2 Analisi generale delle tecniche di Noise Suppression

2 Analisi generale delle tecniche

di Noise Suppression

2.1 Il problema della soppressione del rumore

Oggi è universalmente riconosciuto che le strategie di trattamento del segnale dovrebbero variare a seconda dei diversi ambienti sonori. I presupposti per una ottimale comunicazione in ambienti silenziosi sono udibilità e buona qualità del suono; quando nei canali di comunicazione interviene il rumore, sia esso di fondo o impulsivo, l’obiettivo principale diventa migliorare il rapporto segnale/rumore per consentire una migliore comprensione del parlato.

Ciò che abbiamo evidenziato finora riguardo al rumore non è incoraggiante, nel senso che evidenzia la sua presenza quasi costante in ogni circostanza nella quale ci troviamo ad operare. Tuttavia, esso rappresenta qualcosa che dobbiamo assolutamente eliminare o per lo meno ridurre. Il quadro, però, non è così negativo se pensiamo che il rumore, benché presente, spesso ha un’ampiezza limitata che viene facilmente sovrastata dal segnale audio. Per ogni tipologia di rumore nel corso degli anni è stata comunque trovata una contromisura più o meno efficace.

Figura 2.1 . Strutture temporali di segnale audio. Nella parte superiore, 5 secondi di sola voce. Più in basso è mostrato lo stesso segnale con rumori di fondo, con 0 dB di SNR. Le

pause sono “riempite” dal rumore.

I sistemi di Noise Suppression vengono definiti statici quando nessun parametro relativo alla compressione varia. Al contrario, sono detti dinamici quando l’algoritmo di riduzione si adatta continuamente al segnale d’ingresso.

Una seconda classificazione identifica col termine single – ended quei sistemi di soppressione applicati solo in un punto della catena audio (come ad esempio, i filtri). Vengono indicati, invece, col termine double – ended quei sistemi che prevedono un doppio intervento, consistente generalmente nelle due fasi di codifica e decodifica (come avviene nel sistema Dolby).

Il sistema che andremo ad illustrare e proporre nei capitoli che seguono, date la variabilità del segnale d’ingresso, la molteplice natura e le differenti caratteristiche del segnale interferente, dovrà possedere senza dubbio buone qualità dinamiche di adattamento.

Entrando più nello specifico, esso deve possedere tre requisiti fondamentali, i quali ci permetteranno una corretta soluzione del problema relativo alla cancellazione, e cioè:

• Deve poter permettere l’acquisizione dei segnali audio su cui si vuole lavorare (tramite operazioni di campionamento e quantizzazione).

• Deve poter offrire la possibilità di effettuare una misurazione qualitativa dei campioni.

• Deve offrire ampie garanzie riguardo alla caratterizzazione dei disturbi presenti.

2.2 Analisi generale delle tecniche

La caratterizzazione del miglioramento qualitativo di un segnale, in genere, viene effettuata sia tramite una sua analisi visiva, nel dominio temporale e nel dominio delle frequenze (spettro), che tramite la variazione di alcuni parametri; tra questi ultimi, ricordiamo il rapporto segnale/rumore, che, tramite l’utilizzo di moderne tecniche, può essere aumentato significativamente rispetto ai risultati ottenuti in seguito all’applicazione standard della tecnica di sottrazione spettrale.

Si noti, tuttavia, che l'incremento incondizionato di tale parametro non sempre corrisponde ad un aumento della qualità: infatti, effettuando un procedimento di denoising molto aggressivo, si otterrebbe facilmente un notevole incremento del SNR, rischiando però la degenerazione dei segnali a basso livello e vanificando il procedimento effettuato.

Esistono molti modi di classificare gli algoritmi di soppressione del rumore.

Ad esempio, possiamo distinguere tra le tipologie sviluppate per mezzo di un sistema di rivelazione multisensore o a singolo sensore.

Inoltre, possono venir prese in considerazione le proprietà spaziali sia delle sorgenti di segnale che di rumore, come nel caso di adozione di un sistema microfonico atto ad enfatizzare il suono proveniente da una particolare direzione.

Un ulteriore esempio è dato dalla cancellazione adattiva del rumore (ANC), approccio che necessita di due canali audio: il primario, in cui transitano il segnale utile ed il disturbo insieme, ed il secondario, in cui è portato solo il rumore. Il rumore nel secondario deve presentare la proprietà di correlazione col rumore nel primario.

