Pisa, 5 Novembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = |x| da R in R `e surgettiva 2 2
Per ogni x ≥ 0 si ha che |x − 1| = x − 1 2 2
La funzione f (x) =√
x da [0, +∞[ in [0, +∞[ `e iniettiva 2 2 Se an≥ 0 per ogni n ∈ N e √n
an → 2, allora an → 2 2 2
210+ 210= 211 2 2
Se an→ 1, allora a4n→ 1 2 2
{(log n)/√
n} → +∞ 2 2
1 − cos x = o(x) per x → 0 2 2
(1 − n−1)n→ 1/e 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0+
√x + x 2√
x + x4 = . . . lim
x→0
log(1 + 2x)
x = . . . .
x→+∞lim 4x
x10 = . . . lim
x→0
x − sin x
x3 = . . . .
inf{x ∈ R : cos x ≤ 1} = . . . .
sup{x3 : x ≤ 0} = . . . .
• Sia f (x) = e2x+ x log 3. Allora
f0(0) = . . . .
Pisa, 5 Novembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = ex da R in [0, +∞[ `e iniettiva 2 2 L’equazione |x − 1| = x non ha soluzioni reali 2 2 La funzione f (x) = cos x da [0, π] in [−1, 1] `e bigettiva 2 2 Se an → 4, allora √n
an→ 1 2 2
log 5 − log 2 = log 3 2 2
Se an → π allora sin an→ 0 2 2
{(sin n)/n} → 0 2 2
x − log(1 + x) = o(x) per x → 0 2 2
√n
2n+ 4n → 6 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim
x4+ x
2x + 1 = . . . lim
x→+∞
log4x
√x = . . . .
lim
x→0+
e2x2 − 1
x2 = . . . lim
x→0
x − sin x
2x3 = . . . . inf{x ∈ R : x4 ≤ 3} = . . . .
sup{sin x : x ∈ [0, π]} = . . . .
• Sia f (x) = cos(2x) +√
4. Allora
f0(1) = . . . .
Pisa, 5 Novembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = sin x da R in R `e iniettiva 2 2
√7 ·√ 9 =√4
63 2 2
La funzione f (x) = x3 da [0, 1] in [0, 1] `e surgettiva 2 2
Se an→ 5, allora a2n+3 → 13 2 2
log2(1610) = 40 2 2
Se an> 0 per ogni n ∈ N e an+1/an→ 1/2, allora an → 0 2 2
{2n· n−4} → 0 2 2
sin x = o(x) per x → 0 2 2
√n
2n+ n → 2 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim sin x
√x = . . . lim
x→−∞
2x2− x
x2+ 1 = . . . .
x→0lim
1 − cos x
2x2 = . . . lim
x→0
x − tan x
2x3 = . . . . sup{x ∈ R : x2 ≤ 3} = . . . .
inf{x2 : x ≤ 1} = . . . .
• Sia f (x) = x4+√
2 sin x. Allora
f0(π) = . . . .
Pisa, 22 Novembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = x4 da R in R `e pari 2 2
L’equazione |x| = x + 1 ha esattamente una soluzione reale 2 2 La serie P+∞
n=1(√
n + 4)(n3+ 1)−1 converge 2 2
Se an→ π, allora cos(a2n) → −1 2 2
93· 97 = 921 2 2
La serie P+∞
n=5(−1)narctan (n/(n + 1)) converge 2 2
Se {nan} → 5 allora P an diverge 2 2
e5x= 1 + 5x + o(x) per x → 0 2 2
arcsin(sin 2) = 2 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
n→+∞lim
4n+ 1
n100 = . . . lim
x→0
sin(4x2)
|x| = . . . .
x→−∞lim xex = . . . lim
x→0+
√x + sin x
x + cos x = . . . . inf{x ∈ R : arctan x ≤ 10} = . . . .
max{cos x : x ∈ ] − 1, 1[} = . . . .
• Sia f (x) = e√x+√
2. Allora
f0(1) = . . . .
Pisa, 29 Novembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = | sin(x)| + 1 da R in R `e periodica 2 2 L’equazione ex = cos x ha almeno 3 soluzioni reali 2 2 P+∞
n=1n3(n4+ log n)−1 converge 2 2
Se a2n→ 1 allora an→ 1 2 2
log 5 · log 3 = log 8 2 2
P+∞
n=5 = (−1)n(n + log n)−1 converge 2 2
Se xn+1= 3xn per ogni n ∈ N e x2 = 4, allora x4 = 16. 2 2
ex2 = 1 + o(x) per x → 0 2 2
La funzione f (x) = x3+ x da R in R `e surgettiva 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
n→+∞lim
n4+ n
4n4+ 3 = . . . lim
x→0
1 − cos(x2)
x3 = . . . .
x→+∞lim
log100(x)
x = . . . lim
x→1
sin2(2x)
|x| = . . . .
inf{x ∈ R : x2+ x ≤ 0} = . . . .
max{arctan(x2+ 1) : x ∈ R} = . . . .
