Lezione 4 Fattori di forma nucleari Diffusione elettrone-nucleo Diffusione elettrone-nucleone

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 1

Lezione 4

Fattori di forma nucleari Diffusione elettrone-nucleo Diffusione elettrone-nucleone

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2016/17

Diagrammi di Feynmann

•  Rappresentano processi di decadimento e urto fra particelle

•  Sono usati per il calcolo dei termini degli elementi di matrice di transizione in elettrodinamica quantistica (QED) e cromodinamica quantistica (QCD)

•  Nei diagrammi, le rette rappresentano le funzioni d’onda delle particelle. Le antiparticelle sono indicate da frecce che puntano indietro nel tempo.

•  In teoria dei campi, le interazioni sono mediate da bosoni: fotoni per le interazioni e.m., bosoni vettori (W,Z) per l’interazione nucleare debole, gluoni per l’interazione forte.

•  Le particelle che sono scambiate nell’interazione e non compaiono negli stati iniziali e finali, sono dette particelle virtuali, in quanto non possono essere rivelate perché “vivono” per un tempo molto breve, virtualmente nullo.

•  Per il principio di indeterminazione , le particelle virtuali possono violare la conservazione dell’energia durante il tempo molto breve

dell’interazione. Pertanto non soddisfano la relazione energia-impulso

relativistica (E² = p² + m²). Questo può anche essere interpretato assumendo che la massa della particella virtuale sia diversa da massa della particella libera.

ΔE Δt ≥ ! 2

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 3

t

x

•  I punti in cui tre o più linee si incontrano sono detti vertici. Per ogni vertice l’ampiezza di transizione contiene un fattore proporzionale alla radice della costante di accoppiamento dell’interazione.

•  L’elemento di matrice di transizione è dato dalla sovrapposizione delle ampiezze di tutti i diagrammi che portano allo stesso stato finale (vedi ad esempio (b), (c), (d))

Diagramma di ordine superiore

•  Le particelle di scambio contribuiscono all’elemento di matrice della transizione con un termine detto propagatore

dove Q è il quadrimpulso trasferito e M la massa della particella scambiata

Nel caso di un fotone virtuale M=0. Nel caso dell’interazione debole M_W± = 80.4 GeV M_Z = 91.2 GeV, quindi per piccoli quadrimpulsi trasferiti (Q<<M) le sezioni d’urto dei processi deboli sono più piccole delle sezioni d’urto e.m.

Applichiamo le suddette regole per calcolare la sezione d’urto del processo di diffusione elastica di un elettrone su di un nucleo.

La diffusione di un elettrone su un nucleo (o un nucleone) può essere approssimata con lo scambio di un fotone virtuale (One Photon Approximation), grazie al valore ridotto della costante di accoppiamento che rende poco probabile l’emissione di più di un fotone.

1

Q

+ M

c

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 5

Diagramma di Feynman

della diffusione elettrone-nucleo

Sappiamo che la sezione d’urto differenziale è proporzionale all’elemento di matrice di transizione al quadrato

L’ampiezza di transizione è proporzionale alla radice delle costanti di accoppiamento fra il fotone di scambio e l’elettrone, e il fotone e il nucleo. Il fotone contribuisce inoltre con il propagatore

∂ σ

∂Ω ∝ Z α α

Q

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= Z

α

Q

Z α α

∂ σ

∂Ω ∝ H

Il fotone è virtuale in quanto il valore del quadrimpulso² che esso trasporta è negativo e non nullo, come dovrebbe essere per un fotone reale.

Il quadrimpulso del fotone virtuale è uguale alla differenza fra i quadrimpulsi dell’elettrone dello stato finale e dello stato iniziale

In tal caso il fotone è detto fotone di tipo-spazio (space-like) in quanto la sua parte-spazio è superiore alla sua parte-tempo.