Altre metodologie di soppressione, invece, tentano di sfruttare il meccanismo stesso coinvolto nella produzione del segnale utile o del rumore: un tipico caso è quello delle tecniche di riconoscimento vocale, in cui ciò è tipicamente realizzato attraverso un’operazione di predizione lineare del “parlato”; viceversa, nelle tecniche di riconoscimento sonoro, poiché il segnale è troppo generico per essere modellato, si agisce sul rumore.

I sistemi di soppressione del rumore possono presentarsi come moduli separati rispetto ai sistemi che hanno come ingresso il segnale vocale oppure sono integrati in questi ultimi.

Queste tipologie spesso presentano i difetti o di non proporre un sufficiente rapporto di soppressione (bassa quantità di rumore soppresso) oppure non prendono in considerazione criteri soggettivi. La performance del sistema di soppressione rumore viene a dipendere, così, fortemente dall’accuratezza e robustezza del sistema.

2.2.1 Background storico

Per quanto riguarda il concetto di denoising, siamo a conoscenza di svariati approcci, dato che la letteratura specializzata ci mette a disposizione una grande varietà di tecniche ed algoritmi dedicati alla soppressione del rumore: Lim e Oppenheim nella loro opera ne offrono un’ampia e completa elencazione e trattazione.

I software commerciali di riduzione del rumore adattano tecniche in frequenza, sviluppate negli anni ‘60 e ’70 per l’elaborazione e la trasmissione del parlato.

Nel complesso, si può affermare che essi possono essere classificati come sistemi di soppressione basati sulla teoria del filtro di Wiener e come sistemi di compensazione che sfruttano algoritmi di adattamento. Nel primo caso, per la realizzazione del sistema è utilizzato un solo ingresso contenente il segnale vocale (parte utile) + il rumore (da eliminare), mentre per l’implementazione del secondo sono richiesti uno o più canali di riferimento con sorgenti di rumore correlate e con assenza di componenti “utili”.

Volendo dare una classificazione dei metodi esistenti in base all’analisi sul segnale prelevato, li distinguiamo in:

• Metodi con stime di potenza. • Metodi con stime di Wiener. • Metodi con stime di grandezza.

• Metodi con stime di minimo errore quadratico medio.

In particolare, le componenti spettrali vengono pesate in relazione alla potenza di rumore aspettata ed alla potenza delle componenti del segnale utile.

Queste tecniche possono essere viste come un’approssimazione discreta del filtraggio di Wiener: benché necessaria, perché dettata dal carattere non-stazionario del segnale, questa approssimazione è causa comunque di distorsioni di diversa natura.

Sono state studiate diverse tecniche per mascherare queste distorsioni. La maggior parte degli algoritmi dedicati , comunque, si basa sull’analisi STSA (Short Time Spectral Amplitude). Caratteristica fondamentale di questa metodologia, che ne ha permesso l’ampio utilizzo nel corso degli ultimi anni, è senza dubbio la sua più semplice implementazione dovuta a minori difficoltà nei calcolo.

Iniziamo col descrivere i principi base della “manipolazione” dei segnali vocali, i quali operano, come è logico supporre, nel dominio delle frequenze.

2.3 La sottrazione spettrale

Il fine ultimo dell’utilizzo della tecnica consiste nel migliorare la qualità del segnale prelevato dal canale audio e nell’ottenimento di un rapporto segnale/rumore che risulti il più vantaggioso possibile.

Il metodo della sottrazione spettrale, utilizzato per la riduzione del rumore additivo da una sequenza, è basato sulla sottrazione dello spettro di potenza stimato del rumore da quello del segnale rumoroso. È stato

sviluppato per ridurre il rumore additivo da un segnale vocale (Short Time Spectral Subtraction) ed è stato in seguito esteso anche alle immagini (Short Space Spectral Subtraction): in questo caso si parla di “Short Time” perchè il filtraggio va eseguito a blocchi.

Tale tecnica rappresenta la metodologia più comune per la reiezione dei disturbi audio: nel corso degli ultimi decenni, infatti, ne sono state sviluppate differenti varianti. Il “cuore” dell’algoritmo (comune a tutte le implementazioni) resta ad ogni modo sempre rappresentato dalla stima della potenza spettrale del rumore insieme ad una determinata regola di sottrazione, che si traduce in una relazione matematica tra i valori di SNR in ciascuna porzione di banda considerata ed un fattore di peso spettrale, in modo tale che le “sottobande” che presentano bassi valori di SNR subiscano il “processing”, lasciando invece inalterate le restanti (che sono tali da presentare alti valori nel rapporto segnale/rumore).