• Sia f (x) = sin(x2− 3). Allora
f0(2) = . . . .
Pisa, 6 Dicembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = x2− cos x da R in R `e iniettiva 2 2 L’equazione ex = x + 4 ha esattamente 2 soluzioni reali 2 2 La serie P+∞
n=4(n + 2002)(n3 − n)−1 converge 2 2
Se an→ 10 allora a3n → 30 2 2
p(x − 1)2 = x − 1 per ogni x ∈ R 2 2
√n
3n+ n4 → 1 2 2
La successione definita per ricorrenza da xn+1 = 2xn, x1 = 90 `e monotona. 2 2
log(1 + x2) − x = o(x) per x → 0 2 2
La funzione f (x) = x/(1 + x2) `e limitata in R. 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim
arctan(x2)
x + 1 = . . . lim
x→0+
x − sin x
x4 = . . . . Z 1
0
(x + x2) dx = . . . .
Z e4−1 0
x
1 + xdx = . . . . min{x ∈ R : ex ≤ 4} = . . . .
sup{x − x2 : x ∈ [0, 1]} = . . . .
• Sia f (x, y) = x + y2+ 2xy. Allora
fxy(1, 1) = . . . .
Pisa, 13 Dicembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = x4− 1 da R in R `e surgettiva 2 2
L’equazione ex = x non ha soluzioni reali 2 2
x = 0 `e un punto di minimo relativo per f (x) = x + x2 2 2 Se xn+1= xn+ 1 per ogni n ∈ N e x1 = 1, allora x3 = 3 2 2
2501− 2500= 2 2 2
La serie P+∞
n=1(sin n)(n3+ 1)−1 converge 2 2
La serie di potenze P+∞
n=0nxn ha raggio di convergenza 1 2 2
sin x − 2x = o(x) per x → 0 2 2
y(x) = ex `e una soluzione dell’equazione differenziale y0+ xy = 0. 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim sin x
x2 = . . . lim
x→0+
x − log(1 + x)
x2 = . . . . Z π/4
0
cos(2x) dx = . . . .
Z
[0,2]×[0,1]
xy dx dy = . . . .
inf
x ≥ 0 : x
1 + x ≥ 1 2
= . . . .
max
x −x3
3 : x ≥ 0
= . . . .
• Sia f (x, y) = x − x cos y. Allora
fyy(1, 0) = . . . .
Pisa, 20 Dicembre 2002
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = 2x3 + x da R in R `e surgettiva 2 2 La funzione f (x) = 2x3 + x da R in R `e iniettiva 2 2
Per ogni x ≥ 0 si ha sin x ≤ x 2 2
L’equazione differenziale y0 = xy `e lineare 2 2 Se an → 4 allora √n
an→ 1 2 2
√5
3 +√5
10 = √5
13 2 2
x = 0 `e un punto di minimo relativo per f (x) = x3+ 1 2 2 La serieP+∞
n=1(−1)n(2n)/(3n + 1) converge 2 2
ex− 1 = x + o(x2) per x → 0 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim
x − sin x
x + 4 = . . . lim
n→+∞
2n
nn = . . . . Z
√
π/2 0
x cos(x2) dx = . . . .
Z
[0,1]×[0,1]
x dx dy = . . . .
max{x ∈ R : arctan(x + 1) ≤ 0} = . . . .
inf{x2+ 3 : x ∈] − 2, 2[} = . . . .
• Sia f (x, y) = xey+√
3. Allora
fxy(1, 0) = . . . .
Pisa, 9 Gennaio 2003
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = x2+ x da R in R `e surgettiva 2 2
La funzione f (x) = x2+ x da R in R `e iniettiva 2 2
n42−n → 0 2 2
L’equazione differenziale y0 = 3x + y `e a variabili separabili 2 2 La successione definita per ricorrenza da xn+1 = xn/2, x0 = 1 `e monotona 2 2
√3
2 ·√6
2 = 18√
2 2 2
L’equazione ex= |x| ha almeno una soluzione reale 2 2
La serie P+∞
n=13−n converge 2 2
log(1 + x) = x + o(x) per x → 0 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim
ex− 1
2x = . . . lim
x→0
ex− 1
2x = . . . lim
x→+∞
ex− 1
2x = . . . .
sup{x ∈ R : log(2 + x) ≥ 0} = . . . .
min{e2+x : x ∈ [−1, 1[} = . . . .
• Sia f (x) =√
x + log(2). Allora
f0(2) = . . . .
Z
[0,1]×[0,2]
x dx dy = . . . .
