Cap. 12 Area dei quadrilateri e Cap. 12 Area dei quadrilateri e
del triangolo
del triangolo
Area Area
•
Un qualsiasi poligono, Un qualsiasi poligono, per definizione,per definizione,
racchiude al suo interno racchiude al suo interno
una porzione di piano una porzione di piano
•
Si definisce area la Si definisce area la misura di questa misura di questaporzione di piano porzione di piano
L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea spezzata chiusa non intrecciata
Misure diretta di un’area Misure diretta di un’area
•
Innanzitutto ricordiamoci cosa significa Innanzitutto ricordiamoci cosa significa misurare?misurare?
Nel caso di
un’area questa grandezza
corrisponde ad una superficie unitaria come mostrato in
figura area
Superficie unitaria
Se vado a contare quante volte la superficie unitaria entra nell’area trovo il
valore si 32
Ho eseguito una misura diretta di superficie perché ho preso una
superficie unitaria e ho visto quante volte era contenuta nella superficie
da misurare
Misura indiretta di un’area Misura indiretta di un’area
• Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le
lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento unitario lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento unitario
• Ripetiamo la stessa suddivisione precedente dell’areaRipetiamo la stessa suddivisione precedente dell’area
• Abbiamo 4 file da 8 quadratini di area uAbbiamo 4 file da 8 quadratini di area u2 2 , otteniamo lo stesso , otteniamo lo stesso risultato facendo 4u x 8u
risultato facendo 4u x 8u
• Questo equivale a fare: A = a x d Questo equivale a fare: A = a x d
In questo modo non abbiamo fatto una misura diretta dell’area
ma l’abbiamo calcolata.
Il calcolo di un’area equivale ad una misura indiretta perché non
ho fatto alcun confronto fra la grandezza in esame e la sua
unità di misura
Area del rettangolo Area del rettangolo
• Consideriamo il seguente Consideriamo il seguente rettangolo
rettangolo
• Indichiamo conIndichiamo con bb la base e la base e con con hh l’altezza l’altezza
• Per quanto detto prima Per quanto detto prima l’area sarà:
l’area sarà:
base altezza
A = b x h
Altezza di un triangolo Altezza di un triangolo
• Consideriamo un triangoloConsideriamo un triangolo
• Tracciamo la perpendicolare al Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A
lato BC passante per A
• Sia H la proiezione di A su ACSia H la proiezione di A su AC
• Si definisce Si definisce altezza di un altezza di un
triangolo relativa ad un lato il triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che segmento perpendicolare che
partendo dal vertice opposto partendo dal vertice opposto
arriva sul lato medesimo arriva sul lato medesimo
• Cioè la distanza di Cioè la distanza di AA dal lato dal lato BCBC
Area del triangolo Area del triangolo
• Consideriamo il seguente Consideriamo il seguente triangolo
triangolo
• Tracciamo l’altezza relativa al lato Tracciamo l’altezza relativa al lato cc
• Risulta chiaro che in questo caso Risulta chiaro che in questo caso noi mon possiamo
noi mon possiamo
semplicemente moltiplicare c x h semplicemente moltiplicare c x h
per trovare l’area per trovare l’area
• Se lo facessimo troveremmo Se lo facessimo troveremmo l’area di questo rettangolo l’area di questo rettangolo
Area rettangolo = c x h
Ma che relazione esiste fra l’area del triangolo e quella del rettangolo? …. Cerchiamo di scoprirla
Secondo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza
• Consideriamo due Consideriamo due
triangoli che hanno un triangoli che hanno un
lato uguale e uguale i lato uguale e uguale i
due angoli ad esso due angoli ad esso
adiacenti adiacenti
• Siccome noi sappiamo Siccome noi sappiamo che la somme degli
che la somme degli angoli interni di un angoli interni di un
triangolo è 180° l’altro triangolo è 180° l’altro
angolo sarà angolo sarà
necessariamente uguale necessariamente uguale
• Perciò i due triangoli Perciò i due triangoli sono uguali
sono uguali
2 triangoli sono uguali se hanno uguale un lato e gli angoli ad esso adiacenti
Cosa centra?