La lunghezza d’onda di de-Broglie del fotone è

Per sondare il nucleo che ha dimensioni dell’ordine di 1 fm, l’impulso trasferito deve essere

Q

= P (

− P )

^{= E} (

^{− E, p !}

^{− p !} )

^{= E}

^{+ E}

^{− 2EE}

^{− p !}

^{− p !}

^{+ 2 p !}

^{⋅ p !}

m

<< E ⇒ E ≈ !

p E

≈ ! p

Q

≈ −2EE

( 1− cos θ ) ^{= −4EE}

^sin

^θ

2 < 0

λ = h

q ! = h 2 !

p sin θ 2 q = ! h

λ ⁼

200 MeV fm

1 fm ≈ 200 MeV

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 7

Ø  Negli anni 1950, a Stanford furono fatte le prime misure con fasci di elettroni di energia 500 MeV per studiare le distribuzioni di carica dei nuclei.

Ø  All’aumentare del suo impulso, l’elettrone sonda la struttura interna del nucleo.

Quando la lunghezza d’onda Compton della particella λ=h/q è comparabile alle dimensioni dei nucleoni, la sezione d’urto diminuisce rispetto alla sezione d’urto di scattering con il nucleo.

Per λ=h/q maggiori delle dimensioni dei nucleoni, l’elettrone invece non “vede” i nucleoni e quindi la struttura del nucleo, ma il nucleo nel suo insieme (puntiforme).

Ø  Nell’esperimento di Rutherford, ad alte energie (piccola λ) la sezione d’urto dipende anche dalla struttura delle particelle α oltre che del nucleo. Le interazioni sono di tipo nucleare oltre che e.m.

Nei processi di diffusione con elettroni invece, il proiettile è puntiforme, quindi la sezione d’urto dipenderà solo dalla struttura interna del nucleo.

Inoltre i processi sono di natura e.m. e si possono calcolare accuratamente con elettrodinamica quantistica (QED). La costante di accoppiamento α≈1/137<<1 rende possibile il calcolo perturbativo, trascurando gli ordini superiori.

Ø  Il calcolo della diffusione con elettroni è relativistico e va tenuto conto dello spin.

Diffusione di elettroni

Cinematica dell’urto elastico (cioè senza rottura/eccitazione del nucleo) fra elettrone e nucleo (inizialmente fermo). Da conservazione del quadrimpulso, si ricava l’energia finale dell’elettrone espressa in funzione dell’energia iniziale dell’elettrone e del suo angolo di scattering

Per un elettrone relativistico vale l’approssimazione che sostituita nell’equazione precedente dà

m

<< E ⇒ E ≈ p E

≈ p

P + P

( )

^{= P} (

^{+ P}

)

P

+ P

+ 2P ⋅ P

= P

+ P

+ 2P

⋅ P

P ⋅ P

= P

⋅ P

E, !

( p ) ^{⋅ M, 0} ( ) ^{= E} (

^{, p !}

) ^{⋅ E} (

^{, p !}

)

E M = E

E

− ! p

⋅ !

p

= E

( E + M − E

) ^{− p !}

^⋅ ( ^{p − ! p !}

)

E M = E

E + E

M − m

− ! p

!

p cos θ

EM = E^'

(

θ )

E^' = E

1+ E

M

(

θ )

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 9

E_N = E − E 1+ E

M

(

θ )

= E² M

1− cos

θ

( )

1+ E

M

(

θ )

L’energia trasferita al nucleo cresce all’aumentare dell’energia dell’elettrone incidente

E^' = E

1+ E

M

(

θ )

Rapporto fra l’energia dell’elettrone diffuso e l’energia iniziale in funzione dell’angolo di diffusione e per bersagli con A=1 e A=50.

Riprendiamo la formula della sezione d’urto Rutherford ottenuta con la regola d’oro di Fermi e adattiamola al caso di un elettrone incidente su di un nucleo. Si assume:

•  nucleo con spin nullo (J=0) e puntiforme.

•  urto elastico relativistico tra elettrone (z=1) e nucleo (Z) e si trascura il rinculo del nucleo (E=E’ dell’elettrone). Spin elettrone = 0

•  Approssimazione di Born Zα<<1 è Funzioni d’onda sono onde piane La densità degli stati finali per una particella relativistica è

dove nell’ultimo passaggio abbiamo assunto

L’elemento di matrice è lo stesso calcolato nel caso della sezione di Rutherford (Lez.

