• 2 punti alla risposta corretta,

(1)

Universit` a di Pavia - Facolt` a di Ingegneria Esame di Geometria e Algebra - 1 dicembre 2010

COGNOME NOME

La prova di autovalutazione consta di 20 quesiti a risposta chiusa; la durata della prova ` e di 1 ora. La risposta a ciascun quesito va scelta esclusivamente tra quelle gi` a date nel testo, annerendo un solo circoletto. Una sola ` e la risposta corretta. Per ogni quesito, vengono assegnati:

• 2 punti alla risposta corretta,

• −1 o −2 punti alla risposta sbagliata, a seconda della gravit` a dell’errore,

• 0 punti per ogni risposta non data.

L’esito finale della prova ` e determinato dalla somma algebrica dei punteggi parziali.

1. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), sia π il piano di equazione:

x + y + z = 1. Stabilire quali tra le seguenti ` e una rappresentazione parametrica per il piano π:



 

  x = t y = −t z = 1

t ∈ R;



 

  x = t y = q z = 1 − t − q

t, q ∈ R;



 

  x = t y = q z = −t − q

t, q ∈ R;



 

 

x = 1 + t y = q z = −t + q

t, q ∈ R.

2. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), considerare i vettori u =



 1 2 0





e v =



 2 1 1



. L’ equazione del piano π per P

₀

= (−1, 1, 1) parallelo a Span(u, v) ´ e:

3x +3y +z = 1 2x -y -3z +6=0 2x -y -3z = 6 2x-y = x-y-z = -3

3. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), sia π il piano di equazione x + 2y − 3z = 1 ed r la retta passante per il punto (1, 1, 1) perpendicolare al piano. Il piano che contiene r ed il punto Q = (0, 0, 3) ha equazione:

x +y +z =3 x+2y-3z = 3z = 0 3x +2y +z = 3 x +2y -3z = 3

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), si consideri il sottospazio U = Span(u), dove u =



 1 0 1



. Le equazioni del sottospazio U sono le seguenti:

n

x − z = 0

( x + z = 2 x + y = 1

( x − z = 0

y = 0

( x − z = 0 x + z = 1

5. Fissata nello spazio E

³O

la base canonica B = n ˆ ı, ˆ , ˆ k o

, si considerino i vettori u = ˆ ı + ˆ  e v = ˆ  − ˆ k. Quali tra i seguenti valori rappresenta l’angolo convesso θ formato dai vettori u e v:

θ = 2

3 π θ = 1

2 π θ = 5

6 π θ = 1

3 π

(2)

6. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), si considerino le rette

r ( z = 0

y = 0 s

( x = 0 z = 1 Stabilire la posizione reciproca delle rette, r e s sono:

parallele incidenti perpendicolari (complanari) sghembe

7. Si consideri il seguente sottospazio di R

⁴

:

U =



 



 

 u =





 x y z t







∈ R

⁴

| x − y = t + z = 0



 



 

 .

Stabilire quali tra i seguenti insiemi di vettori costituisce una base per U :

B

U

=



 



 







 1 1 0 0





 ,





 0 0 1

−1









 



 



B

U

=



 



 







 1 1 1

−1









 



 



B

U

=



 



 







 1 1 0 0





 ,





 0 0 1 1









 



 



B

U

=



 



 







 1 1 0 0





 ,





 0 0 1

−1





 ,





 0 0 0 0









 



 



8. Fissata in R

³

la base B =









 1 1 0



 ,



 1 0 1



 ,



 1 1 1











, stabilire quali tra i seguenti vettori soddisfa la relazione

[v]

_B

=



 2 1 3



:

v =



 2 1 3



 , v =



 6 5 4



 , v =



 0 0 0



 , v =





−1 1 2





9. Si considerino i seguenti sottospazi di R

³

:

U =









 x y z



 ∈ R

³

|x + y + z = 0





 V =









 x y z



 ∈ R

³

|x − y + 2z = 0





 Stabilire quali dei seguenti insiemi costituisce l’intersezione U ∩ V :

U ∩ V = Span(



 1 0

−1



) U ∩ V =









 0 0 0











U ∩ V = Span(



 3

−1

−2



) U ∩ V =









 1 0

−1



 ,



 1 1 0











(3)

10. Dire quanti fra i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:





 1 0 1

−1











 0 2 1 4











 1 3 1 3











 0 1

−1 0







1 2 3 4

11. Si considerino i seguenti vettori di R

³

:

u

1

=



 1 2 1



 u

2

=



 3 1 1



 .

