APPENDICE B) AL CAPITOLO III: BREVE RICHIAMO SULLE MATRICI CIRCOLANTI

APPENDICE B) AL CAPITOLO III:

BREVE RICHIAMO SULLE MATRICI CIRCOLANTI

Nella presente appendice vengono presentate sinteticamente alcune caratteristiche delle matrici circolanti. Per maggiori informazioni, si rimanda al volume “Circulant matrices” di Philip J. Davis (John Wiley & Sons).

1) Definizione e principali proprietà delle matrici circolanti

Definizione: una matrice circolante C di ordine n n× è una matrice così fatta:

1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 3 4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n n n n n c c c c c c c c c c c c C c c c c − − −             =_{ }            

( )

1

dove gli elementi c c c₁, ₂, ₃,...,c della matrice sono numeri reali o complessi. _n

Pertanto in una matrice circolante ogni riga diversa dalla prima è ottenuta dalla riga precedente traslando a destra di una posizione gli elementi della riga precedente e ponendo nella prima colonna l’elemento della riga precedente che si trova nell’ultima colonna.

Proprietà delle matrici circolanti

1) Dalla definizione di matrice circolante deriva la seguente proprietà: per definire una matrice circolante sono sufficienti gli elementi della prima riga della matrice. In conseguenza di ciò la notazione standard per indicare le matrici circolanti è la seguente:

C_{n n×} =circ c c c

(

₁, ₂, ,...,₃ c_n

)

( )

2

dove c c c₁, ₂, ₃,...,c sono gli elementi della prima riga di _n C_{n n×} .

2) In una matrice circolante tutti gli elementi, che sono posti lungo una linea parallela alla diagonale principale, sono tutti uguali tra loro. Una matrice che gode di tale proprietà è detta matrice di Toepliz, perciò le matrici circolanti sono un particolare tipo di matrici di Toepliz.

3) Una matrice circolante è simmetrica rispetto alla diagonale secondaria (diagonale che parte dall’elemento posto nella prima riga e nell’ultima colonna e arriva all’elemento posizionato nell’ultima riga e nella prima colonna).

4) Tutte le matrici circolanti dello stesso ordine commutano. Ossia se C e ₁ C sono due generiche ₂

matrici circolanti di ordine n n× (n=1, 2, 3,...,), allora:

C C_{1 2} =C C_{2 1}

( )

3

A titolo di esempio si consideri una matrice circolante C di ordine 4 4× :

1 2 3 4 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 c c c c c c c c C c c c c c c c c       =_{ }    

Si possono fare le seguenti osservazioni:

- gli elementi posti sulla diagonale principale o su una linea ad essa parallela sono uguali tra loro, quindi C è una matrice di Toepliz;

- C è simmetrica rispetto alla diagonale secondaria.

2) Matrice di scorrimento

Una particolare matrice circolante è la matrice di scorrimento Πn n× (n=1, 2, 3,...,):

Πn n× =circ

(

0,1, 0, 0,..., 0

)

( )

4

Per esempio, se n=4 allora:

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0       Π =_{ }    

Proprietà della matrice di scorrimento

1) Gli autovalori della matrice di scorrimento Π_{n n×} si ottengono risolvendo l’equazione

(

)

det Π −_{n n×}

λ

I =0 che, esplicitata, si traduce nella condizione λn =1. Quindi le radici di tale equazione, ossia gli autovalori di Π_{n n×} , sono:

1 2 2 2 3 3 4 1; ; ; ; . . i n e π

λ

λ

θ

λ θ

λ θ

= = = = =

dove i è l’unità immaginaria.