3 pag 36). La sezione d’urto è quindi

dσ

dΩ = 2π

! H

ρ E (

,Ω ) ^V _v ^{= 2π} _! ^Ze

2

4πε

V

4π !

q

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

V

2π !

( )

E

c

V c

ρ(E, Ω) = V 2π !

( )

p' E '

c

≈ V 2π !

( )

E

c

β →1 ⇒ E ' = cp'

€

α= e²

4πε₀!c = 1 137

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 4Z

α

( ) !c

( ) qc

^E

'2

Sezione d’urto Rutherford per diffusione di elettroni

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 11

Sostituendo l’espressione di q nella sezione d’urto si ottiene

Dove nell’ultimo passaggio è stata usata l’espressione pc = E.

Notare a numeratore l’energia dell’elettrone diffuso e a denominatore l’energia iniziale. Se si trascura il rinculo, cioè l’energia trasferita al nucleo (*), allora E≈E’

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 4Z

α

( ) !c

16 p

sin

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟c

E

= Z

α

( ) !c

4E

sin

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ E

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Rutherford

*

= Z

α

( ) !c

4E

sin

θ

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Descrive la diffusione di elettroni relativistici includendo gli effetti dovuti allo spin dell’elettrone

dove * indica che si è trascurato il rinculo del nucleo (cioè E=E’).

La sezione d’urto di Mott diminuisce più rapidamente di quella di Rutherford al crescere dell’angolo di diffusione. Nel limite β→1

la diffusione a 180° è proibita. Per capirne il motivo, va considerato che l’equazione di Dirac in meccanica quantistica relativistica, prevede che per particelle con β→1 la proiezione dello spin s nella direzione della quantità di moto p è una quantità, detta elicità, che si conserva.

Sezione d’urto Mott

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

*

= dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Rutherford

*

1− β

sin

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

*

= dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Rutherford

*

cos

θ 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

h =

s ⋅ ! !

p

s p

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 13

La soppressione a 180° è dovuta al fatto che la conservazione dell’elicità implica che lo spin dell’elettrone debba ribaltarsi (spin-flip). Questo non è possibile se il bersaglio ha momento angolare nullo, perché altrimenti non ci sarebbe conservazione del momento angolare. Pertanto, nel limite β→1, la diffusione a 180°

è totalmente soppressa.

Se invece il bersaglio è dotato di spin, l’elicità dell’elettrone può cambiare in seguito alla diffusione, purché sia compensato da un cambiamento di spin del bersaglio, tale da garantire al conservazione del momento angolare totale nel processo.

Consideriamo più realisticamente che la carica del nucleo non sia puntiforme.

Il nucleo ha densità di carica Ze ρ(r’) in una regione di raggio R, per cui la condizione di normalizzazione è

Possiamo quindi scrivere il potenziale di interazione coulombiano come

H

= U(r) = Z e

4 πε

ρ ^{( r ') !} r − ! !

0

r '

R

∫ ^d

^{r '}

Z e ρ ( ! r ')

0 R

∫ ^d

^{r ' = Z e}

Fattore di forma

' r!

! r!

dove r è la distanza del

s

proiettile dal centro del nucleo, e r’ la posizione di un generico elemento infinitesimo di volume del nucleo. s è la distanza del volume infinitesimo dalla particella

s = ! ! r − !

r '

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 15

Calcoliamo ora l’elemento di matrice

Definendo q come la variazione di impulso del proiettile

riscriviamo l’elemento di matrice

Per calcolare l’integrale, è opportuno operare il cambio di variabile

dove il differenziale è calcolato a r’ costante. Riscriviamo quindi l’elemento di matrice

f H

i = ∫ ψ

*

( !

r ) U(r) ψ

^{( r ) d !}

r = ^! Z e

4 πε

^{V e}

−i! k '⋅!

∫

^e

^d

^{r ! ρ (}

r ') ! r − ! !

0

r '

R

∫ ^d

^{r ' !}

r = ! ! s + !

r ' ⇒ d

!

r = d

! s Δ !

p = !

q = ! "

k − !

( k ' )

f H

i = Z e

4 πε

^{V e}

i q!

"⋅!

∫

^d

^{r ! ρ (}

r ') ! r − ! !

