y = f(x) 2 = f(1), 4 = f(2), 6 = f(3).

(1)

♦

^Che ^osa ^sono ^le ^funzioni

Consideriamodue insiemi

A

⁼^{Roma, ^Milano, ^T^orino, ^Napoli}

e

B

⁼ {Lombardia,Piemonte, Si ilia,Campania, Lazio}.

Nellafigura1 è rappresentata la relazione

x

^è^nella ^regione

y

on

x ∈ A

^e

y ∈ B

^.

Talerelazionesoddisfaa due ondizioni:

•

^per ^ogni^elemento^di

A

êsiste ûn êlemento^di

B

â êsso âsso
iato;

•

^tale ^elemento^di

B

^è ^uni
o.

Unarelazionedi questo tipo si hiamafunzione.

Attenzione: di endo per ogni stabiliamo he non si ha una funzione, se an he a un soloelemento

di

A

^non ^è âsso
iato ûn êlemento ^di

B

^.

A

B

Roma

Milano

Torino Napoli

Lazio

Campania

Si ilia

Lombardia

Piemonte

b b b b b

b b b b

Figura 1: Da ogni elemento dell'insiemeA parte una e una sola fre ia.

♦

Definizione

Datidue insiemi

A

^e

B

^, ^non^vuoti, ^si^hiama^funzione^di

A

ⁱⁿ

B

^una ^relazione,^di^qualunque^natura,

he fa orrisponderead ogni elemento

x ∈ A

ûno êd ûno ^soloêlemento

y ∈ B

^.

Poi hé una funzionefa orrisponderea ognielementodi

A

ûn ûni
o êlemento^di

B

^, ^essa ^viene ^an
he

hiamata orrispondenza univo a.

Sidi e he

A

^è ^l'insieme^di^partenza ^e

B

^l'insieme ^di^arrivo ^della ^funzione.

Perindi areuna funzione si usa una lettera minus ola(spesso lalettera f) nelseguente modo:

(2)

f : A

→

^B

he si legge: f è una funzione da

A

^a

B

^.

Se a

x ∈ A

^la^funzione

f

^asso
ia

y ∈ B

^(vedi ^figura^2),^di
iamo ^he

y

^è ^immagine^di

x

^mediante

f

^e ^s
riviamo:

y = f (x)

⁽¹⁾

he si legge:

y

^è ûguale â êffe ^di

x

^. ^La

x

^viene ^hiamata ^variabile indipendente e la

y

^variabile

dipendente.

L'insieme

A

^viene ^detto^dominio^della^funzione, ^mentre ^il sottoinsiemedi

B

^formato ^dalle^imma-

ginidegli elementidi

A

^è^detto ôdominio. ^L'insieme^di^partenza êîl^dominio^sono^lo^stesso însieme,

he indi heremo an he on

D

^, ^mentre ^on

C

indi heremo il odominio.

f x

y

dominio

odominio

A

B C

b b b b b b

b b

Figura 2: Dominioe odominiodi una funzione.

Esempio

Dati gliinsiemi

A = {1, 2, 3, 5, 10}

^,

B = {1, 2, 4, 8, 9, 16, 25, 50, 100}

^la ^relazione^he âd ûn êlemento

di

x

âsso
ia îl ^suo ^quadrato ^è ûna ^funzione. Înfatti âd ôgni êlemento ^di

x ∈ A

orrisponde uno ed un soloelemento

y ∈ B

^.

Esempio

Data la funzione

f

^della ^figura ^3, ^il ^suo ^dominio ^è rappresentato dall'insieme

D

⁼ ^{1, ^2, ^3}, ^il ^suo

odominioda

C

⁼ ^{2,^4, ^6}. ^Possiamo ^s
rivere ^(vedi^la ^(1)):

2 = f (1), 4 = f (2), 6 = f (3).

(3)

1

2

3

1 2

4

6

5

3

C

A = D B

f

odominio

dominio

b b

b b b b b b

b

Figura 3: Diagramma sagittale di una funzione. Da ogni elemento del dominio

D

( oin idente on l'insieme di partenza

A

⁾ ^parte ûna ê ûna ^sola ^fre

ia ^verso ûn êlemento ^del ôdominio

C

^, ^he ^è ^un

sottoinsiemedi

B

^.

Esempio

In figura4 isono degli esempi diprobabilifunzioni. Quali fra diessi è una funzione?

