ᎏ ᎏ CORSO DI ORDINAMENTO • 2008
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Testo completo
(2) ■. QUESTIONARIO. 1. Si consideri la seguente proposizione: “Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.. 2. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si. 10. 兹5苶 1 4. provi che sen . 3. Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo?. 4. Si esponga la regola del marchese de L’Hospital (1661-1704) e la si applichi per dimostrare che è:. x 2008 lim 0. xA 2x 5. Si determini un polinomio P(x) di terzo grado tale che:. P(0) P v(0) 0,. P(1) 0 e. 冕 P(x)dx 112 . 1. 0. 冢 n1 冣 冢 n2 冣 冢 n3 冣. 6. Se , , , con n 3, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n ?. 7. Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:. x 3 3x 2 k 0. 8. Sia f la funzione definita da f(x) x x . Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto x .. 9. Sia f(x) ; esiste lim f(x)? Si giustifichi la risposta.. 10. x21 °x 1°. xA1. Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” (figura 3) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell’esempio è 10%. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1,2 km, supera un dislivello di 85 m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale?. 10%. 䊱 Figura 3.. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili. Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.. 2. © Zanichelli Editore, 2009.
(3) SOLUZIONE DELLA PROVA D’ESAME. CORSO DI ORDINAMENTO • 2008 ■. PROBLEMA 1. a) Considerando il triangolo ABC, per costruzione si a osserva che ABˆC , AC , QB PB x, 6 2. C Q R. AR AP a x (figura 4). La costruzione è realizzabile fino al caso limite di coincidenza tra il punto Q e il punto C, e in tal. 兹苶 3 caso x BC a cos a, e al caso limite 6 2. S. / –– 3 A. P. x. / –– 6. B. di coincidenza tra il punto R e il punto C, cioè per. a 2. x . I limiti geometrici per la x sono dunque:. 䊱 Figura 4.. a 兹苶 3 x a. 2 2 b) L’area S del quadrilatero mistilineo PQCR (figura 4) si esprime come differenza tra l’area del triangolo ABC e la somma delle aree dei due settori circolari QBˆP e PAˆR, di raggi rispettivamente x e a x. La funzione area S S(x) vale: S Area(ABC ) [Area(QBˆP ) Area(PAˆR )] A. 12 a 兹苶 3 Per determinare i valori di massimo e minimo di S(x) nell’intervallo x a, calcoliamo la 2 2 1 2. 冢. a 2. 兹苶 3 2. 冣 冤. 6. 6. x2 2. 兹苶 3 8. 冥. A S(x) a (a x)2 a 2 [x 2 2(a x)2].. derivata prima e ne studiamo il segno:. 6. 6. S v(x) [x 2(a x)] (3x 2a). Lo studio del segno della derivata indica che:. 2 3. a 2. 兹苶 3 2. 2 3. S v(x)
(4) 0 per x a e S v(x) 0 per a x a.. 2 3 3 2 兹苶 Smax S a a 2. 8 18 3. Quindi il valore x a è un punto di massimo; in tal caso l’area S è massima e vale:. 冢 冣 冢. 冣. Per determinare il valore minimo di S(x), dobbiamo valutare tale funzione nei punti estremi dell’intervallo di variabilità di x:. 冢 a2 冣 冢 兹8苶3. 16. 冣. S a 2 ⯝ 0,02 a 2,. 冢 兹2苶3 冣. 兹苶 3 8. 6. 冢 187. 冣. 冤 兹8苶3. 6. 冢 187. 冣冥. 3 a 2 兹苶 3 a 2 ⯝ 0,01 a 2. S a a 2 兹苶. 3. © Zanichelli Editore, 2009.
