L'ISTOGRAMMA
Maria Simona Andreano
Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è
Indice
1. L’AMPIEZZA E LA DENSITÀ DI CLASSE --- 3 2. RAPPRESENTAZIONE TRAMITE ISTOGRAMMA--- 5 3. ESERCIZI --- 8
1. L’
AMPIEZZA E LA DENSITÀ DI CLASSEI caratteri quantitativi continui sono rappresentati tramite tabelle con modalità espresse in classi. I grafici usati per i caratteri qualitativi o quantitativi discreti non possono essere usati automaticamente sui dati continui. La presenza delle classi richiede alcune accortezze.
Innanzi tutto, al fine della costruzione del grafico, è fondamentale tener conto dell'ampiezza della classe (ai):
Le distribuzioni di caratteri continui possono avere classi con ampiezza differente. L’ampiezza della classe può essere definita a priori dalla rilevazione oppure può essere scelta arbiatrariamente dal ricercatore, in base ai dati raccolti.
Di fatto abbiamo che se un intervallo ha ampiezza maggiore, sarà più facile contare osservazioni che cadono in quell’intervallo e quindi osservare una frequenza maggiore di un intervallo meno ampio.
Ossia le frequenze riportate nella tabella sono condizionate dalla diversa ampiezza degli intervalli.
Nelle rappresentazioni grafiche abbiamo però l’esigenza di avere assicurata una proporzionalità tra le aree e le frequenze.
Pertanto nel caso in oggetto sarà necessario effettuare un’operazione di normalizzazione delle frequenze.
In particolare, per depurare le frequenze dalla diversa ampiezza delle classi si devono calcolare le densità di frequenza (li)
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Il significato della densità di frequenza è quello di dire quanto le mie osservazioni sono “addensate” all’interno della classe. E’ come si le osservazioni venissero distribuite equamente all’interno della classe.
Per esempio, supponiamo di avere un intervallo 5-8 e al suo interno osserviamo 6 unità (frequenza assoluta ni=6). Noi non sappiamo queste 3 unità dove si posizionano all’interno dell’intervallo.
Quando calcoliamo la densità: li = 6/3 = 2, distribuiamo le 6 unità all’interno della classe e posizioniamo tali unità in modo tale che ogni sotto-intervallo di ampiezza 1 abbia 2 unità.
La densità di frequenza ci dice pertanto come si distribuiscono le frequenze all'interno dell'intervallo. L'ipotesi è quella di equidistribuzione.
Consideriamo la seguente tabella e calcoliamo le densità.
Le densità di frequenza possono calcolarsi per qualsiasi tipologia di frequenza (semplice, relativa o percentuale).
2. R
APPRESENTAZIONE TRAMITE ISTOGRAMMANella costruzione dell'istogramma è fondamentale che le aree dei rettangoli rispettino le proporzioni tra le frequenze osservate.
Se un intervallo ha una frequenza doppia rispetto ad un altro, anche la rispettiva area deve essere doppia.
Se noi andassimo a disegnare un grafico a rettangoli, prendendo come base la classe e come altezza la frequenza, tale proporzionalità non sarebbe rispettata.
Al fine di rispettare tali proporzionalità è necessario calcolare le densità di frequenze e costruire l'istogramma rispetto a queste.
L'istogramma è simile al diagramma a rettangoli visto per caratteri qualitativi, solo che la base corrisponde all'intervallo osservato.
Ogni rettangolo associato al rispettivo intervallo, deve avere l'area uguale alla frequenza osservata.
L'area del rettangolo è data da base x altezza, dove la base è l'ampiezza dell'intervallo.
Vadiamo quindi che considerando nel rettangolo l’altezza pari alla densità, la corrispondenza tra area e frequenza è rispettata.
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Se invece riportiamo sull’asse delle ordinate le frequenze direttamente osservate in corrispondenza delle classi, la rappresentazione sarebbe errata, come messo in evidenza dai seguenti due istogrammi, costruiti in corrispondenza dei dati riportati nella precedente tabella.
Il primo istogramma considera sulle ordinate le frequenze. Se prendiamo i primi due intervalli, abbiamo che il secondo presenta il doppio delle osservazioni del primo. Se andiamo a fare però il confronto in termini di rettangoli, il primo ha un’area pari a 30 (=10 3) e il secondo pari a 48 (=8 6).
Quando invece disegnamo l’istogramma in riferimento alle densità di frequenze, il primo rettangolo ha un’area pari a 3 (=10 0.3) e il secondo pari a 6 (=8 0.75). In questo secondo caso è rispettata la corrispondenza tra frequenze.
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3. E
SERCIZI1. Calcolare per la seguente tabella le ampiezze e le densità di frequenza:
Xi ni
0 - 10 50
10 - 50 80
50 - 100 200
100-500 180
2. Disegnare per tale tabella il rispettivo istogramma e controllare che effettivamente l’area della classe 50-100 sia 4 volte quella della classe 0-10.
3. Si può disegnare un istogramma per caratteri quantitativo discreti?
4. Possiamo disegnare per la tabella riportata sopra il grafico a torta?