La Figura 2.2 mostra la struttura base di un sistema che adopera questa tecnica: X(f) S(f) W(f) G(f) x(n) CALCOLO DI GUADAGNO CONVERS. NEL TEMPO FILTRAGGIO CONVERS. IN FREQUENZA STIMA DELLA ENERGIA DI RUMORE

Figura 2.2 Schema a blocchi di sistema utilizzante il principio di sottrazione spettrale.

Uno dei primi ad illustrare nel dettaglio tale metodologia fu Boll, nei suoi studi risalenti alla fine degli anni ’70 (1979, per la precisione): partendo dalle

basi delle sue teorie, trattazioni successive hanno esteso e generalizzato la tecnica, portando a più ampie conoscenze anche riguardo al filtraggio di Wiener e ai processi di stima basati sul principio di massima verosimiglianza.

2.3.1 Il processo di sottrazione [4][5]

Il segnale originale da prendere in analisi, quindi, può essere modellato e visto con l’equazione tempo - discreta:

x[n] = s[n] + w[n]

dove s[n] e n[n] rappresentano rispettivamente il segnale vocale non corrotto e il rumore additivo (segnale di disturbo).

Il fine ultimo del generico processo di soppressione è ottenere la stima di s[n] partendo dalla sola conoscenza di x[n]. Nel dominio delle frequenze lo spettro risultante è dato da:

X(f) = S(f) + W(f)

Nel caso, attraverso i risultati ricavati, si riesca a raggiungere una valida stima dello spettro del rumore W(f), allora risulterà possibile altresì ottenere una buona stima del segnale sorgente S(f) sottraendo al segnale corrotto, mediante uso di filtri, il rumore; il problema principale piuttosto risiede nel fatto che non è sempre semplice determinare una stima valida del rumore di fondo ed inoltre, spesso le componenti del disturbo deteriorano il segnale sorgente.

Poiché w[n] è un processo random, risulta necessaria la formulazione di alcune assunzioni ed approssimazioni per la risoluzione del problema. Queste ultime, comuni alla maggior parte delle tecniche in uso negli ultimi decenni, ed estese al dominio di f, sono:

• Le caratteristiche del rumore cambiano più lentamente rispetto a quelle del segnale vocale (stazionarietà del disturbo nel breve periodo);

• Il rumore risulta statisticamente incorrelato rispetto al segnale utile.

• L’apparato uditivo umano è del tutto insensibile alla fase del segnale, così che l’effetto del rumore sulla fase del segnale complessivo s[n] + w[n] possa essere ignorato.

Date queste premesse, risulta semplice dedurre come sia possibile una stima dello spettro di rumore durante periodi di assenza del parlato, allo scopo di ridurre il contenuto di rumore dei segnali campionati.

In passato, le metodologie di denoising audio hanno assunto il segnale stazionario nell’intorno di uno specifico intervallo temporale. Questa approssimazione non si discosta molto dalle reali caratteristiche del segnale vocale. Cerchiamo di comprenderne il motivo.

Le proprietà statistiche del “parlato” cambiano in dipendenza del tempo, e, nello specifico, da un fonema all’altro. All’interno di ogni fonema (con durata temporale media di circa 80 msec), però, le statistiche riguardanti il segnale restano pressoché costanti.

E’ proprio per questa ragione che il processo può essere, per così dire, “spezzettato” in più sotto - processi identici e di uguale durata temporale, tali da poter considerare stazionario il segnale agente in essi.

L’intero segnale da processare allora può venir diviso in una serie di questi piccoli intervalli detti finestre (attraverso un processo denominato

windowing); questi ultimi poi vengono convertiti nel dominio di f tramite

Trasformata Discreta di Fourier e l’algoritmo ad essi dedicato processerà ciascuno di loro separatamente.

Ribadiamo che, comunque, è un assunto che i segnali audio (sia che si tratti di segnali vocali che musicali) sono generalmente non stazionari; potranno comunque essere considerati stazionari all’interno delle sopra citate finestre temporali.