0

r '

R

∫ ^d

^{r ' !}

f H

i = Z e

4 πε

^{V e}

i q!

"⋅ ! r '+!

( s)

ρ ^{( r ') !}

∫ s ^d

^{r 'd !}

^{s !}

∫ ^{= Z e}

2

4 πε

^V

e

q!

"⋅! s

s d

!

s ρ ^{( r ')e !}

q!

"⋅! r ' 0

R

∫ ^d

^{r ' !}

∫

L’integrale su d³r’ è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica. Prende il nome di fattore di forma

L’integrale su d³s è già stato calcolato a pag. 35 Lez. 3 e dà come risultato

Pertanto l’elemento di matrice diventa

Nel calcolo di Rutherford si assume bersaglio puntiforme, per cui la ρ è una funzione δ e il fattore di forma è uguale a 1.

F

( !

q) = ρ ^{( r ')e !}

q!

"⋅! r ' 0

R

∫ ^d

^{r ' !}

e

q!

"⋅!s

s d

!

∫ s ^{= 2 π s}

^{ds e}

iq

!s cosθ 0

s

π 0

∫

∞

∫ ^{sin θ d θ = 4 π !}

2

q

f H

i = Z e

4 πε

^V

4 π !

q

F

( "

q)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 17

La sezione d’urto Mott è valida per piccoli valori di q. Per valori più elevati, la lunghezza d’onda del fotone virtuale diminuisce e il potere risolutivo aumenta. La sezione d’urto diminuisce perché l’elettrone non vede più il nucleo come puntiforme e tutta la sua carica, ma solo una frazione di essa.

Se la simmetria di carica è sferica, cioè ρ(r)=ρ(r), il fattore di forma dipende solo da q² e si ha

Quindi il modulo del fattore di forma dei nuclei si può determinare dal rapporto fra la sezione d’urto misurata sperimentalmente e la sezione Mott calcolata.

In linea di principio la distribuzione di carica si potrebbe ottenere dalla anti- trasformata di Fourier del fattore di forma elettrico misurato sperimentalmente, se le misure fossero disponibili per tutti i valori di q²

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

exp

= dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

*

F q ( )

Fattori di forma nucleari

ρ

r ') = 1 2

π

( )

q)e! ⁻ⁱ

q!

!⋅r '"

0 R

∫

Questo non è spesso praticabile per due motivi:

•  il valore di q² è limitato a grandi valori dall’energia del fascio dell’acceleratore;

•  a causa della rapida decrescita del fattore di forma all’aumentare di q², non è semplice la determinazione di F(q²) per alti valori di q².

Operativamente, si ipotizzano varie parametrizzazioni di ρ(r), se ne calcolano i corrispondenti fattori di forma, e con ciascun modello si fa un fit ai dati sperimentali determinando quale è in migliore accordo e il valore dei suoi parametri liberi

Si osserva sperimentalmente che:

•  l’andamento del fattore di forma decresce bruscamente all’aumentare di q² (cosicché la sezione d’urto su nucleo esteso è molto più piccola per nucleo puntiforme). Ciò indica che, all’aumentare di q², il proiettile penetra maggiormente nella distribuzione di carica e ne vede solo una parte, pertanto la probabilita di diffusione è minore.

•  che il fattore di forma di nuclei è una funzione oscillante simile alla figura di diffrazione della luce su di un disco circolare.

•  valori di q (o θ) in corrispondenza dei quali si trovano i minimi del fattore di forma danno informazione sulle dimensioni del nucleo. Maggiore è il numero dei minimi di diffrazione che si riescono ad inviduare e maggiore è la precisione con cui si determina il valore di R.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 19

Assumendo un pattern diffrattivo di Fraunhofer, dalla posizione del primo minimo si può fare una stima rozza della dimensione del raggio nucleare.

sin θ = 0.61 λ

R = 0.61 h

qR ⇒ R = 0.61 2 π ! qsin θ q = 2 psin θ

2 = 2 × 420 × sin 50° = 355 MeV ⇒ qc

!c = 355

197.8 = 1.8 fm

R = 0.61 2 π !c

qcsin θ ^{= 0.61}

6.28

1.8 × sin 50° = 2.77 fm

Si può migliorare questa stima del raggio nucleare utilizzando invece della figura di diffrazione di Fraunhofer, il fattore di forma che si calcola assumendo una distribuzione di carica sferica omogenea con bordi ben definiti.

