Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Elettromagnetismo
Forza di Lorentz
Equazioni per i potenziali Funzioni di Green
Lezione n. 46 – 8.06.2021
Equazione per i potenziali
• Scriviamo l'equazione per i potenziali
• In forma covariante è molto semplice
• Ricordiamo l'equazione di Maxwell non omogenea (vedi diapositiva )
• Sostituiamo l'espressione di Fμν in funzione del potenziale Aμ
• Otteniamo
• Se imponiamo il gauge di Lorenz ∂μAμ = 0 otteniamo
• È un'equazione dell'onda non omogenea
• Coincide con le equazioni che avevamo trovato precedentemente (dia. 460) 5551510
Forza di Lorentz
• Abbiamo detto che la forza di Lorentz è relativisticamente corretta a condizione di utilizzare la quantità di moto relativistica
• Per esprimere in forma covariante la forza di Lorentz occorre utilizzare la forza di Minkowski (vedi diapositiva )
• Possiamo riscrivere la forza di Lorentz come
• Ricordiamo la quadri-velocità
• Otteniamo
1771206
Forza di Lorentz
• Analogamente per le componenti K2 e K3
• Definiamo allo stesso modo la componente temporale
• Interpretiamo la formula che dà K0
• Anche la componente K0 ha la forma prevista per la forza di Minkowski
• In definitiva la forza di Lorentz in forma covariante è
Riepilogo delle formule principali
Equazione di Poisson: funzione di Green
• Sappiamo che il potenziale elettrostatico obbedisce all’equazione di Poisson
• La funzione di Green dell'equazione di Poisson è definita dall’equazione
• Una soluzione particolare dell'equazione è data da
• Infatti
• La soluzione del problema si trova sommando una soluzione φc dell'equazione di Laplace scelta in modo tale che Φ(r) = φ(r) + φc(r) soddisfi le condizioni al contorno
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Equazione di Poisson: funzione di Green
• Ritorniamo alla definizione delle funzione di Green
• Notiamo che il secondo membro è funzione solo di r − r′
• Anche G( r, r′ ) deve dipendere solo dalla differenza r − r′
• La soluzione si trova facilmente con la trasformata di Fourier
• L’equazione diventa
• Uguagliando gli integrandi otteniamo
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Equazione di Poisson: funzione di Green
• Nel seguito poniamo |q| = q e |r| = r
• Passiamo alle coordinate sferiche
• Integriamo sull'angolo solido
• La soluzione dell’equazione di Poisson è pertanto
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Potenziale ritardato: funzione di Green
• Abbiamo ricavato (vedi diapositiva ) le equazioni dei potenziali elettrodinamici in forma covariante
• In notazione più esplicita, per la componente Aμ
• Definiamo la funzione di Green (ricordiamo che x0 = ct)
• Ricordiamo che si tratta di una soluzione particolare
• La soluzione generale si trova sommando una soluzione dell'equazione omogenea in modo che siano rispettate le condizioni al contorno
• Spesso si impone una condizione asintotica 5621533
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Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
• Inoltre è necessario definire le condizione al contorno per G(x x c)
• Una soluzione dell’equazione non omogenea è
• Normalmente si richiede la causalità
• La richiesta di causalità impone che contribuiscano solo i valori di jμ(xc) per tempi x′0 precedenti al tempo x0 in cui è valutato Aμ(x)
• Occorre pertanto che sia G(x xc ) = 0 per x0 x′0 < 0
• Tuttavia le condizioni asintotiche precedenti possono richiedere altre condizioni
• La condizione asintotica per x0 →−∞ coincide con la condizione di causalità
• Le funzioni di Green (diverse) che si ottengono nei due casi hanno un nome
• La funzione di Green ritardata
• La funzione di Green anticipata
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Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
• Calcoliamo la funzione di Green dell'equazione dell'onda non omogenea
• Poniamo q0 = ω q2 = ω2 – q2 |q| = k c = 1
• Utilizzando le trasformate di Fourier, analogamente a quanto fatto per l'equazione di Poisson si trova
