Sezione trasversale della trave:

(1)

ANALISI DINAMICA DI UNA TRAVE CON MASSA CONCENTRATA E FORZANTE ARMONICA Luce della trave:

L

_t

 10 m 

Sezione trasversale della trave:

h

_t

 0.8 m  b

_t

 0.5 m 

Caratteristiche del materiale:

γ

_cls

25 kN m ³





E

_cm

 31000 MPa 

Carico dovuto al peso proprio della trave:

q

_SW

h

_t

 γ b

_t



_cls

10 kN

 m



Massa dovuta al peso proprio e concentrata in mezzeria:

m

_SW

q

_SW

g

L

_t

 2  5.099  10 ³ kg

 P

_SW

 m

_SW

 g  50 kN

Momento di inerzia della trave:

I b

_t

 h

_t

³

12  0.021 m ⁴



Rigidezza flessionale della trave:

K

_t

48 E 

_cm

 I L

_t

³

3.174  10 ⁴ kN

 m



Carico concentrato in mezzeria che simula la presenza della parte statica della massa:

P

_M

 200 kN 

Massa dovuta al carico P:

m

_P

P

_M

g  2.039  10 ⁴ kg



Periodo proprio di vibrare della trave + massa concentrata:

T

₀

2 π   m

_SW

 m

_P



K

_t

  0.17806s



(2)

f

₀

 T

₀

^ ¹  5.61618Hz

ω

₀

2 π  f 

₀

35.288 rad

 s



Si consideri ora una forzante armonica verticale che eccita la massa m

_P

: F

_{V_P}

 100 kN 

Rapporto di smorzamento rispetto al critico:

ξ  0.05 (nell'analisi Steady State il rapporto di smorzamento deve essere doppio) Si definisce la "parte reale" dello spostamento:

u

_{z_real}

( ) f F

_{V_P}

K

_t

1 2 π  f

ω

₀

 



 



2  

 



1 2 π  f

ω

₀

 



 



2  

 



2 2 ξ  2 π  f

ω

₀

 



 

 

 



 



2 





Si definisce la "parte immaginaria" dello spostamento:

u

_{z_imm}

( ) f F

_{V_P}

K

_t

 ξ 2  2 π  f

ω

₀

 



 

 

1 2 π  f

ω

₀

 



 



2  

 



2 2 ξ  2 π  f

ω

₀

 



 

 

 



 



2 





Spostamento verticale complessivo:

u

_z

( ) f  u

_{z_real}

( ) f ²  u

_{z_imm}

( ) f ²

0 2 4 6 8 10

0 0.01 0.02 0.03

u

_z

f()

f f  1 Hz 

f

_max

^ Maximize u  

_z

 f ^ ^{5.602 Hz}

u

_z

  f

_max

^ ^{31.541 mm}

(3)

Spostamento statico dovuto alla forzante armonica:

u

_{z_stat_P}

F

_{V_P}

 L

_t

³

48 E 

_cm

 I  3.15 mm



u

_z

( 0 Hz  )  3.15 mm

Si noti che a 0 Hz lo spostamento dinamico e quello statico coincidono.

Spostamento statico dovuto al peso proprio della trave:

u

_{z_stat_SW}

5 q 

_SW

 L

_t

⁴

384 E 

_cm

 I  1.969 mm



Sezione trasversale della trave:

ANALISI DINAMICA DI UNA TRAVE CON MASSA CONCENTRATA E FORZANTE ARMONICA Luce della trave:

L

 10 m 