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(1)

Universit` a di Pavia - Facolt` a di Ingegneria Esame di Geometria e Algebra - 1 dicembre 2010

COGNOME NOME

La prova di autovalutazione consta di 20 quesiti a risposta chiusa; la durata della prova ` e di 1 ora. La risposta a ciascun quesito va scelta esclusivamente tra quelle gi` a date nel testo, annerendo un solo circoletto. Una sola ` e la risposta corretta. Per ogni quesito, vengono assegnati:

• 2 punti alla risposta corretta,

• −1 o −2 punti alla risposta sbagliata, a seconda della gravit` a dell’errore,

• 0 punti per ogni risposta non data.

L’esito finale della prova ` e determinato dalla somma algebrica dei punteggi parziali.

1. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), sia π il piano di equazione:

x + y + z = 1. Stabilire quali tra le seguenti ` e una rappresentazione parametrica per il piano π:

 

  x = t y = −t z = 1

t ∈ R;

 

  x = t y = q z = 1 − t − q

t, q ∈ R;

 

  x = t y = q z = −t − q

t, q ∈ R;

 

 

x = 1 + t y = q z = −t + q

t, q ∈ R.

2. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), considerare i vettori u =

 1 2 0

e v =

 2 1 1

. L’ equazione del piano π per P

0

= (−1, 1, 1) parallelo a Span(u, v) ´ e:

3x +3y +z = 1 2x -y -3z +6=0 2x -y -3z = 6 2x-y = x-y-z = -3

3. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), sia π il piano di equazione x + 2y − 3z = 1 ed r la retta passante per il punto (1, 1, 1) perpendicolare al piano. Il piano che contiene r ed il punto Q = (0, 0, 3) ha equazione:

x +y +z =3 x+2y-3z = 3z = 0 3x +2y +z = 3 x +2y -3z = 3

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), si consideri il sottospazio U = Span(u), dove u =

 1 0 1

. Le equazioni del sottospazio U sono le seguenti:

n

x − z = 0

( x + z = 2 x + y = 1

( x − z = 0

y = 0

( x − z = 0 x + z = 1

5. Fissata nello spazio E

3O

la base canonica B = n ˆ ı, ˆ , ˆ k o

, si considerino i vettori u = ˆ ı + ˆ  e v = ˆ  − ˆ k. Quali tra i seguenti valori rappresenta l’angolo convesso θ formato dai vettori u e v:

θ = 2

3 π θ = 1

2 π θ = 5

6 π θ = 1

3 π

(2)

6. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ ı, ˆ , ˆ k), si considerino le rette

r ( z = 0

y = 0 s

( x = 0 z = 1 Stabilire la posizione reciproca delle rette, r e s sono:

parallele incidenti perpendicolari (complanari) sghembe

7. Si consideri il seguente sottospazio di R

4

:

U =

 

 

 u =

 x y z t

∈ R

4

| x − y = t + z = 0

 

 

 .

Stabilire quali tra i seguenti insiemi di vettori costituisce una base per U :

B

U

=

 

 

 1 1 0 0

 ,

 0 0 1

−1

 

 

B

U

=

 

 

 1 1 1

−1

 

 

B

U

=

 

 

 1 1 0 0

 ,

 0 0 1 1

 

 

B

U

=

 

 

 1 1 0 0

 ,

 0 0 1

−1

 ,

 0 0 0 0

 

 

8. Fissata in R

3

la base B =

 1 1 0

 ,

 1 0 1

 ,

 1 1 1

, stabilire quali tra i seguenti vettori soddisfa la relazione

[v]

B

=

 2 1 3

:

v =

 2 1 3

 , v =

 6 5 4

 , v =

 0 0 0

 , v =

−1 1 2

9. Si considerino i seguenti sottospazi di R

3

:

U =

 x y z

 ∈ R

3

|x + y + z = 0

 V =

 x y z

 ∈ R

3

|x − y + 2z = 0

 Stabilire quali dei seguenti insiemi costituisce l’intersezione U ∩ V :

