

⁻¹

dove R

⁺

`e la matrice di raggiungibilit` a del sistema (1) e dove (R

⁺_c

)

⁻¹

`e una matrice che ha la seguente struttura:

(R

⁺_c

)

⁻¹

=

⎡

⎢⎢

⎣

α

1

α

2

α

3

. . . α

n−1

1 α

2

α

3

. . . . 1 0 α

3

. . . . 0 0 ... ... ... ... ... ...

α

n−1

1 . . . . 0 0 1 0 . . . . 0 0

⎤

⎥⎥

⎦

Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 2004/2005

(2)

Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.2

• Infatti, indicando con v1, v2, . . . , vn le colonne della matrice T:

T = v1 v2 . . . vn

= R⁺(R⁺_c )⁻¹

= b Ab A²b . . . Aⁿ⁻¹b

⎡

⎢⎢

⎣

α1 α2 α3 . . . αn−1 1 α2 α3 . . . . 1 0 α3 . . . . 0 0 ... ... ... ... ... ...

αn−1 1 . . . . 0 0 1 0 . . . . 0 0

⎤

⎥⎥

⎦

si ottiene il seguente sistema di equazioni:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

v1 = α1b + α2Ab + . . . + αn−1Aⁿ⁻²b + Aⁿ⁻¹b

... = ... ...

vn−2 = αn−2b + αn−1Ab + A²b vn−1 = αn−1b + Ab

vn = b

• Per i = 2, 3, . . . , n i vettori vi soddisfano la relazione Avi = vi−1 − αi−1vn

e per i = 1 si ha che

Av1 = (Aⁿ+ αn−1Aⁿ⁻¹ + . . . + α1A)b = −α0b = −α0vn

• La struttura della matrice Ac si determina quindi nel modo seguente:

Ac = T⁻¹AT = T⁻¹ Av1, Av2, . . . , Avn

= T⁻¹ −α0vn, v1 − α1vn, . . . , vn−1 − αn−1vn

= −α0en, e1 − α1en, . . . , en−1 − αn−1en

=

⎡

⎢⎢

⎣

0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0

... ... ...

−α0 −α1 . . . −αn−1

⎤

⎥⎥

⎦

• La matrice bc si determina in modo analogo:

bc = T⁻¹b = T⁻¹vn = en =

⎡

⎢⎢

⎣

00 ...

1

⎤

⎥⎥

⎦

(3)

Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.3

• Utilizzando R⁺ = b Ab A²b . . . Aⁿ⁻¹b come matrice di trasformazione si ottiene un sistema S⁺ = (A⁺, b⁺, C⁺, d⁺) algebricamente equivalente a quello di partenza dove A⁺ = (R⁺)⁻¹AR⁺ e b⁺ = (R⁺)⁻¹b hanno la seguente struttura:

A⁺ =

⎡

⎢⎢

⎣

0 1 0 . . . −α0

0 0 1 . . . −α1

... ... ...

0 0 . . . −αn−1

⎤

⎥⎥

⎦

, b⁺ =

⎡

⎢⎢

⎣

10 ...

0

⎤

⎥⎥

⎦

• La matrice (R⁺_c )⁻¹, precedentemente definita, non `e altro che la matrice inversa della matrice di raggiungibilit`a R⁺_c del sistema Sc in forma canonica di controllo:

R⁺_c =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

0 0 0 . . . 1

... ... ... ... ...

0 0 1 . . . .

0 1 −αn−1 . . . . 1 −αn−1 αn−1αn−2 . . . .

⎤

⎥⎥

⎥⎦

• La matrice (R⁺_c )⁻¹ trasforma il sistema S⁺ = (A⁺, b⁺, C⁺, d⁺) nella forma canonica di controllo Sc = (Ac, bc, Cc, dc):

Ac = R⁺_c A⁺(R_c⁺)⁻¹ bc = R⁺_c b⁺

• La matrice T non `e altro che la composizione delle due precedenti matrici di trasfor- mazione:

T = R⁺(R⁺_c )⁻¹