Catene di Markov nel corso dell OS FAM Parte II: catene di Markov assorbenti

(1)

Arno Gropengiesser

Liceo cantonale di Lugano 1, ETH f¨ur die Schule

25 gennaio 2019

A. Gropengiesser (ETH f¨ur die Schule, LiLu1)Catene di Markov nel corso dell’OS FAM Parte II: catene di Markov assorbenti25 gennaio 2019 1 / 42

(2)

1 Sommario

2 Classificazione

3 Catene di Markov assorbenti

(3)

1 2 3 4

5 6 7

8 1

3

2 3

1 1 2

2

1 5 4

5

1 1

2

1 2

1 1

1 2

(4)

Ci sono quattro classi:

C₁= {1, 5} i suoi stati comunicano tra loro ma non con gli altri stati.

C₂= {2, 3} i suoi stati comunicano tra loro ma non con gli altri stati.

C₃= {4} lo stato comunica con nessun altro stato.

C4= {6, 7, 8} i suoi stati comunicano con nessun altro stato.

(5)

1 3 4 5

2 6 7

8 1

3

2 3

1 1 2

2

1 5 4

5

1 1

2

1 2

1 1

1 2

(6)

Rinumeriamo gli stati, in modo che quelli che appartengono alla stessa classe abbiano numerazione adiacente e consecutiva:

C˜1= {1, 2} i suoi stati comunicano tra loro ma non con gli altri stati.

C˜₂= {3, 4} i suoi stati comunicano tra loro ma non con gli altri stati.

C˜₃= {5} lo stato comunica con nessun altro stato.

C˜₄= {6, 7, 8} i suoi stati comunicano con nessun altro stato.

(7)

La matrice di transizione diventa a blocchi:

⎛

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

0 ¹/2 0 0 0 0 0 0

1/3 1/2 0 0 0 0 0 0

2/3 0 0 ⁴/5 0 0 0 0 0 0 ¹/2 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹/5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ¹/2 1

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 ¹/2 0 0 0 ¹/2 0

⎞

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⎠

(8)

1 3 4 5

2 6 7

8 1

3

2 3

1 1 2

2

1 5 4

5

1 1

2

1 2

1 1

1 2

(9)

La probabilit`a totale di ritorno per lo stato 1:

p1,1=1 −2 3⋅1 = 1

3 La probabilit`a totale di ritorno per lo stato 8:

p_8,8=1 − lim

n→∞( 1 2⋅1)

n

− lim

n→∞( 1 2⋅1²)

n

=1 − 0 − 0 = 1

(10)

Definizione

Un sottoinsieme S₀⊂S dell’insieme degli stati S di una catena di Markov

`

e detto chiuso, se p(i , j ) = pj ,i =0 per ogni i ∈ S0 e j /∈ S0. In altre parole: una volta in S0 non si pu`o pi`u uscire.

(11)

Distinguiamo dunque tra:

Stati ricorrenti, se p(i , j ) = p_{j ,i} =1, ossia `e (quasi) certo che ci si torni.

Stati transienti, se p(i , j ) = p_{j ,i} <1, ossia quando non `e ricorrente.

Catene di Markov irriducibili: composte da stati tutti ricorrenti, altrimenti riducibili. Tutti gli stati ricorrenti significa che comunicano tutti tra loro.

Le catene di Markov sono classificabili in: assorbenti, periodiche e regolari

(12)

Definizioni e osservazioni

Una catena di Markov con matrice di transizione A = (a_{i ,j}) ∈M (m, m) è detta strettamente positiva o regolare (e si scrive A > 0) se, e solo se, a_{i ,j} >0, ∀i , j . Ciò significa che da ogni stato si può passare ad ogni altro stato.

Uno stato j `e accessibile da uno stato i se esiste k tale che a_{i ,j}^(k)>0, (a^(k)_{i ,j} ) =A^k.

Due stati sono comunicanti se esistono k1, k2 tali che a^(k_{i ,j}¹⁾>0 e a^(k_{j ,i}²⁾>0.