4

9

1

−

²

2

3

1 5

4

9

1

16

2

7 3

1

5

4

9

1

2 3

1

6

(a)

(b)

( ) A

B

A

B

A

B

b b b b b

b b b b b b b b

b b b b b b b

b b

b

Figura 4: (a) non è una funzione: un elemento di

A

^ha ^più ^di ^una ^immagine ⁱⁿ

B

^. ^(b) ^non ^è ^una

funzione: un elemento di

A

^non ^ha ^immagine ⁱⁿ

B

^. ^(
) ^è ûna ^funzione: âd ôgni êlemento ^di

A

^ne

orrisponde uno ed un solodi

B

^.

♦

^F^unzioni^numeri
he

Quando i due insiemi

A

^e

B

^sono ^numeri
i,^le ^funzioni^vengono ^dette^funzioni ^numeri
he.

Esempio. Consideriamola funzione:

f : R → R

ovvero:

y = 4x + 3.

A ogni valore di

x

^la ^funzione ^fa orrispondereuno eun solo valore di

y

^.

Per esempio,per

x = 2

^il^valore ^di

y

^è

y = 4 · 2 + 3 = 11

^. ^Possiamo ^an
he ^dire ^he ¹¹^è ^l'immagine

di2.

(4)

Il valore he assume

y

^dipende ^da ^quello ^attribuito ^a

x

^. ^Per ^questo ^motivo

y

^si ^hiama ^variabile

dipendente e

x

^variabile indipendente.

♦

Classifi azione delle funzioni

L'espressione analiti a

y = f (x)

^he ^des
rive ^una ^funzione ^può ^essere ^di^diversi ^tipi.

Se essa ontiene solooperazionidi addizione, sottrazione, moltipli azione,divisione, elevamento

apotenzao estrazione diradi e, la funzioneè algebri a.

Una funzionealgebri apuò essere:

•

^razionale ^intera ^(o polinomiale), se è espressa mediante un polinomio; in parti olare se il polinomioè diprimo grado rispetto allavariabile

x

^, ^la^funzione ^si ^di
e ^lineare;^se ^il^polinomio

in

x

^è ^di^se
ondo ^grado,^la ^funzione^è ^detta quadrati a;

•

^razionale ^fratta,^se ^è ^espressa ^mediante ^quozienti ^di^polinomi;

•

irrazionale,sela variabileindipendente ompare sotto il segno diradi e.

Se una funzionenon è algebri a, si di e tras endente.

Esempi

y = 4x − 7

^funzione^razionale ^intera ^lineare

y = x ² + 9x − 5

^funzione^razionale ^intera ^quadrati
a

y = x + 6

x ² − 1

^funzione^razionale ^fratta

y = √

x ² − 9

^funzioneirrazionale

y = sin x

^,

y = e ^x

^,

y = log x

^funzioni tras endenti

♦

^F^unzione^iniettiva

Una funzione da

A

^a

B

^si ^di
e îniettiva ^se ôgni êlemento ^di

B

^è îmmagine^di âl ^più ûn êlemento^di

A

^(vedi ^figura^5).

Attenzione.

Di endoal più intendiamo he ipossono essereelementi di

B

^he ^non ^sono^immagini^di^elementi^di

A

^, ^ma^non ^possono ^esser
i ^elementi ^di

B

^he ^sono îmmagini^di ^più ^diûn êlemento^di

A

^.

Seunafunzioneèiniettiva,adueelementidistintideldominio orrispondonodueelementidistinti

del odominio.

La funzione

y = 4x + 3

^(una ^retta) ^è ^una ^funzione^iniettiva^(vedi^figura^6).

La funzione

y = x ² − 2x + 3

^non ^èîniettiva^(vedi^figura^7). Îl ^valore ⁶^della ^funzione ^èîmmagine

didue valoridistinti della

x

^.

Esempi difunzioniiniettivesono laretta, laradi e quadrata,illogaritmo,l'esponenziale;esempi

di funzioni non iniettive sono la parabola, il seno, il oseno, la tangente, il ramo superiore di una

(5)

A

b b b b b

b b

Figura5: A ogni elementodi

B

ârrivaâl ^più ûna ^fre

ia.

1 2 3

1 2

− 1

− 2

y = 4x + 3

x y

Figura 6: La funzione (una retta) è iniettiva: a ogni valore s elto sull'asse

y

orrisponde un solo valore sull'asse

x

^.

2 4 6

2 4

− 2

y = x ² − 2x + 3

x y

Figura7: Il grafi odellafunzione

y = x ² − 2x + 3

^è^una ^parabola. ^Se^si^es
lude^l'ordinata^del^verti
e,

ogni valore

y

^, ^diverso ^da ² ^s
elto ^nel ^odominio^è ^il orrispondente didue valori sull'asse

x

^, ^quindi

lafunzione non è iniettiva.

ir onferenza.