Stabilire quale tra i seguenti vettori aggiunto ai vettori precedenti costituisce una base di R

³

:

u

3

=



 0 0 1



 u

3

=



 2 4 2



 u

3

=



 4 3 2



 nessun vettore

12. Stabilire quali tra i seguenti insiemi costituiscono un sistema di generatori di R

³

:









 1 1 0



 ,



 0 1 0



















 1 1 0



 ,



 0 1 1



 ,



 2 2 0



















 1 1 0



 ,



 0 1 1



 ,



 1 2 1



















 1 1 0



 ,



 0 1 1



 ,



 1 2 1



 ,



 0 0 1











13. Si consideri il sottospazio U ⊂ R

⁴

, U = Span











 0 1 0 1





 ,





 0 1 0

−1











 . Stabilire quale tra i seguenti vettori di R

⁴

non appartiene ad U :





 0 3 0 1











 1 1 1 0











 0 0 0 0











 0 2 0 2







14. Si consideri il sottospazio U ⊂ R

⁴

, U = Span











 1 1 0 0





 ,





 1 0 0 1













. Stabilire quali tra i seguenti sottospazi ` e un

complementare di U :

V = Span(





 0 0 1 0







) V = Span(





 1 1 0 0





 ,





 0 0 1 0







) V = Span(





 2 1 0 1





 ,





 0 0 1 0







) V = Span(





 0 0 1 0





 ,





 0 0 0 1







)

(4)

15. Siano U e V due sottospazi di R

⁵

con dim U = 4 e dim V = 3. Stabilire quale delle seguenti affermazioni ´ e corretta:

dim(U + V ) = 7 dim(U + V ) = 5 dim(U ∩ V ) ≥ 2 dim(U ∩ V ) ≤ 2

16. Si considerino le seguenti matrici quadrate di ordine 2 × 2:

A = 3 1 6 4

B = 1 0 3 2

. Stabilire quale delle seguenti relazioni ´ e corretta:

det(A.B

²

) = 24 det(2A.B) = 24 det(A + B) = 8 det(−A

⁻¹

.B) = − 1 3

17. Si consideri la seguente matrice quadrata di ordine 2 × 2:

A = 2 7 1 4

Stabilire quali delle seguenti matrici ` e l’inversa di A:

A

⁻¹

= 2 1 7 4

A

⁻¹

=

1 2

0 0

¹₄

A

⁻¹

= 0 0 0 0

A

⁻¹

= 4 −7

−1 2

18. Si consideri l’equazione matriciale AX = B, dove A = 2 7 1 4

e B = 1 1

. Sia V l’insieme delle soluzioni dell’equazione, stabilire quale delle seguenti affermazioni ´ e corretta:

V = ∅ V = 0 0

V = 1 1

V = −3 1

19. Si consideri la matrice A di ordine 2 × 3 dipendente dal parametro reale h:

A = h 1 1 1 h 1

. Stabilire quale delle seguenti affermazioni ´ e corretta:

rg(A) = 2 ⇐⇒ h 6= ±1 rg(A) = 1 ⇐⇒ h = 1 rg(A) = 1 ⇐⇒ h = ±1 rg(A) = 0 ⇐⇒ h = 1 20. Si consideri la matrice A di ordine 5 × 3:

A =







1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0





 .

Il rango della matrice A ` e:

rg(A) = 1 rg(A) = 2 rg(A) = 3 rg(A) = 4