R

ρ(r) = 3

4π^{R3 r ≤ R} 0 r > R

⎧

⎨⎪

⎩⎪

F(q) = ρ^{(r )e! i}

q!

"⋅! r 0

R

∫

q

!r cosθ

−1 1 0

∫

2π 0

∫

R

∫

⁽

⁾

F(q) = 3

2R³ eⁱ

q

!r cosθ

−1 1 0

∫

R

∫

⁽

⁾

0 R

∫

x = q

!r ⇒ dx = q

!dr F(q) = 3!³

R³q³ x sin x

0 qR

∫

3

R³q³

[

]

! + 3!³

R³q³ cos x

0 qR

∫

F(q) = 3!³

R³q³ −qR

! cos qR

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + sin qR

!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ Il primo minimo di F(q) si ha per

Se applichiamo questa formula al caso di pag. 18, otteniamo come stima del raggio del ¹²C

q R!⁻¹ ≈ 4.5

R ≈ 4.5! q⁻¹ = 4.5 /1.8 = 2.5 fm F(q) per E=450 MeV, R=4.1 fm

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 21

Andamento sperimentale del fattore di forma del

58Ni

La posizione dei minimi è la stessa di quella attesa per una sfera omogenea di raggio R = 4.1 fm (figura in basso a sinistra), ma i minimi sono molto meno pronunciati, segno che la distribuzione di carica non ha contorni ben definiti.

Questo andamento è valido per tutti i nuclei pesanti.

Misure sperimentali dei fattori di forma

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 23

Più estesa è la distribuzione di carica e più il fattore di forma decresce bruscamente in funzione di q²; meno estesa è la distribuzione di carica e più il fattore di forma decresce lentamente.

Il caso limite è quello di una distribuzione di carica puntiforme (δ di Dirac) che corrisponde a un fattore di forma costante.

Una distribuzione di carica estesa che decresce gradualmente corrisponde a un fattore di forma che decresce anch’esso gradualmente.

Fattori di forma per distribuzioni di carica sferiche

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 25

I nuclei leggeri hanno ρ(r) gaussiana senza densità costante centrale

I nuclei pesanti sono assimilabili a sfere con densità centrale costante e bordi diffusi (non netti).

Informazioni sul raggio del nucleo si possono ottenere non solo dalla posizione dei minimi nel fattore di forma, ma anche dal comportamento per q²→0.

Se il raggio nucleare è molto minore della lunghezza d’onda, cioè si può sviluppare il fattore di forma in serie di Taylor

dove abbiamo definito il raggio nucleare quadratico medio

F(q

) = ρ (r)e

q!

"⋅! r 0

R

∫ ^d

^{r = ! ρ (r)e}

q

! r cosθ

−1 1

∫

0 R

∫

0 2π

∫ ^r

^{dr d cos ( θ ) d ϕ}

F(q

) = ρ (r) i q

! r cos θ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

n

n=0

∞

∑

−1 1 0

∫

R 0

∫

2π

∫ ^r

^{dr d cos ( θ ) d ϕ =}

F(q

) = 4 π ρ ^(r)r

^dr

0 R

∫ ^{− 4} ₃ ^{π q}

2

!

ρ ^(r)r

^dr

0 R

∫

F(q

) = 1− 1 6

q

!

< r

>

q R

! << 1

< r

>= 4 π ρ ^(r)r

^dr

R

∫

< r

>= −6!