Test delle rette orizzontali

Questotestserveper apireseunafunzioneèiniettivaomeno. Esso onsisteneltra iare dellerette

(6)

grafi oinalmenodue punti distinti,alloralafunzione nonèiniettivaper hé esisterebbero due valori

distinti della variabile indipendente aiquali èasso iato lo stesso valore della variabile dipendente.

x y

(a)

y 1 r

x 1

x 2

A

B _b _b

b b

b

y

x

(b)

y 1

x 1

y 2

x 2

y 3

b b

b b b b

b

Figura8: Lafunzioneasinistranonèiniettivainquantoesistonoinfiniteretteparalleleall'assedelle

as isse he interse ano la funzione in due punti distinti. La funzione a destra è iniettiva in quanto

qualsiasi retta parallelaall'asse delleas isse interse ail grafi o della funzionein un solopunto.

Disegniamoi diagrammisagittaliperle funzioni dellafigura 8.

Consideriamo una retta, per esempio la retta

r

^(vedi ^la ^figura ^8(a)). Êssa înterse
a îl ^grafi
o ^della

funzioneindue punti,

A

^e

B

^;^per^il^valore

y 1

ⁱ^sono ^due ^valore^di

x

^,

x 1

^e

x 2

^. ^Il^diagramma ^sagittale

di questa funzione è in figura 9(a). La funzione non è iniettiva per hé esiste un punto,

y 1

^, ^he ^è

immaginedidue elementi,

x 1

^e

x 2

^.

Consideriamo adesso la funzione di figura 8(b). Qualsiari retta prendiamo in onsiderazione essa

taglialafunzione soloinun punto;rappresentiamo tale situazione on un diagrammasagittale(vedi

figura9(b)). Questafunzione è iniettiva.

A

B

y 1

x 1

x 2

(a)

b

b b

A

B

y 1

y 2

y 3

x 1

x 2

(b)

b b b b b

Figura 9: Diagrammi sagittali delle funzioni di figura 8. A sinistra il diagramma sagittale della

funzione 8(a), a destra quellodella funzione 8(b).

(7)

♦

^F^unzione^suriettiva

Una funzione da

A

^a

B

^si ^di
e ^suriettiva ^quando ^ogni ^elemento ^di

B

^è îmmagine ^di âlmeno ûn

elementodi

A

^(vedi ^figura^10).

Di endo almenointendiamo he un elementodi

B

^può ^essere ^l'immagine^di ^più ^elementi ^di

A

^.

A B

b b

b b b

b b

Figura10: Funzione suriettiva. A ogni elemento di

B

ârriva âlmenoûna ^fre

ia.

Se il odominioè un sottoinsieme dell'insieme diarrivo lafunzione non è suriettiva.

Esempio

Consideriamo la funzione

y = −2x ² + 3

^(vedi ^figura ^11), ôvvero îl ^grafi
o ^di ûna ^parabola. ^La

funzioneèsuriettivasolosesi onsidera omeinsiemediarrivoquellodegli

y

^tali^he

y ≤ 4

^;^essa ^non

èiniettivaper hé s elto nel odominioun

y

^diverso ^da ^4,^esso ^è ^l'immagine^di^due ^soli^valori^di

x

^.

4

2

−

¹ ⁺¹

y

x

b b

Figura11: Funzione suriettiva soloserestringiamo il odominio.

Questotest serve per apireseuna funzioneèsuriettivaomeno. Esso onsisteneltra iare delle

rette parallele all'asse delle as isse (vedi figura 12), stabilendo he se almeno una di tali rette non

(8)

valore della variabile dipendente he non ha ontroimmagine.

y

y 1

x

(a)

b

y

x y 1

x 1

y 2

x 2

(b)

b

b b b

b b

Figura 12: La funzione a sinistra non è suriettiva in quanto esiste una retta parallela all'asse delle

as isse he non interse ail grafi o della funzione in nessun punto. La funzione adestra è suriettiva

in quanto qualsiasi retta parallela all'asse delle as isse interse a il grafi o della funzione in almeno

un punto.

Disegniamo idiagrammisagittaliperle funzioni della figura12.

Consideriamolafunzionedellafigura12(a). Esisteunpunto,

y 1

^,^he^non^interse
a^la^funzione. ^Esiste

un puntodel odominio he non è immaginedi nessunelementodeldominio,quindi lafunzione non

èsuriettiva. Nellafigura13(a) 'è ildiagramma sagittaledella funzione 12(a).

Consideriamo adesso la funzione di figura 12(b). Qualsiasi retta prendiamo in onsiderazione essa

taglialafunzione soloinun punto;rappresentiamo tale situazione on un diagrammasagittale(vedi

figura13(b)). Questa funzione è suriettiva.

