Dalle costruzioni con riga e compasso

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█ Note sulla quadratura del cerchio

Dalle costruzioni con riga e compasso

ai numeri trascendenti

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Indice

1. Introduzione ... 3

2. Richiami su alcuni insiemi numerici... 3

2.1 I numeri algebrici ... 3

2.1.1 I numeri razionali sono algebrici... 3

2.1.2 Grado di un numero algebrico... 4

2.1.3 Cardinalità dell’insieme dei numeri algebrici ... 4

2.1.4 Il campo dei numeri algebrici... 5

2.1.5 Numeri definiti da radicali ... 5

2.1.6 Interi algebrici ... 5

2.2 I numeri trascendenti... 6

2.2.1 Alcuni numeri trascendenti ... 6

3. Le costruzioni con riga e compasso ... 7

3.1 Riga e compasso “ideali” ... 8

3.2 Divagazione: la costruzione di poligoni regolari ... 8

3.3 Sull’impossibilità delle costruzioni classiche greche... 9

3.4 Approfondimento: punti costruibili e campo euclideo... 10

3.5 Problemi classici e costruzioni impossibili ... 12

3.5.1 Duplicazione del cubo... 13

3.5.2 Trisezione dell’angolo... 13

3.5.3 Costruzione dell’ettagono regolare ... 13

4. Quadratura del cerchio ... 14

4.1 Divagazione: la nascita di π ... 14

4.2 Cenni storici ... 14

4.3 Considerazioni riassuntive finali... 17

(3)

numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero

algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:

1 0 0

11 + − + + + =

− a x a xn a x a nn

n �� (1)

dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non tutti nulli.

L’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali è

non numerabile; ciò implica, come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.

Comunque, sono note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile.

L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

dove l’n-esima cifra dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ..., etc.) e 0 altrimenti.

Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato

appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali), questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della trascendenza di π.

Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per

l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 � a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno potente3.

2.2.1 Alcuni numeri trascendenti

• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.

• π vedi (Pi greco)

3 Georg Cantor (1845–1918)

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1. Introduzione

Ovunque ci sono limiti, alcuni naturali, altri convenzionali: gli esseri umani non possono volare con i loro soli mezzi, nel gioco della briscola il due non può battere l’asso.

Nella matematica e nella fisica vi sono problemi che non ammettono una soluzione: non si può produrre il moto perpetuo, non si può viaggiare a velocità superiore a quella della luce e in tutte le teorie matematiche abbastanza potenti, esistono, come Gödel ci insegna, teoremi (cioè affermazioni vere) non dimostrabili.

Questi presunti limiti della scienza non sono peraltro sconfitte per la nostra ragione, sono piuttosto come “i no che aiutano a crescere”: ostacoli non sormontabili e non aggirabili che, in realtà, ci dicono molto di come è fatto il mondo, di come siamo fatti noi esseri umani, di come funzionano il nostro linguaggio e i nostri sistemi simbolici di rappresentazione.

Anche un’apparente sconfitta può aiutarci ad ampliare le nostre conoscenze, aprendo nuove prospettive per i nostri studi e mostrandoci nuove connessioni di grande bellezza.

La quadratura del cerchio è tutto questo: dietro l’affermazione “non si può costruire con riga e compasso un quadrato che abbia area esattamente uguale a quella di un cerchio dato”

si nasconde un cammino che tocca molti nodi importanti della Matematica, quali gli insiemi numerici, la cardinalità degli insiemi infiniti, le proprietà degli esponenziali di variabile complessa.

L’obiettivo principale, se non unico, di questi appunti è quello di aprire una finestra su questi temi, in modo da rendere un po’ più accessibile un paesaggio di grande bellezza e ricco di sfide costruttive per la nostra intelligenza.

2. Richiami su alcuni insiemi numerici

2.1 I numeri algebrici

In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un’equazione polinomiale della forma:

0 0

1 1

1 + + + =

+a₋x ⁻ ax a x

a_n ⁿ _n ⁿ (1)

dove n > 0, ogni ai è un intero, e an è diverso da 0.

In una definizione equivalente si richiede che i coefficienti del polinomio siano numeri razionali: è sufficiente moltiplicare l’identità per un multiplo comune a tutti i denominatori dei coefficienti per ricondursi al caso intero.