Per poter applicare l'algoritmo devono essere noti Px e Pw,

rispettivamente lo spettro di potenza del segnale originario e del rumore. Seguendo questa notazione, lo spettro Ps del segnale di interesse (non

corrotto) può essere ricavato come:

Ps = Px - Pw

ciò in conseguenza del fatto che la potenza spettrale di due segnali incorrelati è additiva.

La stima di Pw può essere ottenuta abbastanza facilmente, se si suppone

che il rumore sia un processo casuale stazionario a media nulla dato che la varianza, se non nota, può essere stimata all'interno di una zona di segnale uniforme, dove il suo valore è pressochè nullo (cioè presenta valori molto piccoli) e dunque il suo valore calcolato in tale zona è dovuta praticamente solo al rumore.

Per quanto riguarda, invece, la stima di Px ci sono diversi modi di

procedere. Si potrebbe calcolare la media dello spettro di potenza di un certo numero di campioni-prototipo, non rumorosi, aventi contenuto simile a quello del segnale preso in esame, oppure stimare Px mediante il segnale

complessivo, comprendente il disturbo.

Il fatto di utilizzare segnali diversi, anche se con caratteristiche simili a quello considerato, non deve stupire: lo spettro di potenza di un segnale, infatti, contiene solo il modulo della trasformata di Fourier, mentre la maggior parte dell'informazione è contenuta nella fase. È plausibile quindi che due segnali simili abbiano lo stesso spettro di potenza.

Come accennato in precedenza, l'algoritmo della sottrazione spettrale va applicato a blocchi, all'interno dei quali il segnale deve essere il più possibile stazionario. In generale, infatti, un segnale contiene diverse componenti, ognuna con caratteristiche spettrali differenti.

La scelta della dimensione della finestra è, come spesso accade, basata su di un compromesso. Nel caso la scelta ricada su finestre di dimensioni troppo piccole, rischiamo di non avere abbastanza dati disponibili per stimare adeguatamente la densità spettrale di potenza; d’altra parte, se esse fossero troppo grandi, rischieremmo di non soddisfare più il requisito di stazionarietà del campione prelevato, oltre ad aumentarne la complessità computazionale.

Le moderne tecniche di denoising tipicamente agiscono sul segnale ricevuto nel seguente modo [3]:

• Il segnale è prima suddiviso tramite una serie di finestre parzialmente sovrapposte di ampiezza temporale fissa.

• Ogni finestra viene processata singolarmente tramite trasformazione nel dominio discreto della frequenza; prima di agire mediante trasformata spettrale, in genere la finestra è moltiplicata da una funzione, di pre - windowing (di solito finestre di Hanning o Hamming) in modo da ridurre gli artefatti dovuti a discontinuità causate dal processo di windowing.

• Una volta nel dominio di f, vengono processati i coefficienti spettrali discreti (detti anche frequency bins): in un primo momento, tramite stima di spettro di potenza del rumore e infine utilizzando una qualche forma di sottrazione spettrale o filtraggio di Wiener per il recupero della parte utile del segnale (che minimizza l’errore quadratico medio dopo ricostruzione del segnale temporale).

• Il passo successivo consiste nel recupero delle informazioni originarie contenute nella fase del segnale. Le componenti spettrali opportunamente modificate vengono di nuovo trasformate nel dominio del tempo e moltiplicate per una funzione di post –

windowing, anche questa introdotta allo scopo di eliminare

eventuali discontinuità.

• Tutte le finestre sovrapposte sono poi sommate insieme e moltiplicate per una funzione di guadagno e compensazione che permette correzioni alle variazioni in ampiezza sul segnale introdotte dalle funzioni di pre/post windowing.

Concludiamo il presente paragrafo con una considerazione sull’utilità dell’utilizzo delle finestre parzialmente sovrapposte[3].

La loro introduzione è dovuta allo scopo di evitare discontinuità ai confini tra un frame e l’altro, con conseguente processo di ogni segmento di segnale di ampiezza temporale maggiore di ogni frame. Boll utilizzò una percentuale di sovrapposizione del 50%: ciò implica che se, ad esempio, la dimensione di un frame è di 128 campioni (16 msec), in ogni iterazione verranno processati 256 campioni (32 msec).

