METODOLOGIA DI SCOMPOSIZIONE

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APPENDICE A

METODOLOGIA DI SCOMPOSIZIONE

Si supponga che la popolazione possa essere suddivisa, in modo esaustivo, in K sottogruppi mutuamente esclusivi, k = 1….K.

Gli indici di disuguaglianza che fanno parte della “famiglia” dell’entropia generalizzata hanno le più desiderabili proprietà di scomposizione (cfr. Cowell, 1995). Ogni indice EG(α ) può essere scomposto nella somma:

( ) ^α EG

( ) ^α EG

( ) ^α

EG = +

dove α indica la sensibilità dell’indice alle differenze di reddito nelle diverse parti della distribuzione del reddito, EG

( ) ^α è la disuguaglianza (within) entro-i-gruppi e

( ) α

EG

è la disuguaglianza (between) tra-i- gruppi.

Si può dimostrare che:

( ) ^α ( ) ( )

( ) ^α

K

k k

W

v s EG

EG

−

∑

=

1

1

dove v

= N

N è la quota della popolazione del sotto- gruppo, ovvero il numero di persone del sotto-gruppo k diviso il numero totale di persone; s è la quota del reddito

totale posseduta dai membri appartenent i al gruppo k (quota del reddito del sotto- gruppo). EG

( ) ^α , la disuguaglianza nel sotto-gruppo k, è calcolata come se quel sotto- gruppo fosse una popolazione a se stante, mentre EG

( ) α è derivato assumendo che ogni persona entro un dato sotto-gruppo k riceva il reddito medio di k, m

.

La disuguaglianza all’interno dei gruppi dipende dalla dispersione delle risorse

all’interno di ciascun sotto-gruppo considerato, mentre la disuguaglianza tra i gruppi

riflette solo le distanze tra i redditi medi dei sotto-gruppi. Se all’interno di ogni gruppo

di ogni gruppo tutti gli individui avessero lo stesso livello di reddito, il primo addendo

sarebbe nullo e la disuguaglianza complessiva sarebbe data unicamente dalla differenza

tra i redditi medi dei vari gruppi. Se invece tutti i gruppi, pur essendo al loro interno

diseguali, presentassero uguali redditi medi, solo il primo addendo sarebbe diverso da

zero, perché tutta la disuguaglianza avverrebbe all’interno dei singoli gruppi, non tra di

loro. Se un indice è scomponibile in questo modo, esso è coerente con l’andamento

della disuguaglianza all’interno di ciascun dei gruppi considerati: si parla di subgroup

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98 consistency. Ciò significa che se, usando un determinato indice, la disuguaglianza interna ad un gruppo si riduce, si può essere certi che anche il valore aggregato della misura si ridurrà.

Nel caso in cui questo non si verificasse, sarebbe impossibile, con quell’indice,

esprimere la variazione della disuguaglianza complessiva come funzione delle

variazioni nei livelli di disuguaglianza dei singoli gruppi.