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2) Dire se la funzione f (x

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Academic year: 2021

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(1)

NOME: . . . MATRICOLA: . . . .

Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Test del 15.11.2007

1) Calcolare il limite

n→∞lim

 n2+ 1 n2− 1

2 n2+3

.

2) Dire se la funzione

f (x) =



 e

1

x2 per x > 0 1 per x = 0 esin x per x < 0

`

e continua in 0 .

(2)

3) Dire se la funzione f : (0 , +π2) → R definita tramite la formula f (x) = log x − log (sin x)

`

e monotona e verificare se `e prolungabile con continuit`a in 0 .

4) Calcolare il limite

x→0lim e

log (1+x)2

− 1 (sin x) (tg x) .

5) Verificare se esiste un x ∈ (2, 3) tale che

√x = x − 1 .

(3)

Soluzioni:

1) : Usando il limite notevole lim

t→0 1 + t)1/t = e , si deduce

n→∞lim

 n2+ 1 n2− 1

2 n2+3

= lim

n→∞

"



1 + 2

n2− 1

n

2−1

2 #n22−1(2 n2+3)

=h

limt→0 1 + t)1/tilim

n→∞

4 n2+6 n2−1

= e4 . 2) : Poich´e

x→0+lim f (x) = lim

x→0+e

1

x2 = e−∞= 0 ,

x→0−lim f (x) = lim

x→0−esin x= e0 = 1 ,

x→0−lim f (x) esiste ed `e uguale a 1 = f (0) , mentre lim

x→0+f (x) esiste ed `e uguale a 0 . Risulta che la funzione f non ha limite in 0 , in particolare non `e continua in 0 . Notiamo per`o che f `e continua a sinistra.

3) : Osserviamo che, poich´e

f (x) = log x sin x,

f `e la composizione delle funzioni strettamente crescenti (0 , +π2) 3 x 7−→ x

sin x ∈ (0, +∞) e

(0 , +∞) 3 y 7−→ log y ∈ R . Di conseguenza f `e strettamente crescente.

Ora verifichiamo che f ha limite in 0 . Infatti, usando il limite notevole

x→0lim x sin x = 1

(4)

e tenendo conto della continuit`a di log in 1 , si ottiene

x→0lim f (x) = lim

x→0 log x

sin x = log



x→0lim x sin x



= log 1 = 0 . Risulta che, ponendo

f (x) =e

( f (x) per x ∈ (0 , +π2)

0 per x = 0 ,

si ottiene una funzione continua ef : [0 , +π2) −→ R che estende f , cio`e una estensione continua di f su [0 , +π2) .

4) : Usando i limiti notevoli

u→0lim

eu − 1

u = 1 , lim

x→0

log (1 + x)

x = 1 , lim

x→0

x

sin x = 1 , si deduce

x→0lim e

log (1+x)2

− 1 (sin x) (tg x)

= lim

x→0

e

log (1+x)2

− 1

 log (1 + x)2

 log (1 + x) x

2

x sin x

x tg x

= lim

x→0

e

log (1+x)2

− 1

 log (1 + x)2

 log (1 + x) x

2 x sin x

2

cos x

= lim

u→0

eu − 1

u ·



x→0lim

log (1 + x) x

2

·



x→0lim x sin x

2

· cos 0

= 1 · 12· 12 · 1 = 1 . 5) : La funzione continua

f : (0, +∞) 3 x 7−→√

x − (x − 1) prende

(5)

in x = 2 il valore f (2) =√

2 − 1 > 0 , in x = 3 il valore f (3) =√

3 − 2 < 0 .

Perci`o il teorema degli zeri implica che f ammette un zero nell’intervallo (2, 3) .

Rimarco. `E possibile risolvere l’equazione √

x = x − 1 esplicitamente.

Infatti,

√x = x − 1 =⇒ x = (x − 1)2 = x2− 2 x + 1

=⇒ x2− 3 x + 1 = 0

=⇒ x1,2 = 3 ±√ 9 − 4

2 = 3 ±√

5

2 .

Poi si verifica che x = 3 −√ 5

2 non `e soluzione dell’equazione iniziale

√x = x − 1 , perch´e allora

x − 1 = 1 −√ 5

2 < 0 non pu`o essere uguale a √ x > 0 ,

mentre x = 3 +√ 5

2 `e veramente soluzione.

Ora si vede subito che 3 +√

5

2 > 3 +√ 4

2 = 5

2 > 2 e 3 +√ 5

2 < 3 +√ 9 2 = 3 , cio`e 3 +√

5

2 ∈ (2, 3) .

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