2) Una qualsiasi matrice circolante può essere ottenuta come combinazione lineare della matrice di scorrimento e delle sue potenze:

(

1, 2, ,...,3

)

1 2 3 2 ... 1

n

n n

C=circ c c c c =c I+ Π + Π +c c + Πc −

( )

5

3) La matrice di scorrimento Π_{n n×} di ordine n n× ed una qualsiasi matrice circolante C_{n n×} dello stesso ordine commutano, quindi:

C_{n n×} Π_{n n×} = Π_{n n×} C_{n n×}

( )

6 3) Diagonalizzazione di una matrice circolante

Una qualsiasi matrice circolante può essere ricondotta ad una matrice diagonale, attraverso una matrice F_{n n×} detta matrice di Fourier.

n n

F_× é una matrice quadrata di ordine n n× (n=1, 2, 3,...,), i cui elementi f_rs sono definiti dalla formula: f_rs 1 ( )( )r 1 s 1 n

ω

− − =

( )

7 dove 2 i n e π

ω

= −

( )

7.1

quindi f_rs possono essere numeri reali o complessi. Per esempio, se n=4 allora:

2 3 2 4 6 3 6 9 1 1 1 1 1 1 1 2 1 F

ω ω

ω

ω ω ω

ω ω ω

      = _{ }    

( )

8

Proprietà della matrice di Fourier:

1) La matrice di Fourier è così chiamata perché è connessa con la serie di Fourier e con la trasformata di Fourier.

2) F_{n n×} è una matrice simmetrica.

3) La sequenza 1,

ω ω ω

, 2, 3,...

ω

n−1, è periodica, quindi se per esempio n=4 allora:

2 3 4 5 6 2 7 3 8 9 10 2 11 3 1, , , , 1, , , , 1, , , , ecc....

ω ω ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

= = = = = = = =

2 3 2 3 2 4 6 2 2 3 6 9 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 F

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω ω

ω

ω

ω ω ω

ω ω

ω

            = _{ }= _{ }        

4) La matrice di Fourier Fn n× è una matrice unitaria, ossia soddisfa le tre seguenti proprietà che

sono tra loro equivalenti:

1) F_{n n×} è invertibile e F−1 =F* dove F−1 è la matrice inversa di F_{n n×} , mentre F* è la matrice complesa coniugata di F_{n n×} .a.

2) Le colonne di F_{n n×} formano una base ortonormale dello spazio dei vettori complessi di dimensione n, n

ℂ .

3) Le righe di F_{n n×} formano una base ortonormale dello spazio dei vettori complessi di dimensione n, n

ℂ .

5) Data una matrice circolante C_{n n×} =circ c c c

(

₁, ₂, ,...,₃ c_n

)

, F_{n n×} la diagonalizza, ossia:

FCF* =FCF−1= Λ

( )

10

dove 1

C− è l’inversa della matrice C , mentre Λ è una matrice diagonale.

n n

F_× è indipendente dagli elementi c c c₁, ₂, ₃,...,c_n della matrice C_{n n×} , quindi F_{n n×} diagonalizza tutte le matrici circolanti di ordine n n× . (la formula

( )

10 viene dimostrata avvalendosi delle proprietà della matrice di scorrimento Π_{n n×} e di quelle della matrice di Fourier F_{n n×} . Per prendere visione della dimostrazione, è possibile consultare il libro “Circulant matrices” di Philip J. Davis. Matrici a blocchi: tutte le caratteristiche fin qui presentate sulle matrici circolanti e sulle matrici di scorrimento e di Fourier sono valide anche per matrici circolanti a blocchi. Una matrice a blocchi di dimensione è una matrice i cui elementi non sono scalari, ma sono a loro volta delle matrici. Un esempio di matrice circolante a blocchi è il seguente:

1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 2 1 1 2 1 2 3 4 3 4 a a b b a a b b C C C C C b b a a b b a a      _{  }   = =   _{  }       ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ dove ₁ 1 2 ₂ 1 2 3 4 3 4 ; a a b b C C a a b b     =  =     . a *

C è una matrice circolante a blocchi di dimensione 2 2× (ogni riga è composta da due blocchi ed ogni colonna è anch’essa costituita da due blocchi), C₁ e C₂ sono a loro volta delle matrici e costituiscono i blocchi o elementi della matrice C .