Il concetto di comunicazione è una relazione di equivalenza (valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva): ciò permette di definire delle classi di stati comunicanti.

Una catena di Markov `e irriducibile se esiste una sola classe di stati comunicanti (ad esempio una catena descritta da una matrice strettamente positiva `e irriducibile).

(13)

Una catena di Markov `e riducibile se esistono almeno due classi di stati comunicanti ed una non `e accessibile dall’altra.

Uno stato si dice assorbente se per ogni k ≥ 0 si ha a^(k)_{i ,i} =1.

Un insieme di stati si dice chiuso quando nel momento in cui si entra in uno stato dell’insieme, si rimane all’interno di esso.

Il periodo di uno stato i `e dato da: π (i ) = mcd (k ∣a_{i ,i}^(k)>0 ).

Se π (i ) = 1 lo stato si dice a-periodico; una catena con stati a-periodici `e detta a-periodica.

Uno stato i si definisce stato transiente se esiste uno stato j raggiungibile da i, ma i non `e raggiungibile da j.

Uno stato che non `e transiente viene definito stato ricorrente.

(14)

La ricorrenza è una proprietà di classe: se lo stato i è ricorrente e lo stato j comunica con i allora lo stato j è ricorrente.

Anche essere transiente `e una propriet`a di classe.

Tutti gli stati di una catena di Markov finita irriducibile sono ricorrenti.

Se tutti gli stati in una catena sono ricorrenti, aperiodici e comunicano l’uno con l’altro, la catena si definisce ergodica o regolare (a seconda della bibliografia di riferimento). In questo caso la matrice sar`a

riconoscibile dal fatto che ad un certo punto la matrice di transizione sar`a strettamente positiva (regolare, appunto).

Se si traspongono queste considerazioni alle matrici stocastiche, s’impongono le seguenti definizioni.

(15)

Sia S = {1, ⋯ , m} l’insieme degli stati di una catena di Markov.

Una matrice stocastica A = (ai ,j) ∈M (m, m) `e detta irriducibile se, e solo se, per qualsiasi coppia di x, y di S esiste una k ∈ N^∗ tale che

p^(k)(x , y ) > 0.

Una matrice stocastica A = (ai ,j) ∈M (m, m) `e detta aperiodica se, e solo se, per ogni x ∈ S = {1, ⋯ , m} l’insieme {n ∈ N^∗(n) (x , x ) > 0} possiede come massimo comun divisore 1, ossia non esiste un numero naturale n ≥ 0 che divide tutti gli elementi dell’insieme.

Una matrice stocastica A = (a_{i ,j}) ∈M (m, m) `e detta regolare se, e solo se, tutte le sue componenti sono strettamente positive, ossia

ai ,j >0, ∀i , j ∈ {1; m}.

Una catena di Markov con matrice stocastica A = (ai ,j) ∈M (m, m) è detta regolare se, e solo se, esiste n ∈ N^∗, tale che la sua ennesima potenza Aⁿ= (ã_{i ,j}) ∈M (m, m) è una matrice stocastica regolare, ossia

˜

ai ,j >0, ∀i , j ∈ {1; m}.

(16)

1 La definizione di irriducibilit`a significa che si pu`o passare in un numero finito di passi da uno stato qualsiasi in un qualsiasi altro stato.

2 Si può dimostrare che A = (a_{i ,j}) ∈M (m, m) è regolare se, e solo se, è irriducibile e aperiodica.

(17)

Il carbonio `e un elemento fondamentale, presente in tutte le sostanze organiche. Sulla Terra vi sono tre isotopi: ¹²C e ¹³C che sono stabili e

14C che è radioattivo. Quest’ultimo si trasforma per decadimento beta in azoto (¹⁴N), di conseguenza a lungo andare scomparirebbe, se non venisse continuamente reintegrato. Infatti negli strati alti della troposfera e nella stratosfera, per la cattura di neutroni termici (componenti secondari dei raggi cosmici) da parte degli atomi di azoto avviene una produzione di nuovo ¹⁴C . S’instaura cos`ı un equilibrio dinamico che mantiene più o meno costante la concentrazione dell’isotopo radioattivo nell’atmosfera, dove è presente principalmente in forma di anidride carbonica. Tutti gli organismi viventi sottostanno al ciclo del carbonio e scambiano

continuamente carbonio con l’atmosfera attraverso la respirazione e la fotosintesi, oppure la nutrizione.