Pisa, 6 Febbraio 2003
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = sin2x da R in R `e periodica 2 2 La funzione f (x) = x3− 1 da R in R `e surgettiva 2 2
La successione (n + sin n)/(n + 3) tende a 1 2 2
y(x) = x2 `e una soluzione dell’equazione differenziale y0 = y + 1 2 2
Se an → 4 allora a2n+3 → 4. 2 2
log 4 · log 3 = log 7 2 2
L’equazione |x + 1| = x ha almeno una soluzione reale 2 2 La serie di potenze P+∞
n=0xn ha raggio di convergenza 1 2 2
ex = 1 + x + o(x) per x → 0 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim
log(1 + 2x)
x = . . . lim
x→0
log(1 + 2x)
x = . . . lim
n→+∞
√n
n + 3 = . . . .
sup{cos x : x ∈ [−3, 3]} = . . . .
min{x ∈ R : x4 ≤ 5} = . . . .
• Sia f (x, y) = 2yex+ sin x. Allora
fxy(1, 1) = . . . .
Z 2 0
cos(3x) dx = . . . .
Pisa, 4 giugno 2003
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = sin x da [0, 2π] in R `e iniettiva 2 2 x = 0 `e un punto di minimo relativo per f (x) = x2+ 1 2 2 (log n)/√
n → +∞ 2 2
arcsin(1/2) = π/3 2 2
Se xn+1 = 2x2n+ 1 per ogni n ∈ N e x0 = 0, allora x2 = 3. 2 2
p(x + 3)2 = x + 3 per ogni x ∈ R 2 2
L’equazione ex = |x| ha almeno una soluzione reale 2 2 P+∞
n=1(n + 1)(n4+ n)−1 converge 2 2
sin x2 = x2+ o(x2) per x → 0 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→+∞lim
arctan x
2x = . . . lim
x→0
arctan x
2x = . . . lim
x→1
arctan x
2x = . . . .
inf{x ∈ R : x2+ 2 ≤ 7} = . . . .
max{8 − x4 : x ∈ [−2, 2[} = . . . .
• Sia f (x, y) = x2y + x + e5. Allora
fxx(0, 2) = . . . .
Z 2 0
e2xdx = . . . .
Pisa, 24 giugno 2003
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
en/n → +∞ 2 2
|x − 1| = x − 1 per ogni x ≥ 0 2 2
Se an ≥ 0 per ogni n ∈ N e an → 5 allora √n
an→ 5. 2 2
La funzione f (x) = x + ex da R in R `e strettamente crescente 2 2 L’equazione x + ex = 2 ha almeno una soluzione reale 2 2
La funzione arctan x da R in R `e surgettiva 2 2
La soluzione generale di y0 = 2y `e y(x) = ce2x 2 2
cos x − 1 = o(x) per x → 0 2 2
La serieP+∞
n=13n converge 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0+
x2− 3√ x x2 +√
x = . . . lim
x→1
x2− 3√ x x2+√
x = . . . lim
x→+∞
x2− 3√ x x2+√
x = . . . .
sup{x ∈ R : 3 sin x ≤ 0} = . . . .
max{3 sin x : x ∈ R} = . . . .
• Sia f (x) = sin(3x) +√4
5. Allora f0(1) = . . . .
Z
[0,3]×[0,1]
(x + y) dx dy = . . . .
Pisa, 17 luglio 2003
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = sin(3x) da R in R `e periodica 2 2
log(5)/ log(3) = log(2) 2 2
Se an > 0 per ogni n ∈ N e an+1/an → 5 allora P an converge 2 2 L’equazione arctan x = 2 − x ha esattamente una soluzione reale 2 2 La funzione x + arctan x da R in R `e surgettiva 2 2 La soluzione di y0 = xy, y(0) = 1 `e y(x) = ex 2 2
√n
2n+ 10 → 2 2 2
x = 0 `e un punto di massimo relativo per f (x) = cos(2x) 2 2
arctan(x) = o(x) per x → 0 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim
sin(3x)
x = . . . lim
x→0
sin(3x)
x = . . . lim
x→π
sin(3x)
x = . . . .
inf{x ∈ R : ex ≥ 3} = . . . .
min{|x − 3| + 4 : x ∈] − 1, 4[} = . . . .
• Sia f (x, y) = exy +√
3x3. Allora
fyy(3, 0) = . . . .
Z 1 0
1
1 + xdx = . . . .
Pisa, 16 Settembre 2003
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
La funzione f (x) = x4/(1 + x2) da R in R `e limitata 2 2 L’equazione |x − 4| = x non ha soluzioni reali 2 2
La funzione x4+ 1 da R in R `e iniettiva 2 2
210· 211 = 2110 2 2
Se an → 4 allora a10n+2→ 4 2 2
√n
n! → +∞ 2 2
L’equazione differenziale y0 = x(y + 1) `e a variabili separabili 2 2 x = 0 `e un punto di minimo relativo per f (x) = x5 2 2
ex− 1 = x + o(x) per x → 0 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0+
2 + log x
x2 = . . . lim
x→1
2 + log x
x2 = . . . lim
x+∞
2 + log x
x2 = . . . .
sup{x ∈ R : x2− 2x ≤ 0} = . . . .
inf{x2− 2x : x ∈ [2, +∞[} = . . . .
• Sia f (x) = 2√
x + cos 4. Allora f0(1) = . . . .
Z
[0,1]×[0,2]
x2y dx dy = . . . .