(5) 冢 兹2苶 冣 冢 a2 冣. 3 兹苶 2. 3. Poiché S a S , l’area minima si ottiene per x a e il corrispondente valore vale:. 冢 兹2苶 冣 冤 兹8苶 3. 6. 3. 冢 187. 冣冥. 3 a 2. Smin S a 兹苶 C. c) Consideriamo il rettangolo DEFG come in figura 5 e assumiamo come incognita y l’altezza DG. Risulta AB CH AC BC, da cui si ricava CH:. AC BC AB. K. G. F y. 兹苶 3 4. CH a,. A. mentre. D H. E. B. 䊱 Figura 5.. 3 兹苶 CK CH DG a y. 4. Consideriamo ora i triangoli ABC e GFC; essi sono simili per il Teorema di Talete e, in particolare, vale la proporzione tra basi e altezze: AB : FG CH : CK. Ricaviamo FG e sostituiamo le espressioni degli altri segmenti:. 3 兹苶 a a y AB CK 4兹苶 3 4 FG A FG a y. CH 3 3 兹苶 a 4. 冢. 冣. La funzione R(y), area del rettangolo inscritto nel triangolo ABC, risulta:. 4兹苶 3 3. 冢. 冣. 4兹苶 3 3. R(y) a y y ay y 2.. 兹苶 3 4. L’intervallo di variabilità di y è 0 y a; nei casi in cui y uguaglia uno dei due estremi, il rettangolo DEFG degenera in un segmento. Osserviamo che R(y) è una funzione parabolica con concavità rivolta verso il basso e assume quindi il valore massimo nel suo vertice di ascissa:. 兹苶 3 8. yV a. In corrispondenza di tale valore l’area R è massima e vale:. 冢 兹8苶3 冣. 兹苶 3 16. Rmax R a a 2.. d) Il solido W si compone di due piramidi aventi in co-. C'. mune la base quadrata CHH vC v come in figura 6. Una piramide ha altezza AH, mentre l’altra ha altezza BH. Ricordando la formula del volume della piramide, il volume del solido W risulta uguale a:. H' C. 1 1 1 苶 CH 苶2 A 苶H 苶 苶 CH 苶2 苶 H苶 B C 苶H 苶2 A 苶B 苶 3 3 3 1 兹苶 3 2 a3 a a . 3 4 16. 冢. 䊲 Figura 6.. 冣. A. 4. H. B. © Zanichelli Editore, 2009.
(6) ■. PROBLEMA 2. a) Indicate con E e D le intersezioni delle semicirconferenze corrispondenti ai due semicerchi, congiungiamo i punti E con D e C con C v. Consideriamo i lati del triangolo CDC v i cui vertici sono i centri C e C v dei due semicerchi e 1 e uno dei due punti di C' intersezione tra di essi (figura 7). Risulta: K 苶D C 苶 1 perché D appartiene a , E D 苶 D 1, perché D appartiene a 1, C 苶v苶 2/ –– 3 苶 C苶苶v 1, per costruzione. C苶 K1. 2 3. Il triangolo CDC v è pertanto equilatero e l’angolo ECˆD misura . A. B. C. 䊱 Figura 7. L’area dell’insieme piano intersezione dei due semicerchi risulta uguale al doppio della differenza tra l’area del settore circolare ECˆD e l’area del triangolo ECD:. 冢 3. 兹苶 3 4. 冣. 2 3. 兹苶 3 2. Area 2 .. b) Consideriamo il semicerchio e assumiamo come incognita l’angolo ECˆF (figura 8).. G. F K. Le limitazioni affinché il rettangolo non sia degenere sono:. 2. 0 . _. A. Dalla trigonometria risulta:. 苶 F苶 C苶 F sen A 苶 E苶 F sen , E苶 苶 E 2 苶 C苶 E 2 苶 C苶 F cos A 苶 D苶 E 2 cos . D苶. D. B. E. C. 䊱 Figura 8.. L’area del rettangolo GDEF vale: F 苶 D苶 E A R() 2 sen cos sen 2. R() 苶 E苶 Studiamo la derivata prima e il suo segno:. 4. 4. 2. R v()
(7) 0 per 0 , R v() 0 per .. 4. La funzione area R() assume valore massimo per . In tal caso l’area massima del rettangolo vale 1 e le corrispondenti dimensioni sono:. 兹苶 2 苶 E 兹苶 2 e 苶 E苶 F . D苶 2. 䊲 Figura 9.. P. c) Se P è un punto della semicirconferenza di , H la sua proiezione ortogonale su AB e PCˆB x, si osservano dalla figura 9 due possibili configurazioni a seconda della variabilità dell’angolo x. Nel primo caso l’angolo x è acuto o. 冢0 x 2冣, 冢2 x 冣.. retto. mentre nel secondo caso è ottuso. S2. S1 A S. a. 0 < x ) –– 2. x C. H. B. P. 2. Caso a: 0 x Le misure dei lati dei triangoli PCH e APH, utili per determinare le aree, sono: PH sen x, CH cos x, AH 1 cos x.. 5. S1 A. S2. H S < x < S. b. –– 2. x C. B. © Zanichelli Editore, 2009.
