Sistemi Stiff

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L’equazione differenziale lineare

y⁰(t) = λy , y (0) = c, t ∈ [0, 1]

ha soluzione

y (t) = c exp(λt).

Se λ < 0, allora y (t) decade di un fattore c/e al tempo t = −1/λ (costante di tempo).

Pertanto se |λ| `e grande, la soluzione decade molto rapidamente.

Provare ad approssimare la soluzione con il metodo di Eulero quando λ = −5 e λ = −50, con passo h = 0.1. Usare poi il metodo dei trapezi

y_n+1=y_n+h/2(f (x_n+1,y_n+1) +f (x_n,y_n)) Cosa si osserva? Perch `e?

In generale, i sistemi stiff sono sistemi di equazioni differenziali che descrivono sistemi fisici caratterizzati da costanti di tempo molto differenti fra loro.

Sia dato il sistema di ODE lineari a coefficienti costanti y⁰(t) = Ay(t) + Φ(t), y, Φ(t) ∈ Rⁿ, A ∈ R^n×n. Siano λ₁, λ₂, . . . , λngli n autovalori distinti di A

(|λ₁| ≤ .... ≤ |λ_n|) e c₁,c₂, . . . ,c_ni corrispondenti autovettori.

Allora la soluzione del sistema si pu `o scrivere come

y (t) =

n

X

i=1

K_iexp(λ_it)c_i+ Ψ(t)

avendo indicato con K₁, ...,K_nn costanti e con Ψ(t) una soluzione particolare del problema.

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Si definiscequoziente di stiffness:

S = <(λ_n)

<(λ₁).

Un sistema differenziale lineare a coefficienti costanti `estiffse tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa e il quoziente di stiffness `e grande.

Esempio 1 Problema

y⁰(t) = −10³(y −exp (−t)) − exp(−t), y (0) = 0 t ∈ [0, 1]

Soluzione: y (t) = exp (−t) − exp (−10³t)

Le componenti della soluzione hanno un fattore di decadimento molto diverso.

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Alcuni esempi

Usiamo differenti solutori di Matlab

Metodo RK45: 311 successful steps - 1987 function evaluations Metodo implicito: 47 successful steps - 63 function evaluations

Esempio 2

 y₁⁰(t) y₁⁰(t)



=

 −2 1

997 −999

  y₁(t) y₂(t)

 +

 2 sin (t) 999(cos (t) − sin(t))



y₁(0) = 2, y₂(0) = 3 Integro numericamente con RK45:

3019 successful steps - 18865 function evaluations Integro con un metodo implicito (trapezi):

93 successful steps - 145 function evaluations

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Poich `e l’intervallo di assoluta stabilit `a del metodo RK usato `e λh ∈ (−3, 0)

devo scegliere il passo h < 0.003.

Non si presenta questo problema con il metodo dei trapezi in quanto l’intervallo di assoluta stabilit `a `e (−∞, 0).

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Conclusione

I metodi Runge Kutta espliciti non sono sufficientemente stabili per l’integrazione di un sistema stiff: per avere risultati accettabili `e necessario utilizzare un passo di integrazione troppo piccolo.

Si devono usare metodi con una grande regione di assoluta stabilit `a: per esempio i metodi impliciti (trapezi).