Poichè tutto questo implica che alcuni campioni nella fase di processo verranno processati due volte (nel caso del 50% di sovrapposizione, lo saranno tutti), i frames vengono sottoposti all’operazione di windowing. Esiste una sola condizione necessaria per una corretta ricostruzione del segnale, e cioè che tutte le finestre, una volta sommate, diano un valore unitario. Lim e Oppenheim utilizzarono la relazione seguente:

∑

(

)

m

mF n w

la quale risulta valida per ogni n e F è la lunghezza di frame e m = 0,.., M-1. Due scelte possibili di finestre possono essere, ad esempio, quella di Bartlett (triangolare) o di Hanning (sin2_{) come mostrato in Figura 2.3.}

Figura 2.3. Rappresentazione delle finestre di Bartlett ed Hanning.

La scelta di forma della finestra incide fortemente sulla rappresentazione nel dominio delle frequenze, sebbene gli stessi Lim e Oppenheim suggerirono che la stessa ha poco effetto sulla performance della tecnica STSA applicata agli algoritmi di soppressione del rumore.

2.3.2 Analisi STSA

La caratteristica alla base del metodo è la conversione della successione di piccoli segmenti temporali nel dominio della frequenza. Una volta effettuata la trasformata di Fourier, il segnale di disturbo viene rimosso tramite “aggiustamento” dei coefficienti spettrali discreti sulla base di un’analisi frame – by – frame: generalmente la via più seguita consiste nel ridurne l’ampiezza in seguito ad un’operazione di stima del rumore.

Per effettuare un’analisi STSA, la tecnica più popolare è l’algoritmo cosiddetto MMSE (Minimum Mean Square Error) , proposto e sviluppato da Ephraim e Malah nel 1984 [8].

Esso consiste nel minimizzare il valor quadratico medio dell’ampiezza spettrale stimata in piccole finestre temporali. La sua corretta applicazione permette una buona soppressione eliminando quel poco piacevole disturbo residuo che abbiamo già esaminato nei paragrafi precedenti e denominato rumore musicale (musical noise): la sua generazione, ricordiamolo, è dovuta a fluttuazioni casuali delle componenti frequenziali del rumore, le quali creano artefatti nel segnale elaborato riconducibili a toni puri.

Un secondo, ma meno diffuso, algoritmo basato su tecniche STSA è quello impiegato per EVRC (Enhanced Variable Rate Codec), che è lo standard Nord Americano CDMA per telefonia cellulare: l’algoritmo senza dubbio permette una buona qualità del segnale risultante, con risultati giudicati tra i migliori in termini di efficacia nell’operazione di cancellazione per i prodotti in commercio. Un aspetto negativo e limitante che però esso presenta e che salta subito all’occhio di un attento osservatore sono le non sempre buone performance per ampi range di SNR.

2.3.3 Artefatti della tecnica: il “musical noise” [3]

La metodologia di sottrazione spettrale è la tecnica più conosciuta e ampiamente utilizzata tra quelle di abbattimento del livello di rumore.

La maggior parte delle applicazioni che ne sfruttano le sue qualità, poiché operano sull’intero segnale audio, necessitano della stima del disturbo su tutto lo spettro: poiché ci troviamo a lavorare in condizioni certamente non ideali, il rumore presente nel campione da processare ha caratteristiche “colorate” e sicuramente non corrompe il segnale utile in

maniera uniforme nell’intero spettro (come nel caso di rumore bianco), con conseguente peggior qualità audio risultante in corrispondenza di alcune frequenze rispetto ad altre.

Abbiamo visto come la teoria riguardante l’attenuazione sia basata sull’analisi spettrale a blocchi e che l’unica assunzione fatta sul rumore è che sia sommato e statisticamente incorrelato al segnale utile.

La tecnica convenzionalmente utilizzata può presentare, a volte, l’inconveniente della presenza di uno spiacevole fattore distorsivo al termine del processo. A causa dell’inevitabile difetto di accuratezza nella stima dello spettro del rumore in ogni singola finestra, forti fluttuazioni del disturbo eventualmente presenti sui valor medi di ampiezza si ripercuoteranno sullo spettro del segnale ricavato dopo il processing (la quantità residua di rumore dopo il processo presenterà una innaturale qualità di disturbo).