(8) Le funzioni area sono rispettivamente:. 1 2. 1 2. S1(x) sen x (1 cos x), S2(x) senx cosx. La funzione rapporto f (x) risulta:. S1(x) S2(x). 1 cos x cos x. f (x) f1(x) .. 2. Caso b: x Le misure dei lati dei triangoli PCH e APH, utili per determinare le aree, sono: PH sen( x) sen x, CH cos( x) cos x, AH 1 cos x. Quindi le funzioni area sono rispettivamente:. 1 2. S1(x) sen x (1 cos x),. 1 2. 1 2. S2(x) sen x ( cosx) senx cosx.. La funzione rapporto f (x) risulta:. 1 cos x cos x. S1(x) S2(x). f (x) f2(x) .. d) Prescindendo dai limiti geometrici del problema risulta f1(x) f2(x), ovvero le due funzioni sono simmetriche rispetto all’asse delle ascisse. Pertanto si conviene di studiare la funzione. 1 cos x cos x. 1 cos x. f1(x) 1. Tale funzione è periodica, di periodo 2: ci limitiamo a studiarla nell’intervallo [0; 2] nel quale è. 2. 3 2. definita per x , .. . 3. La curva interseca gli assi cartesiani in (0; 2) e (; 0); è positiva per 0 x , x 2. 2 2 I limiti nei punti di discontinuità valgono lim. xA 2. 冢1 co1sx 冣 , lim 冢1 co1sx 冣 , 3 xA 2. 2. 3 2. pertanto la funzione ha asintoti verticali di equazioni x , x . La derivata prima ha espressione e segno:. sen x cos x. f v1(x) , 2 y. f v1(x) 0 per 0 x , f v1(x) 0 per x 2. Essa si annulla per x 0, x , x 2. Pertanto la funzione ha un massimo relativo in (; 0) e minimi relativi in (0; 2) e (2; 2). Studiamo la concavità di f1(x), tramite il segno di f w che ha espressione:. 1 sen2 x f w1(x) , cos3 x. 2 1 /O – –– 2. / / –– 2. 3 / 2/ –– 2. x. 2. f w1(x) 0 A cos x 0 per 0 x . 3 2. x 2,. 䊱 Figura 10.. 6. © Zanichelli Editore, 2009.
(9) 2. 3 2. f w1(x) 0 per x .. 2. 3 2. La funzione ha concavità verso l’alto per 0 x e per x 2, verso il basso per. 3 x . 2 2. Rappresentiamo in figura 10 il grafico di f1(x), tenendo conto della periodicità di 2.. ■ 1. 2. QUESTIONARIO. Consideriamo il postulato detto Principio di Cavalieri: “due solidi, che possono essere disposti in modo che ogni piano, parallelo a un altro fissato, li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti, ovvero hanno lo stesso volume”. Tale principio fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per l’equiestensione dei solidi. Infatti consideriamo i solidi S e Sv, come in figura 11. Essi sono equivalenti perché equiscomponibili, ma non è possibile applicare il Principio di Cavalieri. Pertanto la proposizione “Se due solidi hanno uguale volume allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area” è falsa.. S. S'. 䊱 Figura 11.. 䊲 Figura 12.. ᐉ r ᐉ : r (r ᐉ) : ᐉ A 1. r ᐉ ᐉ Posto a 0, vale: r. B r. K. O. F. A. / ––– 10 L. G. 1 兹5苶 2. 1 a. C. E. r : ᐉ ᐉ : (r ᐉ). Applichiamo la proprietà dell’invertire delle proporzioni:. ᐉ. D. Consideriamo il decagono regolare di lato ᐉ, inscritto in un cerchio di raggio r e centro O (figura 12). Poiché per ipotesi il lato ᐉ è sezione aurea del raggio r, risulta:. a 1 A a 2 a 1 0 A a . H 1 兹5苶 accettabile 2 1 兹5苶 non accettabile 2. I. Consideriamo il triangolo isoscele ABO e conduciamo l’altezza OK che è anche mediana e bisettrice.. . . Poiché AOˆB , risulta AOˆK . Applichiamo il primo teorema dei triangoli rettangoli della tri5 10 gonometria:. ᐉ 苶 A苶 K 2 a 兹5苶 1 ᐉ sen . 2 10 苶 A苶 O r 2r 4 3. Nella figura 13 si considera una casseruola di forma cilindrica con base di raggio x e altezza h. La superficie S (quella laterale più il fondo) ha espressione: S x 2 2x h.. h x 䊱 Figura 13.. 7. © Zanichelli Editore, 2009.