(18)

Le piante scambiano il ¹⁴C con l’atmosfera attraverso diversi tipi di fotosintesi clorofilliana; i tipi maggioritari sono il ciclo C₃ usato dal 90%

delle piante e il ciclo C₄ usato dal 10% delle piante. Questi cicli assorbono in concentrazioni differenti l’isotopo radioattivo e di conseguenza dopo la loro morte vi `e una presenza diversa (si parla di frazionamento isotopico).

Si propone qui un modello semplificato composto di 5 stati.

(19)

Stato 1: ¹⁴C nell’atmosfera;

Stati 2, 3: due tipi di vegetali, con differente tasso di assorbimento dell’isotopo;

Stati 4, 5: vegetali morti.

A =

⎛

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

0, 9 0, 3 0, 5 0 0 0, 01 0, 3 0 0 0 0, 09 0 0, 2 0 0

0 0, 4 0 1 0

0 0 0, 3 0 1

⎞

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⎠

4 2 1 3 5

0, 9

0, 09

0, 01

0, 2

0, 3 0, 5

0, 3

0, 4

0, 3

1 1

(20)

Si supponga che lo stato 1 rappresenti un singolo isotopo ¹⁴C presente nell’atmosfera (numero di molecole) e che si distribuisca sui due tipi di piante (stati 2 e 3). Al momento della morte dei vegetali non vi è più scambio, ma il frazionamento costringe a considerare separatamente il materiale organico delle piante morte: stato 4 oppure 5. Questo modello semplificato è espresso dalla matrice A che descrive le probabilità di transizione per unità di tempo t (in anni).

Un singolo atomo di azoto N che si è trasformato in ¹⁴C con quale probabilità si ritroverà sul lungo periodo in un campione di materiale organico (delle piante morte) di tipo C₃ e di tipo C₄?

Quale `e il corrispettivo tempo medio di assorbimento?

(21)

medio di assorbimento

La probabilità totale di assorbimento: 1a regola della media Con quale probabilità sarò assorbito dallo stato assorbente 4?

4 2 1 3 5

0, 9

0, 09

0, 01 p₁

0, 2

0, 3 0, 5

p3

0, 3

0, 4

0, 3 p2

1 1

(22)

medio di assorbimento

La probabilit`a totale di assorbimento: 1a regola della media

4 2 1 3 5

0, 9

0, 09

0, 01 p₁

0, 2

0, 3 0, 5

p₃ 0, 3

0, 4

0, 3 p₂

1 1

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

p1 =0, 9p1+0, 01p2+0, 09p3

p₂ =0, 3p₁+0, 3p₂+0p₃+0, 4 p3 =0, 5p1+0p2+0, 2p3

(23)

medio di assorbimento

La probabilit`a totale di assorbimento: 1a regola della media Risolvendo si ottiene:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

p1≈0, 145 p₂≈0, 633 p₃≈0, 091

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

q1=1 − p1≈1 − 0, 145 = 0, 855 q₂=1 − p₂≈1 − 0, 633 = 0, 367 q₃=1 − p₃≈1 − 0, 091 = 0, 909

A lungo andare l’atomo di azoto¹⁴N si trover`a nello stato 4 (C3) con p = 14, 5 % e nello stato 5 (C₃) con p = 85, 5 %.