∂F q ( )

∂q

q²=0

Raggio nucleare quadratico medio

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 27

< r

> = r

A

r

= 0.94 fm

Facendo un fit del raggio quadratico medio in funzione del numero di massa A, si ottiene

R

= 5

3 < r

>

R =1.21 fm ⋅ A

Le misure sui fattori di forma dei nuclei fatte a partire dagli anni 1950 hanno evidenziato che i nuclei non sono sfere con una superficie definita in modo netto. Al loro interno la densità è costante, mentre in superficie descresce in modo graduale Le distribuzioni radiali di carica sono descritte dalla distribuzione di Saxon-Woods

ρ (r) = ρ ⁽⁰⁾ 1+ e

r−c a

c = 1.07 fm ⋅ A^1/3 a = 0.54 fm

t = 2a ln 9 = 2.4 fm

Distribuzioni di carica dei nuclei

Spessore superficiale

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 29

•  ρ(0) decresce leggermente al crescere di A.

•  La densità dei nucleoni all’interno del nucleo è

•  Nuclei leggeri (He, Li, Be) hanno densità di carica con profilo gaussiano e quindi densità non costante all’interno del nucleo.

•  I Lantanidi hanno distribuzioni di carica elissoidali, con superficie diffusa.

ρ

ρ

Z ≈ 0.17 nucleoni/fm³ ≈ 10¹⁴g/cm³

Eccitazioni nucleari anelastiche

E^' = E 1+ E

M

(

)

E ' ≈ 495

1+ 495

12 ⋅ 938(1− cos65.4°)

= 482 MeV

Il picco a 482 MeV corrisponde a diffusione elastica dell’elettrone.

I picchi a energie inferiori corrispondono a collisioni anelastiche con stati eccitati del nucleo.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 31

Esistono altri metodi per determinare il raggio nucleare:

1)  Effetti sui livelli energetici atomici di una distribuzione di carica nucleare non puntiforme

2)  Effetti sui livelli energetici degli atomi µ-mesici in cui un elettrone è sostituito da un muone

3)  Differenza di energia negli spettri atomici per nuclei con stesso Z e A diverso (isotopi)

4)  Scattering neutrone-nucleo per misurare la distrubuzione dei nucleoni

Entro gli errori questi metodi forniscono risultati in accordo con quelli ottenuti dalla diffusione elettroni-nucleo

Altre misure del raggio nucleare

Diffusione elastica elettrone-nucleone

•  La diffusione di elettroni su nuclei leggeri (H, ²H) permette di ottenere informazioni sulla struttura di protone e neutrone.

•  L’energia dell’elettrone deve essere qualche centinaio di MeV. Esempio: E=500 MeV

•  Caratteristiche della diffusione elastica su nucleone libero a)  elettrone relativistico con spin

b)  il bersaglio ha spin

c)  la particella proiettile "vede" il bersaglio come esteso e pertanto la diffusione è dovuta all'interazione e.m. tra la carica della particella proiettile e la distribuzione di carica del nucleone e tra lo spin dell'elettrone e la distribuzione di momento magnetico del nucleone;

d)  non si può trascurare il rinculo del bersaglio.

Q ≈ 2EE^'

(

θ )

λ

Q = 200 MeV fm

10³MeV ≈ 0.5 fm

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 33

La sezione d’urto del processo è data da formula di Rosenbluth

dove

•  G_E è il fattore di forma elettrico del nucleone

•  G_M è il fattore di forma magnetico del nucleone

•  Il termine dipendente da tan(θ/2) esprime interazione fra spin elettrone e momento magnetico del nucleone

Per Q²→0, il fattore di forma elettrico è uguale alla carica del nucleone (in unità di e) e il fattore di forma elettrico è uguale al momento magnetico del nucleone (in unità di µ_N).

Si misura:

dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

exp

= dσ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

G

( ) Q

^{+ τ}

^G

( ) ^Q

1+τ + 2τ G

( ) Q

^tan

^⎛ _⎝ ^{⎜ θ} ₂ ^⎞ _⎠ ^⎟

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

τ = Q² 4M²c²

G

( Q

= 0 ) =1 G

( Q

= 0 ) ^{= 0}

G

( Q

= 0 ) = 2.79 G

( Q

= 0 ) ^{= −1.91}

(Lez. 5 pag. 46)

•  Per determinare sperimentalmente i due fattori di forma, si fanno esperimenti a valori di Q² fissato e a diversi valori di θ, quindi variando l’energia E del fascio di elettroni.

•  Il rapporto fra sezione d'urto misurata e sezione d’urto Mott in funzione di tan(θ/2) è una retta, come predice la formula di Rosenbluth.