Se un numero reale (o complesso) non è un numero algebrico, viene chiamato numero trascendente.

2.1.1 I numeri razionali sono algebrici

Tutti i numeri razionali sono algebrici perché ogni frazione a/b è soluzione di

=0

− a

bx . Anche alcuni numeri irrazionali come 2^1/2 (la radice quadrata di 2) e 3^1/3/2 (la radice cubica di 3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di x² − 2 = 0 e 8x³ − 3 = 0. Ma non tutti i numeri reali sono algebrici, vedi ad esempio π ed e (numero di Nepero).

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(4)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

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2.1.2 Grado di un numero algebrico

Se un numero algebrico soddisfa un’equazione come quella data sopra con un polinomio di grado n e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un numero algebrico di grado n.

2.1.3 Cardinalità dell’insieme dei numeri algebrici

Quello dei numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l’insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito. L’insieme di tutte le soluzioni, essendo unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.

In conseguenza di quanto già detto per gli algebrici, la cardinalità dei numeri trascendenti è pari a quella del campo di partenza. Questi fondamentali risultati sono dovuti al grande matematico tedesco Georg Cantor¹.

1 In matematica per cardinalità (o numerosità o potenza) di un finito si intende nient'altro che il numero dei suoi elementi. Nella teoria degli insiemi viene data una definizione rigorosa di cardinalità, che si adatta al caso di insiemi infiniti e, fra l'altro, fornisce una definizione astratta e una generalizzazione del concetto di numero naturale.

La definizione segue i seguenti passi:

• Due insiemi A e B si dicono equipotenti o equicardinali se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se ad ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B.

• Si rileva poi che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza. Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali.

• Gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti.

• Sia E un insieme infinito. Allora non è possibile determinare alcun n ∈ N tale che E sia equipotente all’insieme {1,…, n}. Dunque non è possibile definire la cardinalità di E come si è fatto per un insieme finito.

• A fianco ai cardinali finiti occorre pertanto introdurre i cosiddetti numeri cardinali transfiniti o numeri aleph

( )

ℵ ; aleph, è la prima lettera dell’alfabeto ebraico, corrispondente alla nostra A.

• Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei naturali (N): questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo ℵ₀(aleph-zero).

• Inoltre, si prova (la dimostrazione è dovuta a G. Cantor) che: card(N)=card(Z)=card(Q)=ℵ₀.

• Cantor, procedendo per assurdo e utilizzando un procedimento di “diagonalizzazione”, dimostra che non si possono porre in relazione biunivoca i numeri reali con i numeri naturali, quindi si deve porre:

) 0

(R = C >ℵ

card .

• Cantor, utilizzando di nuovo il suo metodo diagonale, dimostra anche che: l'insieme P(D) formato da tutti i sottoinsiemi di un insieme dato D non si può porre in relazione biunivoca con D. Questo è banalmente vero per D finito, ma Cantor dimostra questo risultato anche per D infinito. L'insieme P(D) si chiama insieme potenza di D, quindi per ogni insieme D vale: card(P(D))>card(D).

• Dunque Cantor dimostra che non esistono i soli due “tipi di infinito” che avevamo indicato con ℵ₀e con C, ma addirittura una successione infinita di modi essenzialmente differenti di “essere infinito”. Chiaramente, l’usuale simbolo ∞è insufficiente a rappresentarli tutti.

• Cantor costruisce una successione strettamente crescente (rispetto ad una opportuna relazione di ordine ≤ ) di numeri cardinali transfiniti ℵ₀ <ℵ₁ <ℵ₂ <ℵ₃ <…, questi ultimi forniscono una gerarchia per gli insiemi infiniti.

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(5)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

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2.1.4 Il campo dei numeri algebrici

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici generano ancora numeri algebrici, pertanto essi formano un campo.

Si può dimostrare che se ammettiamo che i coefficienti ai siano numeri algebrici qualsiasi, allora ogni soluzione dell’equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può essere espresso in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Infatti, è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali, ed è quindi chiamato la chiusura algebrica dei razionali.