(24)

medio di assorbimento

Il tempo medio di assorbimento: 2a regola della media

0 m₂ m₁ m₃ 0

0, 9

0, 09

0, 01

0, 2

0, 3 0, 5

0, 3

0, 4

0, 3

1 1

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

m₁=1 + 0, 9m₁+0, 01m₂+0, 09m₃ m2=1 + 0, 3m1+0, 3m2+0m3

m₃=1 + 0, 5m₁+0m₂+0, 2m₃

e da ci`o

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

m1 ≈28, 552 m₂≈13, 665 m3≈19, 095 Il tempo medio di assorbimento per lo stato (¹⁴N) `e pari a m1=28, 55 anni (per questo modello!).

(25)

medio di assorbimento

La matrice fondamentale

Data la matrice di transizione (stocastica).

A =

⎛

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

0, 9 0, 3 0, 5 0 0 0, 01 0, 3 0 0 0 0, 09 0 0, 2 0 0

0 0, 4 0 1 0

0 0 0, 3 0 1

⎞

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⎠ e il SEL ottenuto dalla 1a regola della media:

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

p₁=0, 9p₁+0, 01p₂+0, 09p₃ p2=0, 3p1+0, 3p2+0p3+0, 4 p₃=0, 5p₁+0p₂+0, 2p₃

⇔

⎛

⎜

⎝ p1

p2

p₃

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

0.9 0.01 0.09

0.3 0.3 0

0.5 0 0.2

⎞

⎟

⎠

⋅

⎛

⎜

⎝ p1

p2

p₃

⎞

⎟

⎠ +

⎛

⎜

⎝ 0 0.4

0

⎞

⎟

⎠

(26)

medio di assorbimento

⎛

⎜

⎝ p1

p₂ p3

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

0.9 0.01 0.09

0.3 0.3 0

0.5 0 0.2

⎞

⎟

⎠

⋅

⎛

⎜

⎝ p1

p₂ p3

⎞

⎟

⎠ +

⎛

⎜

⎝ 0 0.4

0

⎞

⎟

⎠

⇔ ⃗p = Q ⋅ ⃗p + ⃗a₄

Dove Q = S^t della blocco in alto a sinistra di A.

p = Q ⋅ ⃗⃗ p + ⃗a₄⇔ ⃗p − Q ⋅ ⃗p = ⃗a₄ (I − Q) ⋅ ⃗p = ⃗a₄⇔ ⃗p = (I − Q)⁻¹⋅ ⃗a₄

La matrice fondamentale `e data da: F =

⎛

⎜

⎝

0, 1 −0, 01 −0, 09

−0, 3 0, 7 0

−0, 5 0 0, 8

⎞

⎟

⎠

−1

.

(27)

medio di assorbimento

La matrice fondamentale Siano ⃗a₄=

⎛

⎜

⎝ 0 0, 4

0

⎞

⎟

⎠ a⃗₅=

⎛

⎜

⎝ 0 0 0, 3

⎞

⎟

⎠

, allora:

F ⋅ ⃗a4≈

⎛

⎜

⎝ 0, 145 0, 633 0, 090

⎞

⎟

⎠

F ⋅ ⃗a5 ≈

⎛

⎜

⎝ 0, 855 0, 366 0, 909

⎞

⎟

⎠

La matrice fondamentale F esprime la 1a e la 2a Regola della media.

(28)

medio di assorbimento

A =

⎛

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

0, 9 0, 3 0, 5 0 0 0, 01 0, 3 0 0 0 0, 09 0 0, 2 0 0

0 0, 4 0 1 0

0 0 0, 3 0 1

⎞

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⎠ e il SEL ottenuto dalla 2a regola della media:

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

m₁=1 + 0, 9m₁+0, 01m₂+0, 09m₃ m2=1 + 0, 3m1+0, 3m2+0m3

m₃=1 + 0, 5m₁+0m₂+0, 2m₃

(29)

medio di assorbimento

⇔

⎛

⎜

⎝ m1

m2

m₃

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

0.9 0.01 0.09

0.3 0.3 0

0.5 0 0.2

⎞

⎟

⎠

⋅

⎛

⎜

⎝ m1

m2

m₃

⎞

⎟

⎠ +

⎛

⎜

⎝ 1 1 1

⎞

⎟

⎠

⇔ ⃗m = Q ⋅ ⃗m + ⃗u Dove Q = S^t della blocco in alto a sinistra di A.

m = Q ⋅ ⃗⃗ m + ⃗u ⇔ ⃗m − Q ⋅ ⃗m = ⃗u (I − Q) ⋅ ⃗m = ⃗u ⇔ ⃗m = (I − Q)⁻¹⋅ ⃗u

Con ⃗u =

⎛

⎜

⎝ 1 1 1

⎞

⎟

⎠

, si ottiene: F ⋅ ⃗u ≈

⎛

⎜

⎝ 28, 552 13, 665 19, 095

⎞

⎟

⎠

(30)

medio di assorbimento

A =

⎛

⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎝

0, 9 0, 3 0, 5 0 0 0, 01 0, 3 0 0 0 0, 09 0 0, 2 0 0

0 0, 4 0 1 0

0 0 0, 3 0 1

⎞

⎟

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎠

Questa `e composta da quattro blocchi: Data la matrice di transizione (stocastica).

A = (Q O

R I) = (Q O R I ) Si pu`o verificare senza troppe difficolt`a che: Q^∞=O

(31)

medio di assorbimento

Considerando l’identit`a (I − Q)(I + Q + Q²+Q³+ ⋯ +Qⁿ) =I − Qⁿ⁺¹, si conclude che:

(I − Q)(I + Q + Q²+Q³+ ⋯ +O) = I − O Dato che det(I ) = 1, segue det(I − Q) = 1, ossia F⁻¹ esiste e i corrispondenti SEL sono determinati.

(32)

simulazione con catena di Markov.

Con il nottolino browniano in Termodinamica si indica un esperimento mentale riguardante un dispositivo meccanico che appare essere in grado di produrre un moto perpetuo. Questa semplice macchina consiste in un cricco accoppiato a una ruota a pale capace di estrarre lavoro meccanico da fluttuazioni termiche casuali in un sistema all’equilibrio T₁=T₂, in violazione della seconda legge della Termodinamica.

(33)

simulazione con catena di Markov.

Il dispositivo fu analizzato nel 1912 da M. Smoluchowski e nel 1962 R.

Feynman ha dimostrato che ciò è in realtà impossibile. Il principio del nottolino può essere trasposto in un meccanismo lineare: si alternano, in modo giudizioso, i due profili per una biglia che si muove casualmente da destra a sinistra. Il risultato è che, presi singolarmente, entrambi i profili faranno scorrere la biglia verso destra, ma combinandoli le biglie scorrono verso sinistra.

(34)

simulazione con catena di Markov.

Un modello molto semplice per simulare con una catena di Markov omogenea a stati finiti una trasposizione lineare di un nottolino browniano

`

e stato proposto nel 1996 dal fisico spagnolo J. Parrondo: la combinazione di due giochi d’azzardo perdenti pu`o risultare vincente a lungo termine. La versione qui proposta `e da attribuire al fisico statunitense D. Astumian.

(35)

simulazione con catena di Markov.

Si consideri una scacchiera con cinque campi come da figura. Su di essa ci si pu`o spostare in modo indipendente da una casella a una contigua, secondo le seguenti regole. Sia 0 < ε < 1 e pX ,Y indichi la probabilit`a di transizione dallo stato X allo stato Y . Vale: p−1,−2=ε, p−2,−2=1, p_−1,0=1 − ε e p_2,2=1. Per gli altri stati ci sono due versioni A e B del gioco.

(36)

simulazione con catena di Markov.

Gioco A

Per questo gioco valga inoltre che p0,−1=1 e p_1,2=1 (stati riflettenti).