Vediamolo subito
Relazione fra area del triangolo e del rettangolo Relazione fra area del triangolo e del rettangolo
aventi la stessa base ed altezza aventi la stessa base ed altezza
• Consideriamo la eseguente figuraConsideriamo la eseguente figura
• DEDE e e ABAB sono paralleli perché sono paralleli perché perpendicolari ad AD
perpendicolari ad AD
• bb è la trasversale è la trasversale
e e 11 sono uguali perché alterni sono uguali perché alterni interni
interni
e e 11 sono uguali perché alterni sono uguali perché alterni interni
interni
• I triangoli I triangoli DCADCA e e ACNACN
sono uguali per il secondo sono uguali per il secondo
principio di congruenza principio di congruenza
hanno il lato b in comune hanno il lato b in comune
e i due angoli ad esso e i due angoli ad esso
adiacenti congruenti adiacenti congruenti
• a è anch’essa una trasversale dei a è anch’essa una trasversale dei stessi lati paralleli perciò sono
stessi lati paralleli perciò sono uguali per lo stesso motivo gli uguali per lo stesso motivo gli
angoli angoli
e e 11
e e 11
• I triangoli I triangoli BCEBCE e e CNBCNB
sono uguali per il secondo sono uguali per il secondo
principio di congruenza principio di congruenza
hanno il lato a in comune hanno il lato a in comune
e i due angoli ad esso e i due angoli ad esso
adiacenti congruenti adiacenti congruenti
Conclusioni Conclusioni
• Il rettangolo ADEB risulta suddiviso Il rettangolo ADEB risulta suddiviso dall’altezza h in due rettangoli ADCN dall’altezza h in due rettangoli ADCN
e CNBE e CNBE
• Il triangolo è suddiviso dall’altezza Il triangolo è suddiviso dall’altezza in due triangoli ACN e NCB
in due triangoli ACN e NCB
• BDCN è il doppio di ACN perché è BDCN è il doppio di ACN perché è formato da 2 triangoli uguali a ACN formato da 2 triangoli uguali a ACN
• NCEB è il doppio di NCB perché è NCEB è il doppio di NCB perché è formato da 2 triangoli uguali a NCB formato da 2 triangoli uguali a NCB
L’area del rettangolo è il
doppio dell’area di un triangolo avente la stessa base
e la stessa altezza
Formula dell’area del triangolo Formula dell’area del triangolo
A rettangolo = 2 A triangolo
At 1
2 Ar
At 1
2
Ar b h
b h
L’area del
rettangolo è data dal semiprodotto della
base per l’altezza ad essa relativa
Area del trapezio Area del trapezio
Consideriamo il seguente trapezio Sia M il punto medio del lato l2
Tacciamo la retta che passa per B1 ed M
Essa intercetta il prolungamento di B nel punto E
Consideriamo i triangoli B1CM e DME
Essi sono uguali per il secondo criterio di congruenza
CM = DM per costruzione
= perché opposti al vertice
= perché alterni interni L’area del trapezio è
equivalente a quella del
triangolo AB1E perché è come se noi tagliassimo dal trapezio il triangolo B1CE e lo
andassimo ad incollare al lato MD
Perciò se noi calcoliamo l’area di questo triangolo è come se avessimo calcolato l’area del trapezio
Se B1CM e DME sarà anche c = b (base minore)
La base del mio triangolo sarà esattamente uguale alla somma della base maggiore e della base minore del trapezio AE =
B+b
L’altezza h è rimasta la stessa perciò l’area del triangolo AB1E sarà:
AE = base maggiore + base minore
L’area del trapezio è data dalla somma delle basi per l’altezza
diviso 2
Area del parallelogrammo Area del parallelogrammo
Consideriamo il seguente parallelogrammo
Lo possiamo suddividere in un triangolo e in un trapezio
rettangolo
Immaginiamo di spostare il
triangolo ADE facendo coincidere il lato e col lato l
Otteniamo un rettangolo la cui base e altezza coincidono con quelle del rettangolo
In pratica il rettangolo DEFC è equivalente al
parallelogrammo ABCD Perciò l’area del
parallelogrammo sarà …..
Area del rombo Area del rombo
Prendiamo il seguente rombo Tracciamo le diagonali
Da A e C tracciamo le parallele alla diagonale d1
Da B e D quelle parallele alla diagonale d2 Si intersecano nei punti HKLM che saranno anche gli estremi di un rettangolo
Questo rettangolo ha la base uguale a d1 e l’altezza pari a d2
La sua area sarà A = d1 x d2
Per motivi analoghi al triangolo la sua area è il doppio di quella del rombo
Pertanto l’area del
rombo sarà….
d1 d2
Area del deltoide Area del deltoide
Come si vede dalla seguente figura la
situazione è analoga a quella del rombo
pertanto la formula della sua area sarà la stessa
Area del quadrato Area del quadrato
•
Il quadrato è un rettangolo perciò la sua Il quadrato è un rettangolo perciò la sua area saràarea sarà
•
A = b x lA = b x l•
Ma nel quadrato questi due valori saranno Ma nel quadrato questi due valori saranno uguali e vengono indicati con l pertantouguali e vengono indicati con l pertanto l’area del quadrato è …..
l’area del quadrato è …..
l
l