•  La pendenza della retta e l'intercetta permettono di estrarre i valori dei fattori di forma.

•  Variando Q² si misurano fattori di forma in funzione di Q.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 35

L'andamento di dipolo corrisponde ad una distribuzione di carica

I nucleoni non sono né puntiformi né sfere cariche, ma sistemi diffusi con struttura interna.

Sperimentalmente si trova che i fattori di forma del protone e il fattore di forma magnetico del neutrone hanno andamento di dipolo

G

( ) Q

^{= G}

p

( ) Q

2.79 = G

( ) Q

−1.91 = 1+ Q

0.71(GeV/c

)

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−2

ρ(r) = ρ

e

a = 4.27fm

Fattori di forma dei nucleoni

Il raggio quadratico medio delle distribuzioni di carica del protone e delle distribuzioni di momento magnetico di protone e neutrone sono uguali

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica del neutrone

indica che il neutrone appare elettricamente neutro solo se lo si osserva globalmente dall'esterno. Al suo interno, invece, vi sono costituenti (quark) che trasportano carica elettrica e momento magnetico. La carica elettrica dei suoi costituenti si cancella quasi completamente all'interno del volume della particella.

< r

>

= < r

>

= −6!

dG(Q

)

dQ

= 0.8 fm

< r

>

= −6!

dG

(Q

)

dQ

= 0.10 ± 0.01 fm

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 37

Distribuzione di energia di elettroni su targhetta di H₂O E=246 MeV elettroni incidenti Angolo di diffusione θ=148.5°

Diffusione elastica su protone libero di H

Diffusione quasi-elastica su singoli nucleoni di ¹⁶O

Diffusione anelastica su nucleo di ¹⁶O

Diffusione elastica su nucleo di ¹⁶O

E ' ≈ 246

1+ 246

16 ⋅ 938(1− cos148.5°)

= 238.7 MeV

E ' ≈ 246

1+246

938(1− cos148.5°)

= 165.5 MeV

Diffusione quasi-elastica sui nucleoni

•  L’energia del picco quasi-elastico è minore dell’energia della diffusione elastica su nucleone libero, perché per estrarre nucleoni da ¹⁶O occorre fare lavoro (rompere il legame nucleare).

•  Il picco quasi-elastico è allargato perché il nucleone nel nucleo non è fermo, ma ha impulso di Fermi, e questo fa sì che le relazioni che legano l'energia dell'elettrone diffuso al suo angolo siano alterate dalla presenza dell'impulso iniziale del nucleone bersaglio.

Ciò può essere dimostrato in questo modo. Consideriamo la conservazione di impulso ed energia nell’urto dell’elettrone con un nucleone legato di impulso iniziale P_n in una buca di potenziale profonda S

Calcoliamo la differenza di energia del nucleone prima (legato) e dopo (libero) l’urto

ν = E_n^' − E_n = Mc² + P!_n^'2 2M

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − Mc²+ P!_n² 2M − S

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

P!_n + !

(

)

2M −

P!_n²

2M + S = q!²

2M + S +

P!_n ⋅ !

q cosα M

p!_e + ! P_n = !

p_e^' + ! P_n^' q =! !

p_e − !

p_e^' = ! P_n^' − !

P_n E_e + E_n = E_e^' + E_n^'

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 Paolo Maestro 39

Considerando il moto dei nucleoni isotropo nel nucleo, calcoliamo il valor medio e la deviazione standard della differenza di energia del nucleone

Quindi il picco della diffusione quasi-elastica è spostato per la presenza di S rispetto alla previsione della diffusione elastica, e la distribuzione di energia è allargata per un termine proporzionale all’impulso medio del nucleone iniziale.

Dallo studio dei dati di diffusione su vari nuclei si misura sperimentalmente l’impulso di Fermi P_F e il potenziale medio effettivo S, che hanno valori in accordo con previsioni del modello di Fermi (Lez. 5 pag. 23) .

ν₀ =<ν >=

q!² 2M + S σ_ν = <

(

)

q!

M < !

P_n² >< cos²α > = q!

3M < !

P_n² > P_F² = 5 3< !

P_n² >