(10) Considerata la superficie S costante, ricaviamo h in funzione di x:. S 2x. x 2. h . Calcoliamo il volume V della casseruola:. 冢 2x S. x 2. 冣. 2. S 2. V x 2h x 2 x x 3.. 2. S 2. Consideriamo la funzione V x x 3, ricaviamo la sua derivata prima V v e studiamone il segno, tenendo conto del limite geometrico x 0:. 3 2 S 3 V v 0 A x 2 0 A 2 2 S 2. V v x 2,. x 冪 A 0 x 冪 , soluzione accettabile. 冪莦3S莦 莦3S莦 莦3S莦 . 䊲 Figura 14.. Nella figura 14 è riportato il quadro del segno della derivata prima.. e il valore è: 冪莦3S莦 S S S S 1 1 V 冪 冪 冢 冣 S 冪 莦3S莦 2 莦3莦 2 3 莦3莦 2 6 S S 冪 . 莦 3 3莦. Il volume V ha un massimo per x max. 4. V'(x). + O. V(x). S ––– 3S. . max. Enunciamo la regola di de L’Hospital. Se due funzioni f (x) e g(x), definite in un intorno di , sono derivabili in tale intorno, con g v(x) 0, se le due funzioni, per x A , tendono entrambe a 0 o a. f v(x) g v(x). , e se esiste il limite del rapporto delle derivate delle funzioni date, , allora esiste anche il li-. f (x) g(x). mite del rapporto delle funzioni , e vale:. f (x) g(x). f v(x) g v(x). lim lim .. xA. xA. Ponendo f (x) x 2008 e g(x) 2x, le funzioni soddisfano la regola sopra enunciata. Inoltre, ricordando che D[x n] nx n1, per n
(11) 1, e D[2x] 2x ln 2, applichiamo 2008 volte il teorema di de L’Hospital:. x 2008 2. 2008 2007 … 2 1 (ln 2) 2. lim lim 0. x 2008 x. xA. 5. xA. Il polinomio P(x) è della forma: P(x) ax 3 bx 2 cx d, con a, b, c, d 僆 R. Calcoliamo i coefficienti a, b, c, d in base alle condizioni imposte dal problema: P(0) d e P(0) 0 A d 0; P(1) a b c e P(1) 0 A a b c 0; P v(x) 3ax 2 2bx c A P v(0) c e P v(0) 0 A c 0. Risulta pertanto b a e il polinomio è della forma: P(x) ax 3 ax 2.. 冕 P(x)dx 112 , ed essendo 1. Per ipotesi vale. 0. 冕 P(x)dx 冕 (ax ax )dx 冤a4 x a3 x 冥 a4 a3 1a2 , 1. 1. 1. 3. 0. 0. 2. 4. 3. 0. 8. © Zanichelli Editore, 2009.