• Inserendo nell'equazione
• Uguagliando gli integrandi
• Anticipiamo il risultato del calcolo della funzione di Green
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Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
• Esplicitamente
• Osserviamo che la parte spaziale coincide con quella trovata per l'equazione di Poisson
• La parte temporale implica invece che il campo al tempo t è determinato dalla corrente al tempo precedente tc
• Svolgiamo il calcolo (ricordiamo che abbiamo posto c = 1)
• Iniziamo con l’integrazione della componente temporale dω
• Introduciamo la variabile complessa z =(ω,ξ)
• Nel piano z il denominatore ha due poli ωr = r|q| = rk
• L'integrale diverge: ha due poli sull'asse ω
• Per dare un significato all’integrale occorre
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Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
• Ci sono 2 poli. Utilizziamo il metodo dei residui
• Chiudiamo il cammino con una circonferenza
• Per t < 0 chiudiamo nel semipiano inferiore
• Abbiamo visto che per la causalità è necessario che G(x xc) = 0 per t = x0 x′0 < 0
• Pertanto evitiamo le singolarità con un cammino che lasci i poli all’esterno affinché l’integrale sia nullo
• Per t > 0 chiudiamo nel semipiano superiore
• L’integrale è uguale alla somma dei residui
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Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
• Pertanto la funzione di Green è adesso data dall’integrale (ricordiamo k = |q| )
• Anche in questo caso passiamo alle coordinate sferiche
• Per semplicità omettiamo per il momento Θ(t)
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Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
***Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico
• Ricordiamo che
• La funzione Θ(x) è nulla per x < 0 ovvero per t – tc < 0
• Possiamo quindi ignorare la prima funzione δ(t+r) il cui argomento non è mai nullo
• Reintroduciamo c
• In conclusione
• Abbiamo calcolato la funzione di Green ritardata
• Notiamo che l’argomento della funzione δ() si annulla quando
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Potenziali ritardati: soluzioni
• Possiamo adesso scrivere la soluzione per l'equazione del potenziale
• Introduciamo Gret
• Otteniamo
• L'integrale su t′ è immediato
• Nell'espressione di jμ t′ viene sostituito da tr
• Il risultato è
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Massa elettromagnetica
• La formulazione di Maxwell dell'elettrodinamica costituisce ancora oggi uno dei maggiori risultati della fisica
• Nell'ultimo decennio del XIX secolo i brillanti risultati della teoria indussero i fisici a pensare che l'elettromagnetismo potesse spiegare tutto
• In particolare si arrivò a pensare che il concetto di massa proprio della meccanica potesse in realtà avere origine elettromagnetica
• Vale la pena osservare che queste riflessioni avvenivano prima ancora della pubblicazione dell'articolo di Einstein sull'elettrodinamica dei corpi in
movimento (1905)
• Pionieri degli studi sulla struttura dell'elettrone sono stati Lorentz e Abraham, ancora prima della scoperta dell'elettrone da parte di Thomson avvenuta nel 1897
• Già prima della scoperta dell'elettrone lo stesso Thomson calcolò la massa elettromagnetica dell'elettrone
• Per parlare di massa elettromagnetica dell'elettrone occorre formulare un modello
• Utilizzeremo il modello di Lorentz
• L'elettrone, a riposo, è una sfera di raggio re e di carica totale qe = −e
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Massa elettromagnetica
• Calcoliamo innanzitutto l'energia associata al campo elettrostatico dell'elettrone a riposo
• Un calcolo semplice fatto agli inizi del corso
• All'interno della sfera il campo è nullo
• All'esterno della sfera, per r > re si ha
• L'energia del campo è
• Abbiamo già osservato che il risultato diverge per re → 0
• Sembra indispensabile che l'elettrone classico non sia puntiforme
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