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Equazioni per i potenziali Funzioni di Green

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Academic year: 2021

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(1)

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Elettromagnetismo

Forza di Lorentz

Equazioni per i potenziali Funzioni di Green

Lezione n. 46 – 8.06.2021

(2)

Equazione per i potenziali

Scriviamo l'equazione per i potenziali

In forma covariante è molto semplice

Ricordiamo l'equazione di Maxwell non omogenea (vedi diapositiva )

Sostituiamo l'espressione di Fμν in funzione del potenziale Aμ

Otteniamo

Se imponiamo il gauge di Lorenz μAμ = 0 otteniamo

È un'equazione dell'onda non omogenea

Coincide con le equazioni che avevamo trovato precedentemente (dia. 460) 5551510

(3)

Forza di Lorentz

Abbiamo detto che la forza di Lorentz è relativisticamente corretta a condizione di utilizzare la quantità di moto relativistica

Per esprimere in forma covariante la forza di Lorentz occorre utilizzare la forza di Minkowski (vedi diapositiva )

Possiamo riscrivere la forza di Lorentz come

Ricordiamo la quadri-velocità

Otteniamo

1771206

(4)

Forza di Lorentz

Analogamente per le componenti K2 e K3

Definiamo allo stesso modo la componente temporale

Interpretiamo la formula che dà K0

Anche la componente K0 ha la forma prevista per la forza di Minkowski

In definitiva la forza di Lorentz in forma covariante è

(5)

Riepilogo delle formule principali

(6)

Equazione di Poisson: funzione di Green

Sappiamo che il potenziale elettrostatico obbedisce all’equazione di Poisson

La funzione di Green dell'equazione di Poisson è definita dall’equazione

Una soluzione particolare dell'equazione è data da

Infatti

La soluzione del problema si trova sommando una soluzione φc dell'equazione di Laplace scelta in modo tale che Φ(r) = φ(r) + φc(r) soddisfi le condizioni al contorno

***

(7)

Equazione di Poisson: funzione di Green

Ritorniamo alla definizione delle funzione di Green

Notiamo che il secondo membro è funzione solo di r − r′

Anche G( r, r′ ) deve dipendere solo dalla differenza r − r′

La soluzione si trova facilmente con la trasformata di Fourier

L’equazione diventa

Uguagliando gli integrandi otteniamo

***

(8)

Equazione di Poisson: funzione di Green

Nel seguito poniamo |q| = q e |r| = r

Passiamo alle coordinate sferiche

Integriamo sull'angolo solido

La soluzione dell’equazione di Poisson è pertanto

***

(9)

Potenziale ritardato: funzione di Green

Abbiamo ricavato (vedi diapositiva ) le equazioni dei potenziali elettrodinamici in forma covariante

In notazione più esplicita, per la componente Aμ

Definiamo la funzione di Green (ricordiamo che x0 = ct)

Ricordiamo che si tratta di una soluzione particolare

La soluzione generale si trova sommando una soluzione dell'equazione omogenea in modo che siano rispettate le condizioni al contorno

Spesso si impone una condizione asintotica 5621533

***

(10)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

Inoltre è necessario definire le condizione al contorno per G(x  x c)

Una soluzione dell’equazione non omogenea è

Normalmente si richiede la causalità

La richiesta di causalità impone che contribuiscano solo i valori di jμ(xc) per tempi x′0 precedenti al tempo x0 in cui è valutato Aμ(x)

Occorre pertanto che sia G(x  xc ) = 0 per x0  x′0 < 0

Tuttavia le condizioni asintotiche precedenti possono richiedere altre condizioni

La condizione asintotica per x0 →−∞ coincide con la condizione di causalità

Le funzioni di Green (diverse) che si ottengono nei due casi hanno un nome

La funzione di Green ritardata

La funzione di Green anticipata

***

(11)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

Calcoliamo la funzione di Green dell'equazione dell'onda non omogenea

Poniamo q0 = ω q2 = ω2 – q2 |q| = k c = 1

Utilizzando le trasformate di Fourier, analogamente a quanto fatto per l'equazione di Poisson si trova

