a f (x) dx. Poich´e R b

RISOLUZIONE

1. A `e falsa, per esempio la funzione f (x) = sin x `e continua in [ ⇡, ⇡] con R ₁

1 sin x dx = [ cos x] ^⇡ _⇡ = 0 ma sin x 6= 0 per ogni x 2 [ ⇡, ⇡] ^(j) .

B `e vera, infatti essendo f (x) continua in [a, b], dal Teorema della media integrale esiste x ₀ 2 [a, b] tale che f (x ₀ ) = _{b a} ¹ R b

a f (x) dx. Poich´e R b

a f (x) dx = 0 ne segue che f (x ₀ ) = 0.

C `e vera. Dalla formula fondamentale del calcolo integrale se G(x) `e una primitiva di f (x) allora G(b) G(a) = R b

a f (x) dx = 0 e dunque G(b) = G(a).

2. A `e vera. Infatti essendo f (x) decrescente, risulta

x 2[0,+1) inf f (x) = lim

x!+1 f (x) = 0

e quindi f (x) 0 per ogni x 2 [0, +1). Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha inoltre che F ⁰ (x) = f (x) per ogni x 2 (0, +1). Dunque, dai criteri di monotonia, F (x) risulta crescente.

B `e vera, infatti essendo F <sup>0</sup> (x) = f (x) per ogni x 2 (0, +1) e per ipotesi f(x) decrescente, dai criteri di convessit` a si ottiene che F (x) `e concava in (0, + 1).

C `e falsa: la funzione f (x) = _1+x ¹

`e continua e decrescente in [0, + 1) con lim

x!+1 f (x) = 0 ma F (x) = R x

0 f (t) dt = arctan x `e tale che lim

x!+1 F (x) = ^⇡ ₂ .

3. A `e falsa. Si pensi ad esempio alla funzione f (x) = cos x, continua e limitata in R ma tale che F (x) = R x

0 cos t dt = sin x non ammette limite per x ! +1.

B `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = 1 `e continua e limitata in R ma F (x) = R _x

0 dt = x `e tale che lim

x!+1

F (x)

x = 1 6= 0.

C `e vera. Infatti, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione F (x) `e derivabile in (0, + 1) con F ⁰ (x) = f (x). Dal Teorema di de L’Hˆ opital, essendo f (x) limitata, risulta allora

x !+1 lim F (x)

x ² = lim

x !+1

f (x) 2x = 0 4. Calcoliamo R ₁

x cos(log x) dx. Dato che D(log x) = ¹ _x , riconosciamo che l’integrale `e della forma R cos(f (x))f ⁰ (x) dx = sin(f (x)) + c e dunque

Z cos(log x)

x dx = sin(log x) + c 5. Per determinare R ₁

x(log

(3x)+1) dx osservato che D(log(3x) = ¹ _x , riconosciamo chel’integrale `e della forma R _f

_(x)

1+f (x)

dx = arctan(f (x)) + c con f (x) = log(3x) e quindi

Z 1

x(log ² (3x) + 1) dx = arctan(log(3x)) + c

(j)

In generale, abbiamo che se f (x) `e funzione dispari in un intervallo simmetrico rispetto all’origine [ a, a] allora R

a

f (x) dx = 0, provare a dimostrarlo

89

6. Per determinare R _x

p 1 x

dx, osserviamo che p

1 x ⁴ = p

1 (x ² ) ² e che D(x ² ) = 2x, e dunque che, a meno del coefficiente 2, l’integrale `e della forma R _f

_(x)

p 1 f (x)

dx = arcsin(f (x)) + c, da cui

Z x

p 1 x ⁴ dx = ¹ ₂

Z 2x

p 1 x ⁴ dx = ¹ ₂ arcsin(x ² ) + c

7. Per calcolare R _e

₁

x

dx osserviamo che dalla propriet` a di linearitt` a abbiamo Z e

1

x ² dx = Z

1 x

e

dx

Z

1 x

dx

ed essendo D( _x ¹ ) = _x ¹

, a meno del segno il primo l’integrale `e della forma R

e ^{f (x)} f ⁰ (x) dx = e ^{f (x)} + c e dunque

Z e

1 x ² dx =

Z

1 x

e

dx

Z

1

x

dx = e

+ ¹ _x + c 8. Per determinare R p cosh x sinh x

cosh

x+1 dx, osserviamo che D(cosh ² x) = 2 cosh x sinh x e dunque, a meno del coefficiente 2, l’integrale `e della forma R p _f

(x)

f (x)

+1 dx = settsinh (f (x)) + c = log(x + p x ² + 1) + c con f (x) = cosh ² x. Ne segue che