(12) si ricava:. 1 12. a 12. A a 1 A b 1. Il polinomio cercato è pertanto: P(x) x 3 x 2. 6. Una successione an è una progressione aritmetica quando la differenza fra ogni termine e il suo precedente è uguale a una costante d, detta ragione: an an1 d.. 冢 n1 冣 冢 n2 冣 冢 n3 冣 冢n3冣 冢n2冣 d.. Considerando i tre termini , , , con n 3, risulta:. 冢n2冣 冢n1冣 d. e. Uguagliando i primi membri si ottiene la seguente equazione:. 冢n2冣 冢n1冣 冢n3冣 冢n2冣. 冢 n2 冣 冢 n1 冣 冢 n3 冣. A 2 0.. Sostituendo nell’equazione ottenuta le corrispondenti espressioni dei coefficenti binomiali ricaviamo:. n(n 1) 2. n(n 1)(n 2) 3 2. 2 n 0. Dividiamo per n 3 e riduciamo allo stesso denominatore semplificando: 6n 6 6 (n 1)(n 2) 0 A 6n 12 (n 2 3n 2) 0 A n 2 9n 14 0. Risolviamo l’equazione: 7 accettabile. 95 2. n 2 non accettabile. Pertanto il valore di n cercato è n 7. 7. Data l’equazione x 3 3x 2 k 0, la scriviamo come x 3 3x 2 k. Risolverla equivale a risolvere il sistema seguente:. 冦 yy k x 3x 3. 2. ovvero a cercare i punti di intersezione tra la curva di equazione y f (x) x 3 3x 2 e il fascio di rette improprio y k parallelo all’asse x. La funzione f (x) x 3 3x 2 ha dominio R, ha intersezioni con gli assi nei punti (0; 0) e (3; 0), è positiva o nulla per x 3 e negativa per x 3. Poiché la derivata prima vale f v(x) 3x 2 6x, la funzione risulta crescente per 0 x 2, decrescente per x 0 e x 2; ha pertanto un minimo in O(0; 0) e un massimo in M(2; 4). Nella figura 15 sono tracciati il grafico di f (x) e alcune rette del fascio y k. Osservando le intersezioni tra le rette del fascio e la curva f (x), si deduce che l’equazione di partenza x 3 3x 2 k 0 ammette:. 9. y k>4 M. k=4. y = –x3 + 3x2. k=0 k<0. O. 2. 3. x. 䊱 Figura 15.. © Zanichelli Editore, 2009.
(13) ● ● ●. 8. per k 0 e k 4, una soluzione reale; per k 0 e k 4, tre soluzioni reali, di cui due coincidenti; per 0 k 4, tre soluzioni reali e distinte.. Sia f (x) x x . Dette f1(x) x e f2(x) x , f1 è una funzione esponenziale, con dominio coincidente con R, mentre f2 è una funzione potenza ed è trascendente con dominio R. Il dominio di f f1(x) f2(x) è allora R. Calcoliamo la derivata prima di f:. x. f v(x) ln x x . Valutiamo il segno di f v(x) nel punto x : f v() ln (ln 1) 0, essendo ln 1. Calcoliamo la derivata seconda di f:. x. x ( 1). f w(x) ln2 x 2 Esaminiamo il segno di f w(x) nel punto x :. . 冢. 1 . 冣. f w() ln2 ( 1) ln2 1 0, poiché ln 1.. 9. x 2 1 兩 x 1兩. La funzione f (x) è definita in R per x 1 e può essere trattata per casi:. 冦. x21 per x 1 x1 f (x) x21 per x 1 x1 Semplificando risulta: f (x) . x1. per x 1. 冦 x 1 per x 1. Ora, esiste il limite lim f (x) quando esistono e coincidono limite destro e limite sinistro della funziox A1 ne. Nel nostro caso risulta che: lim f (x) lim(x 1) 2 e lim f (x) lim ( x 1) 2.. x A1. x A1. x A1. x A1. Si può quindi concludere che non esiste il lim f (x). x A1. 10. Si intende come pendenza p di un tratto rettilineo di strada AB il rapporto tra il dislivello BC e l’avanzamento orizzontale AC (figura 16). Per la trigonometria essa rappresenta la tangente dell’angolo . Nel nostro caso risulta:. B. AB 1,2 km, BC 85 m 0,085 km.. _. Troviamo l’avanzamento orizzontale AC con il teorema di Pitagora: (1苶 ,2苶 )2苶 苶 (0苶 ,0苶 85苶 )2 ⯝ 1,19699 km. AC 兹苶. A. C. 䊱 Figura 16.. 10. © Zanichelli Editore, 2009.
(14) Calcoliamo la pendenza p:. BC AC. 0,085 1,19699. p tg ⯝ ⯝ 0,07101. Pertanto, l’angolo di inclinazione vale ⯝ arctg 0,07101 ⯝ 4,06°, mentre la percentuale da riportare sul segnale è: 0,07101 ⯝ 7%.. 11. © Zanichelli Editore, 2009.
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