A

B

y 3

y 2

y 1

x 3

x 2

(a)

b b b b b

A

B

y 1

y 2

x 1

x 2

(b)

b b b b

Figura 13: Diagrammi sagittali delle funzioni di figura 12. A sinistra il diagramma sagittale della

funzione 12(a), a destra quellodella funzione 12(b).

(9)

♦

^F^unzione^biiettiva^(o ^biunivo
a)

Unafunzione da

A

^a

B

^è^biiettiva^quando ^è^sia^iniettiva^siasuriettiva;in figura14 'è ildiagramma sagittaledi una funzionebiiettiva.

A B

b b

b b b

b

Figura14: Funzione biiettiva. A ogni elementodi

B

ârrivâ ûna ê ûna ^sola^fre

ia.

Una funzione biiettiva viene an he hiamata biiezione o orrispondenza biunivo a fra

A

^e

B

^. ^In

simboli:

f : A ←→ B.

In una funzione biiettiva 'è una orrispondenza uno a uno fra glielementi di

A

^e ^quelli^di

B

^.

Dato il grafi o di una funzione (vedi figura 15) è possibile apire se questa è biunivo a o meno

effettuando il osiddetto test delle rette orizzontali. Si tra iano delle rette parallele all'asse delle

as isse,stabilendo heseognirettatra iatadaunqualunquepuntodel odominiointerse ailgrafi o

esattamente inun punto, allora lafunzione è biunivo a.

y

x

Figura 15: La funzione

y = x ³

^è ^sia îniettiva ^sia ^suriettiva ^per
hé â ôgni ^valore ^s
elto ^sull'asse

y

orrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull'asse

x

^. ^La ^funzione ^è ^quindi

biiettiva.

(10)

♦

^Campo ^di^esistenza ^di^una ^funzione

L'insiemedei numeri reali

I

^da attribuirsiallavariabileindipendente

x

^, ⁱⁿ orrispondenza dei quali la variabile

y

âssume ân
h'essa ^valori ^reali ^si ^di
e âmpo ^di êsistenza ^(insieme ^di definizione o di esistenza della funzione).

Regole di arattere generale perdeterminare il ampodi esistenza perlefunzioni elementari.

1. Lefunzioni razionaliinterehanno ome ampodi esistenza l'intero ampodeinumerireali.

2. Lefunzionirazionalifrattehanno ome ampodiesistenzal'intero ampodeinumerireali,fatto

e ezione perquei valori he annullanoi denominatori ( ioèi osidettizeri deidenominatori).

3. Lefunzioniirrazionali ontenentisoloradi alidiindi edisparihanno ome ampodiesistenza

l'intero ampodeinumerireali(e ettonaturalmenteglieventualizerideidenominatorisesono

fratte);leirrazionali ontenenti radi alidiindi epari hanno ome ampodiesistenza l'insieme

deinumeri reali he rendono non negativi i radi andi diquest'ultimi (fattosalvo glieventuali

zeri deidenominatorise sono fratte).

4. Lefunzioni logaritmi he sono definite perquei valoridella variabileindipendente he rendono

positivigli argomentideilogaritmi.

5. Lefunzioni esponenziali sono definite per queivaloridella variabile indipendente he rendono

positive lebasi delle potenze.

6. Le funzioni goniometri he seno e oseno hanno ome ampo di esistenza l'intero ampo dei

numeri reali. La funzione tangente è definita per ogni valore della variabile indipendente he

rende diverso da

π

2 + kπ

îl ^suo ârgomento. ^La ^funzione ôtangente ^è ^definita ^per ôgni ^valore

della variabileindipendente he rende diverso da

kπ

^il ^suo ^argomento.

(11)

♦

^T^est ^delle ^rette^verti
ali

Dato ilgrafi o diuna urva è possibile apire se questa è una funzione omeno effettuando il osid-

dettotestdelleretteverti ali. Esso onsisteneltra iare delleretteparalleleall'assedelleordinate,

stabilendo he se almeno una di tali rette interse a il grafi o in almeno due punti distinti, allora il

grafi o non èquellodi una funzione. Ovvero, una urvaè ilgrafi o di una funzionese esolo seogni

retta verti ale taglia ilgrafi o al più una volta.

x y

Figura16: Nella urvarappresentataasinistraèpossibilenotarel'esistenza diinfiniteretteparallele

he interse ano la urva in due punti. Di onseguenza questo grafi o non rappresenta una funzione.

Nella urvaa destra ilgrafi o della urvaè interse ato una sola voltada qualsiasi rettasi prendain

onsiderazione; questo grafi o rappresenta una funzione.