Z cosh x sinh x

p cosh ⁴ x + 1 dx = ¹ ₂

Z 2 cosh x sinh x

p cosh ⁴ x + 1 dx = ¹ ₂ log ⇣

cosh ² x + p

cosh ⁴ +1 ⌘ + c

9. Per calcolare

Z log( p x + 1) x + p

x dx osserviamo che D(log(1 + p

x)) = _2(x+ ¹ p

x) , e pertanto, a meno del coefficiente ¹ ₂ riconosciamo che l’integrale `e del tipo R

f ⁰ (x)f (x) ^↵ dx = _↵+1 ¹ f (x) ^↵+1 + c dove

↵ = 1 e quindi Z log( p

x + 1) x + p

x dx = 2

Z 1

2(x + p

x) log( p

x + 1) dx = log ² ( p

x + 1) + c 10. Possiamo scrivere R _{x 1}

x

+2x+3 dx come

Z x 1

x ² + 2x + 3 dx = ¹ ₂

Z 2x + 2

x ² + 2x + 3 dx 2

Z 1

x ² + 2x + 3 dx Nel primo integrale il numeratore `e la derivata del denominatore e pertanto

Z 2x + 2

x ² + 2x + 3 dx = log(x ² + 2x + 3) + c Osservato che x ² + 2x + 3 = (x + 1) ² + 2 = 2(( ^{x+1 p}

2 ) ² + 1) e che D( ^{x+1 p}

2 ) = ^{p 1}

2 otteniamo

Z 1

x ² + 2x + 3 dx = ^p ₂ ²

Z _p ¹

2

( ^x+1 p

2 ) ² + 1 dx = p ¹

2 arctan( ^x+1 p 2 ) + c

e dunque Z x 1

x ² + 2x + 3 dx = ¹ ₂ log(x ² + 2x + 3) p ²

2 arctan( ^x+1 p

2 ) + c

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11. Per calcolare R _{2x 1}

x

4x+4 dx osserviamo che D(x ² 4x + 4) = 2x 4 e che x ² 4x + 4 = (x 1) ² . Quindi

Z 2x 1

x ² 4x + 4 dx =

Z 2x 4

x ² + 2x + 1 dx + 3

Z 1

x ² 4x + 4 dx

=

Z 2x 4

x ² 4x + 4 dx + 3

Z 1

(x 2) ² dx

= log(x ² 4x + 4) 3 x 2 + c

12. Calcoliamo R _x+1

4x

+5 dx. Osservato che 4x ² + 5 = (2x) ² + 5 = 5 ✓⇣

p 2x 5

⌘ 2

+ 1

◆

, l’integrale

R ₁

4x

+5 dx a meno del coefficiente `e della forma R _f

_(x)

1+f (x)

dx = arctan(f (x)) + c e dunque

Z 1

4x ² + 5 dx = ¹ ₅

Z 1

⇣ p 2x 5

⌘ 2

+ 1

dx = ¹ ₅ ^p ₂ ⁵

Z _p ²

⇣ 5 p 2x

5

⌘ 2

+ 1

dx = ¹

2 p

5 arctan p ^2x 5 + c

Abbiamo poi che D(4x ² + 5) = 8x e dunque

Z x

4x ² + 5 dx = ¹ ₈

Z 8x

4x ² + 5 dx = ¹ ₈ log(4x ² + 5) + c Ne concludiamo che

Z x + 1 4x ² + 5 dx =

Z x

4x ² + 5 dx +

Z x

4x ² + 5 dx = ¹ ₈ log(4x ² + 5) + ¹

2 p

5 arctan p ^2x 5 + c 13. L’integrale R

cos x(sin ³ x + cos ² x + 1) dx si pu` o riscrivere come Z

cos x(sin ³ x + cos ² x + 1) dx = Z

cos x(sin ³ x sin ² x + 2) dx

= Z

cos x sin ³ x dx Z

cos x sin ² x dx + 2 Z

cos x dx e dato che D(sin x) = cos x otteniamo

Z

cos x(sin ³ x + cos ² x + 1) dx = ¹ ₄ sin ⁴ x ¹ ₃ sin ³ x + 2 sin x + c

14. Possiamo determinare R

cos ³ x dx riscrivendolo come Z

cos ³ x dx = Z

cos x(cos ² x) dx = Z

cos x(1 sin ² x) dx

= Z

cos x dx Z

cos x sin ² x dx = sin x ¹ ₃ sin ³ x + c

91

15. Per calcolare R

cosh ² x sinh ³ x, dx osserviamo che essendo cosh ² x sinh ² x = 1 si ha Z

cosh ² x sinh ³ x dx = Z

cosh ² x sinh x(cosh ² x 1) dx = Z

cosh ⁴ x sinh x dx Z

cosh ² x sinh x dx e siccome D(sinh x) = cosh x otteniamo

Z

cosh ² x sinh ³ x, dx = ¹ ₅ cosh ⁵ x ¹ ₃ cosh ³ x + c

16. L’integrale R

tan ⁵ x dx si riscrive come Z

tan ⁵ x dx = Z

tan ³ x tan ² x dx = Z

tan ³ x(1 + tan ² x) dx Z

tan ³ x dx

= Z

tan ³ x(1 + tan ² x) dx Z

tan x tan ² x dx

= Z

tan ³ x(1 + tan ² x) dx Z

tan x(tan ² x + 1) dx + Z

tan x dx Osservato che D(tan x) = 1 + tan ² x e che tan x = ^{sin x} _{cos x} = ^{D(cos x)} _{cos x} , otteniamo

Z

tan ⁵ x dx = ¹ ₄ tan ⁴ x ¹ ₂ tan ² x log(cos x) + c

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