2.1.5 Numeri definiti da radicali

Tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici n-esime (dove n è un intero positivo) sono anche algebrici. L’inverso, tuttavia, non è vero: vi sono numeri algebrici che non possono essere scritti in questa maniera. Si tratta delle soluzioni delle equazioni polinomiali di grado superiore al quarto: questo è un risultato della teoria di Évariste Galois². 2.1.6 Interi algebrici

Un numero algebrico che soddisfa un’equazione polinomiale di grado n con a_n = 1 (cioè, un polinomio monico a coefficienti interi), è chiamato intero algebrico. Esempi di interi algebrici sono 3 2+5 e 6i−2.

Somma, differenza e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che implica che gli interi algebrici formano un anello. Il nome intero algebrico è dovuto al fatto che gli unici numeri razionali appartenenti a questa classe sono gli interi.

Se K è un campo numerico, il suo anello di interi è il sottoanello degli interi algebrici in K.

• Si considera la classe degli insiemi che si possono porre in corrispondenza biunivica con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con C. L'Ipotesi del continuo afferma C=ℵ₁, dove indichiamo con ℵ₁ la più piccola cardinalità più che numerabile.

2 La nascita della teoria di Galois è stata motivata originariamente dalla seguente constatazione, nota con il nome di teorema di Abel-Ruffini.

"Non esiste nessuna formula per le radici di una generica equazione polinomiale di quinto grado (o superiore) in funzione dei coefficienti del polinomio, usando solo le normali operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) e l'applicazione di radicali (radici quadrate, radici cubiche, etc.)"

La teoria di Galois rende chiaro ed evidente il perché sia possibile risolvere le equazioni di grado quattro o inferiore, specificando un criterio generale affinché una particolare equazione polinomiale di un qualsiasi grado abbia le soluzioni esprimibili mediante operazioni algebriche e radicali.

La teoria di Galois ha inoltre applicazioni in molti problemi di costruzione con riga e compasso in geometria. Ad esempio:

"Quali poligoni regolari sono poligoni costruibili?"

"Perché non è possibile trisecare ogni angolo?"

"Perché non è possibile costruire un quadrato la cui area sia la stessa di un cerchio?"

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(6)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

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2.2 I numeri trascendenti

In matematica, un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:

0 0

1 1

1 + + + =

+a₋x ⁻ ax a x

a_n ⁿ _n ⁿ (1)

dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non tutti nulli.

L’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica, come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.

∑

^∞

=

− =

1

! 0.110001000000000000000001000 10

k

k … (2)

dove l’n-esima cifra dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ..., etc.) e 0 altrimenti.

Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali), questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della

trascendenza di π.

Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore

( )

ℵ₁ a quello degli irrazionali algebrici

( )

ℵ , un Insieme Infinito, ma meno ₀ potente³.

2.2.1 Alcuni numeri trascendenti

• e^a se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.

3 Georg Cantor (1845–1918) riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. Come gia evidenziato in precedenza, dimostrò inoltre che l’insieme dei numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito. L'insieme di tutte le soluzioni, essendo unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(7)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

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• 2 ²o più generalmente a dove a ≠ 0,1 è algebrico e b è algebrico ma irrazionale. Il caso ^b generale del settimo problema di Hilbert, cioè di determinare se a è trascendente quando ^b a ≠ 0,1 è algebrico e b è irrazionale è tuttora irrisolto.

• i²ⁱ (è trascendente in base al teorema di Gelfond)

• e^π in quanto: _i i

e^π =e1 =₋_π 1₂ e i²ⁱ è trascendente

• sin(1)

• ln(a) se a è un numero razionale positivo diverso da 1

• Γ(1/3) e Γ(1/4) (Γ : funzione gamma di Eulero).

La scoperta dei numeri trascendenti consentì, come vedremo, la dimostrazione d’impossibilità di diversi antichi problemi geometrici riguardanti le costruzioni con riga e compasso; il più famoso dei quali, la quadratura del cerchio, è impossibile perché π è trascendente, mentre l’insieme dei numeri costruibili con riga e compasso è, come vedremo, un sottoinsieme dei numeri algebrici. Questa corrispondenza tra le costruzioni realizzabili con riga e compasso e un particolare sottoinsieme dei numeri algebrici merita di essere approfondita…

3. Le costruzioni con riga e compasso

Il trattato di geometria Gli Elementi del matematico greco Euclide, vissuto intorno al 300 a.C., è senza dubbio l’opera matematica che ha avuto maggiore influenza nella storia della nostra cultura.

Gli Elementi cominciano con un certo numero di definizioni e postulati, soffermiamoci sui primi tre.