U ∩ V = Span(

 1 0

−1

) U ∩ V =

 0 0 0

U ∩ V = Span(

 3

−1

−2

) U ∩ V =

 1 0

−1

 ,

 1 1 0

(3)

10. Dire quanti fra i seguenti vettori sono linearmente indipendenti:

 1 0 1

−1

 0 2 1 4

 1 3 1 3

 0 1

−1 0

1 2 3 4

11. Si considerino i seguenti vettori di R

3

:

u

1

=

 1 2 1

 u

2

=

 3 1 1

 .

Stabilire quale tra i seguenti vettori aggiunto ai vettori precedenti costituisce una base di R

3

:

u

3

=

 0 0 1

 u

3

=

 2 4 2

 u

3

=

 4 3 2

 nessun vettore

12. Stabilire quali tra i seguenti insiemi costituiscono un sistema di generatori di R

3

:

 1 1 0

 ,

 0 1 0

 1 1 0

 ,

 0 1 1

 ,

 2 2 0

 1 1 0

 ,

 0 1 1

 ,

 1 2 1

 1 1 0

 ,

 0 1 1

 ,

 1 2 1

 ,

 0 0 1

13. Si consideri il sottospazio U ⊂ R

4

, U = Span

 0 1 0 1

 ,

 0 1 0

−1

 . Stabilire quale tra i seguenti vettori di R

4

non appartiene ad U :

 0 3 0 1

 1 1 1 0

 0 0 0 0

 0 2 0 2

14. Si consideri il sottospazio U ⊂ R

4

, U = Span

 1 1 0 0

 ,

 1 0 0 1

. Stabilire quali tra i seguenti sottospazi ` e un

complementare di U :

V = Span(

 0 0 1 0

) V = Span(

 1 1 0 0

 ,

 0 0 1 0

) V = Span(

 2 1 0 1

 ,

 0 0 1 0

) V = Span(

 0 0 1 0

 ,

 0 0 0 1

)

(4)

15. Siano U e V due sottospazi di R

5

con dim U = 4 e dim V = 3. Stabilire quale delle seguenti affermazioni ´ e corretta:

dim(U + V ) = 7 dim(U + V ) = 5 dim(U ∩ V ) ≥ 2 dim(U ∩ V ) ≤ 2

16. Si considerino le seguenti matrici quadrate di ordine 2 × 2:

A = 3 1 6 4



B = 1 0 3 2

 . Stabilire quale delle seguenti relazioni ´ e corretta:

det(A.B

2

) = 24 det(2A.B) = 24 det(A + B) = 8 det(−A

−1

.B) = − 1 3

17. Si consideri la seguente matrice quadrata di ordine 2 × 2:

A = 2 7 1 4



Stabilire quali delle seguenti matrici ` e l’inversa di A:

A

−1

= 2 1 7 4



A

−1

=



1 2

0 0

14



A

−1

= 0 0 0 0



A

−1

=  4 −7

−1 2



18. Si consideri l’equazione matriciale AX = B, dove A = 2 7 1 4



e B = 1 1



. Sia V l’insieme delle soluzioni dell’equazione, stabilire quale delle seguenti affermazioni ´ e corretta:

V = ∅ V = 0 0



V = 1 1



V = −3 1



19. Si consideri la matrice A di ordine 2 × 3 dipendente dal parametro reale h:

A = h 1 1 1 h 1

 . Stabilire quale delle seguenti affermazioni ´ e corretta:

rg(A) = 2 ⇐⇒ h 6= ±1 rg(A) = 1 ⇐⇒ h = 1 rg(A) = 1 ⇐⇒ h = ±1 rg(A) = 0 ⇐⇒ h = 1 20. Si consideri la matrice A di ordine 5 × 3:

A =

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

 .

Il rango della matrice A ` e:

rg(A) = 1 rg(A) = 2 rg(A) = 3 rg(A) = 4

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