Esiste infatti la possibilità che in certi intervalli sia presente qualche componente spettrale dovuta al rumore la cui potenza sarà maggiore della potenza spettrale stimata. Se, ipoteticamente, potessimo applicare il processo ad un caso ideale, come risultato finale otterremmo che il valore di ampiezza di queste componenti spettrali sarebbe mandato a zero; il problema è, invece, che il processo di scala dell’algoritmo di sottrazione le attenuerà soltanto, lasciando dei picchi di ampiezza in corrispondenza di valori di frequenza originariamente assenti nel segnale.

In seguito all’applicazione del meccanismo di attenuazione e alla natura casuale del fenomeno rumore, perciò, lo spettro di ampiezza nelle bande di frequenza che originariamente contenevano il disturbo ora consisterà in una successione di picchi spaziati in modo causale rappresentanti dei massimi: il risultato finale sarà la presenza nel canale audio di una quantità di rumore residuo composto da componenti sinusoidali con frequenze random.

La durata temporale di questi residui dipenderà dall’ampiezza assegnata alle finestre nella fase di windowing. La qualità audio in presenza di rumore musicale molto spesso risulta più sgradevole addirittura dello stesso audio corrotto di partenza. Questo artefatto è conosciuto come fenomeno di rumore musicale: il termine “musicale” si riferisce alla presenza di toni puri all’interno del segnale rumoroso.

Le figure che seguono illustrano meglio la situazione:

Figura 2.4. Spettri di ampiezza del segnale rumoroso (in verde), della componente di

rumore presente in esso (in blu), del termine post-processing residuo dovuto al rumore musicale (in nero).

Figura 2.4. Spettro di ampiezza al termine dell’operazione di sottrazione: è evidenziato il

termine residuo dovuto al musical noise

Alcune modifiche alle regole base di soppressione proposte nel corso degli anni hanno solo permesso una attenuazione del fenomeno ma non la sua completa eliminazione.

Una sua totale cancellazione è possibile ottenerla soltanto attraverso una “cruda” sovrastima della media sullo spettro di rumore. Una conseguenza indesiderata, in questo ultimo caso, è sicuramente un valore di attenuazione sullo spettro risultante molto più alto del necessario: anche ciò potrebbe portare alla presenza di distorsioni udibili nel segnale audio.

2.4 Le due filosofie di implementazione: ANC e

MMSE-STSA

Terminiamo la nostra panoramica sui sistemi di soppressione del rumore aggiungendo delle considerazioni del tutto generali riguardo le due tecniche che nei prossimi capitoli ci accingeremo ad illustrare più nel dettaglio. Si è pensato infatti, di analizzare e mettere a confronto due filosofie differenti riguardo l’elaborazione e l’attenuazione dei segnali rumorosi: descriveremo infatti, una tecnica che fa uso della cancellazione adattiva ed una seconda che sfrutta un algoritmo di tipo MMSE-STSA.

Una prima e importante considerazione da fare riguarda il dominio di lavoro delle due tecniche. Da un lato, un sistema ANC (la tecnica deriva da applicazioni militari di abbattimento del disturbo in maniera elettronica) lavora con campioni temporali, da cui ricava il segnale ripulito dal rumore dopo un’operazione di sottrazione da un segnale di errore; dall’altro, la tecnica MMSE è figlia di particolari stime su statistiche di minimo applicate nel dominio delle frequenze, e rappresenta una particolare applicazione della tecnica generale di sottrazione spettrale (come risulterà più chiaro in seguito dalla visione dello schema a blocchi che implementa tale algoritmo).

Gli algoritmi adattivi ben si prestano ad applicazioni di controllo attivo del rumore, sia in termini di prestazioni, e quindi di abbattimento del rumore e di stabilità, sia in termini di costo progettuale. Per quanto concerne le architetture del sistema di controllo, nasce l’esigenza di utilizzare due sensori microfonici, allo scopo di migliorarne l’efficacia.

Un algoritmo di soppressione di tipo MMSE, come detto, sfrutta le proprietà statistiche dello spettro dei segnali in esame, permettendo di ottenere un set di pesi che minimizzano l’errore quadratico medio tra il segnale che si desidera ricevere e una sua stima. Tali coefficienti di peso risulteranno in stretta relazione con la potenza del segnale desiderato e la matrice di covarianza contenente il contributo del singolo segnale e dei rumore.

I prossimi due Capitoli sono dedicati ad una dettagliata descrizione di queste due metodologie, allo scopo di valutare i pro ed i contro relativi a ciascuna tecnica per una loro futura implementazione all’interno di un sistema che elabori la cancellazione del rumore in tempo reale.