Gioco B

Per questo gioco valga invece che p0,−1=ε, p0,1=1 − ε e p1,0=1 (stato riflettente).

Quali sono le corrispondenti matrici di transizione A e B.

E possibile, nei due giochi A e B, vincere partendo dallo stato iniziale` 0?

Quali sono i tempi medi di assorbimento e le probabilit`a totali di assorbimento per i due giochi A e B?

(37)

simulazione con catena di Markov.

A =

⎛

⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎝

1 ε 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 − ε 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

⎞

⎟

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎠

B =

⎛

⎜⎜

⎝

1 ε 0 0 0

0 0 ε 0 0

0 1 − ε 0 1 0

0 0 1 − ε 0 0

0 0 0 0 1

⎞

⎟⎟

⎠

(38)

simulazione con catena di Markov.

Gioco A

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

m−1=1 + m₀⋅ (1 − ε) + 0 ⋅ m₁ m₀=1 + m₋₁⋅1 + 0 ⋅ m₁ m1=1 + m0⋅0

⇔ m⃗A=

⎛

⎜

⎝ 2 − ε

2 /ε /ε 1

⎞

⎟

⎠

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

p−1=0 ⋅ p−1+p0⋅ (1 − ε) + 0 ⋅ p1+ε p0 =1 ⋅ p−1+0 ⋅ p1+0 ⋅ p0

p₁ =p₀⋅0

⇔ p⃗_A,S₋₂=

⎛

⎜

⎝ 1 1 0

⎞

⎟

⎠

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

q₋₁=q₀⋅ (1 − ε) q0=1 ⋅ q−1+0 ⋅ q1

q1=1

⇔ q⃗A,S2=

⎛

⎜

⎝ 0 0 1

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝ 1 1 1

⎞

⎟

⎠

− ⃗pA,S−2

(39)

simulazione con catena di Markov.

Gioco B

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

m−1=1 + m₀⋅ (1 − ε) + 0 ⋅ m₁ m₀=1 + m₋₁⋅ε + (1 − ε) ⋅ m₁ m1=1 + m0⋅1

⇔ m⃗B = 1 ε²

⎛

⎜

⎝

2 − 2ε + ε² 2 ε²+2

⎞

⎟

⎠

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

p−1=ε + p₀⋅ (1 − ε) + 0 ⋅ p₁ p₀ =ε ⋅ p₋₁+ (1 − ε) ⋅ p₁ p1 =p0⋅1

⇔ p⃗_B,S₋₂ =

⎛

⎜

⎝ 1 1 1

⎞

⎟

⎠

⇔ q⃗_B,S₂=

⎛

⎜

⎝ 0 0 0

⎞

⎟

⎠

(40)

simulazione con catena di Markov.

Gioco C

Si consideri una moneta ideale: P(T ) = P(C ) = 1

2. Si lanci la moneta e se esce “Testa” si giochi la variante A del gioco, altrimenti il gioco B.

C = 1 2⋅A +1

2⋅B =

⎛

⎜⎜

⎜

⎝

1 ε 0 0 0

0 0 ^1+ε₂ 0 0 0 1 − ε 0 ¹₂ 0 0 0 ^1−ε₂ 0 0

0 0 0 ¹₂ 1

⎞

⎟⎟

⎟

⎠ ,

che `e stocastica.

(41)

simulazione con catena di Markov.

Determiniamo, in funzione di ε, la probabilit`a totale di vincere in questo gioco C, partendo dallo stato iniziale 0.

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

q−1=q0⋅ (1 − ε) q₀ =^1+ε₂ ⋅q₋₁+^1−ε₂ ⋅q₁ q1 =q0⋅¹

2+¹

2

⇒ q₀=

1 − ε 1 + ε + 2ε²

ε→0limq0=lim

ε→0

1 − ε 1 + ε + 2ε² =1

la probabilit`a di vincere nel gioco C `e pari a 1 (ε → 0), nonostante A e B siano giochi perdenti.

q₀= 0, 9

1, 12≅80%