Inserendo nell'equazione

Uguagliando gli integrandi

Anticipiamo il risultato del calcolo della funzione di Green

***

(12)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

Esplicitamente

Osserviamo che la parte spaziale coincide con quella trovata per l'equazione di Poisson

La parte temporale implica invece che il campo al tempo t è determinato dalla corrente al tempo precedente tc

Svolgiamo il calcolo (ricordiamo che abbiamo posto c = 1)

Iniziamo con l’integrazione della componente temporale dω

Introduciamo la variabile complessa z =(ω,ξ)

Nel piano z il denominatore ha due poli ωr = r|q| = rk

L'integrale diverge: ha due poli sull'asse ω

Per dare un significato all’integrale occorre

***

(13)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

Ci sono 2 poli. Utilizziamo il metodo dei residui

Chiudiamo il cammino con una circonferenza

Per t < 0 chiudiamo nel semipiano inferiore

Abbiamo visto che per la causalità è necessario che G(x  xc) = 0 per t = x0  x′0 < 0

Pertanto evitiamo le singolarità con un cammino che lasci i poli all’esterno affinché l’integrale sia nullo

Per t > 0 chiudiamo nel semipiano superiore

L’integrale è uguale alla somma dei residui

***

(14)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

Pertanto la funzione di Green è adesso data dall’integrale (ricordiamo k = |q| )

Anche in questo caso passiamo alle coordinate sferiche

Per semplicità omettiamo per il momento Θ(t)

***

(15)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

***

(16)

Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico

Ricordiamo che

La funzione Θ(x) è nulla per x < 0 ovvero per t – tc < 0

Possiamo quindi ignorare la prima funzione δ(t+r) il cui argomento non è mai nullo

Reintroduciamo c

In conclusione

Abbiamo calcolato la funzione di Green ritardata

Notiamo che l’argomento della funzione δ() si annulla quando

***

(17)

Potenziali ritardati: soluzioni

Possiamo adesso scrivere la soluzione per l'equazione del potenziale

Introduciamo Gret

Otteniamo

L'integrale su t′ è immediato

Nell'espressione di jμ t′ viene sostituito da tr

Il risultato è

***

(18)

Massa elettromagnetica

La formulazione di Maxwell dell'elettrodinamica costituisce ancora oggi uno dei maggiori risultati della fisica

Nell'ultimo decennio del XIX secolo i brillanti risultati della teoria indussero i fisici a pensare che l'elettromagnetismo potesse spiegare tutto

In particolare si arrivò a pensare che il concetto di massa proprio della meccanica potesse in realtà avere origine elettromagnetica

Vale la pena osservare che queste riflessioni avvenivano prima ancora della pubblicazione dell'articolo di Einstein sull'elettrodinamica dei corpi in

movimento (1905)

Pionieri degli studi sulla struttura dell'elettrone sono stati Lorentz e Abraham, ancora prima della scoperta dell'elettrone da parte di Thomson avvenuta nel 1897

Già prima della scoperta dell'elettrone lo stesso Thomson calcolò la massa elettromagnetica dell'elettrone

Per parlare di massa elettromagnetica dell'elettrone occorre formulare un modello

Utilizzeremo il modello di Lorentz

L'elettrone, a riposo, è una sfera di raggio re e di carica totale qe = −e

***

(19)

Massa elettromagnetica

Calcoliamo innanzitutto l'energia associata al campo elettrostatico dell'elettrone a riposo

Un calcolo semplice fatto agli inizi del corso

All'interno della sfera il campo è nullo

All'esterno della sfera, per r > re si ha

L'energia del campo è

Abbiamo già osservato che il risultato diverge per re → 0

Sembra indispensabile che l'elettrone classico non sia puntiforme

***

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