ANALISI MATEMATICA 2 10 giugno 2014
1. (6 punti) Sia S la calotta sferica S := {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = R2,0 ≤ z} e V il campo vettoriale in R3 definito da
V(x, y, z) := ((1 + z)x, (1 + z)y, (x + y)z − 2) .
• Calcolate il flusso di V attraverso S utilizzando (opportunamente) il teorema di Gauss.
• Calcolate il medesimo flusso utilizzando un integrale di superficie.
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2. (6 punti) Trovate massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) := e−xx y2 nel quadrato S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}.
ANALISI MATEMATICA 2 10 giugno 2014
3. (6 punti) Sia A la regione piana definita da
A= {(x, y) : −x2 ≤ y ≤ −x2+ 1, 0 ≤ x ≤ 1}.
Se la densit`a di A `e uguale a d > 1 per y > 0 e uguale a 1 per y ≤ 0, calcolate il baricentro di A.
ANALISI MATEMATICA 2 10 giugno 2014
Cognome: Nome: Matricola:
Terzo Appello | | | |
∗∗ Test |Es1 |Es2 |Es3 |
• Una ed una sola delle quattro affermazioni `e corretta. Indicarla con una croce.
• Per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio.
• Risposta corretta: +1.5. Risposta errata: −0.25.
1. Se V : R3 → R3 `e un campo vettoriale di classe C2 e se W = rotV allora a W `e ortogonale a V; b W `e parallelo a V; c rotW = 0; d divW = 0.
2. Se γ `e il segmento congiungente i punti (1, 0) e (−3, 5) allora l’integrale di prima specie Z
γ
(x + y) dl = a 2√
41/3; b 2√
41/5; c 3√
41/2; d 5√ 41/2.
3. Sia C un sottoinsieme convesso di R2 e sia ∂+C il suo bordo orientato positivamente. Allora l’area di C `e a
Z
∂+C
ydx; b 1 2
Z
∂+C
ydx; c 1 2
Z
∂+Cxdy−ydx; d 1 2
Z
∂+Cydx−xdy.
4. Sia f (x) = |x|, per −1 ≤ x ≤ 1, e sia g la sua estensione 2-periodica ad R. Allora la serie di Fourier di g: a non converge nei punti in cui g `e non derivabile; b `e una serie di soli seni; c converge totalmente a g in R; d converge puntualmente ma non totalmente a g in R.
5. Sia φ la soluzione del problema di Cauchy
y′′+ 4y = t y(0) = 0 y′(0) = α.
Per quale valore di α vale che φ(4) = 1? a α = 0; b α =−1
2; c α = 1
4; d α =−1 4. 6. La forma quadratica (α − 3)y2− (1 + α)x2+ 4αxy `e definita positiva in R2 per a −3/5 <
α < 1; b per nessun valore reale di α; c α = 1 e α =−3/5; d α < −3/5 e α > 1.
7. Se f (x, y) ∈ C1(R2) e se (0, 0) `e il punto di massimo di f sulla circonferenza di centro (−1, 1) e raggio √
2, allora necessariamente a ∇f(0, 0) ⊥ (e1 − e2); b ∇f(0, 0) = 0;
c ∇f(0, 0) ⊥ e1; d ∇f(0, 0) ⊥ (e1+ e2).
8. Sia E = {(x, y) : 0 < x < 1; x < y < 1}. Allora Z
E
xy dxdy =
a 14; b 161 ; c 0; d 18.
