Problema di Programmazione lineare con 3 variabili assegnato alla Maturità tecnico-commerciale nella sessione ordinaria del 1981
Una azienda agricola ha a disposizione tre tipi di sostanze A, B, C per la preparazione di una miscela fertilizzante. La sostanza A contiene il 10% di azoto e il 20% di ossido di potassio, la sostanza B contiene il 15% di azoto ed il 50% di ossido di potassio, la C il 25% di azoto ed il 60% di ossido di potassio. Il concime da utilizzare deve contenere almeno il 20% di azoto ed almeno il 40% di ossido di potassio. I costi delle tre sostanze sono rispettivamente di 600£, 750£, e 1.000£ al kg. Determinare la composizione percentuale delle tre sostanze che rende minimo il costo della miscela fertilizzante.
Svolgimento Dati
A B C Quantità minima
azoto 10% 15% 25% 20%
ossido di potassio 20% 50% 60% 40%
costo/kg 600 750 1000
Modello matematico
1 :
x sostanza tipo A in kg – continua
2 :
x sostanza tipo B in kg - continua
3 :
x sostanza tipo C in kg - continua Obiettivo:
(x1,x2,x3) 600x1 750x2 1000x3
C = + +
Vincoli:
Di segno: x1,x2,x3 ≥0
Tecnici:
= + +
≥ +
+
≥ + +
1
40 60
50 20
20 25
15 10
3 2 1
3 2 1
3 2
1
x x x
x x
x
x x
x
(si riferisce il modello ad 1 kg di prodotto)
Svolgimento
Dal vincolo di uguaglianza si elimina la variabile x3:
2 1
3 1 x x
x = − − ; il modello diventa:
(x1,x2)=−400x1−250x2 +1000 C
s.a
≥
−
−
≥ +
−
−
≥ +
−
−
0 1
40 60 10 40
20 25 10
15
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
≤ +
≤ +
≤ +
1 2 4
1 2 3
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
Nel grafico: x1=x; x2=y
Soluzione:
x1=1/3 x2=0 x3=2/3 Cmin=867