• Il primo postulato stabilisce che dati nel piano due punti P e Q si possa tracciare il segmento di retta che li congiunge.

• Il secondo richiede che tale segmento si possa prolungare all’infinito;

• Il terzo postula che si possa descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e raggio assegnati.

Le costruzioni geometriche permesse dall’uso dei tre postulati di Euclide vengono classicamente definite

“costruzioni con riga e compasso”.

Tali costruzioni hanno un ruolo centrale nei primi libri del trattato poiché Euclide non considera oggetti di cui non abbia precedentemente stabilito l’esistenza con una esplicita costruzione: ad esempio, prima di dimostrare il teorema di Pitagora, spiega come costruire un quadrato.

Euclide mostra inoltre come con riga e compasso si

possano costruire il pentagono e l’esagono regolare, come si possa trovare il punto medio di un segmento, come si possa bisecare un angolo.

Il problema delle costruzioni con riga e compasso ha accompagnato gli sviluppi della geometria nella Grecia antica. Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano non nella forma genericamente esistenziale, ma in quella costruttiva. La prima proposizione

Una pagina degli Elementi di Euclide nel codice più famoso (Oxford, Bodleian Library, Ms. d’Orville 301, f.

325 v., 888 d.C.)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(8)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

Rev. 9/2007 Pag. 8

degli Elementi di Euclide ci presenta subito un problema costruttivo: “Sopra una data retta terminata (segmento) costruire un triangolo equilatero”. La geometria era inoltre utilizzata per risolvere quelli che per noi ora sono problemi algebrici.

3.1 Riga e compasso “ideali”

Cosa significa fare delle costruzioni con riga e compasso? Significa, a partire almeno da due punti nel piano, compiere un numero finito di operazioni con due strumenti “ideali” che sono la riga (per tracciare rette) e il compasso (per tracciare circonferenze). Le operazioni grafiche di base impiegate negli Elementi sono esclusivamente le seguenti cinque:

1. dati due punti, tracciare la retta passante per essi (o, per estensione, prolungare un segmento);

2. dati due punti A e B, tracciare una circonferenza di centro A e passante per B;

3. determinare l’eventuale punto di intersezione di due rette;

4. determinare gli eventuali punti d’intersezione di una circonferenza con una retta;

5. determinare gli eventuali punti d’intersezione di due circonferenze.

In questo senso si dice che le costruzioni contenute negli Elementi di Euclide sono ottenute mediante riga e compasso.

Si deve sottolineare come si debba prescindere dalla materialità delle costruzioni e dai livelli di approssimazione che attengono all’uso di strumenti meccanici: la teoria delle costruzioni con riga e compasso è rigorosamente teoretica e non pratica.

Va inoltre detto che la riga ed il compasso “ideali” con i quali si affrontano i problemi costruttivi, non sono strumenti metrici (come la riga graduata ed il compasso ad apertura graduata). Ad esempio, il problema della costruzione di un segmento di lunghezza doppia rispetto ad un segmento di lunghezza data si deve risolvere con le operazioni sopra elencate (segnatamente la 3 e la 4): non si può misurare il segmento e prolungarlo con un altro segmento della stessa misura.

Non è inoltre possibile utilizzare il cosiddetto metodo d’inserzione, cioè utilizzare il compasso aperto per trasportare una certa misura in un’altra parte del piano inserendola per tentativi in uno spazio opportuno. E comunque, in generale, non è possibile spostare il compasso aperto da una parte all’altra del piano.

Ricordiamo in particolare che, con riga e compasso, è possibile costruire:

• dato un segmento AB, ed una semiretta di estremo C, un segmento CD sulla semiretta avente la stessa lunghezza di AB (trasporto di misura);

• data una retta, ed un punto esterno ad essa, una parallela passante per il punto;

• data una retta, ed un punto, una perpendicolare passante per il punto;

• dato un angolo α, ed una semiretta, un angolo, sulla semiretta, uguale ad α.

Inoltre è possibile:

• bisecare un segmento;

• bisecare un angolo.

3.2 Divagazione: la costruzione di poligoni regolari

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(9)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

Rev. 9/2007 Pag. 9

Un problema molto interessante, per quanto riguarda le costruzioni con riga e compasso, è quello relativo al disegno di poligoni regolari. Esso è definibile nei termini seguenti: dato il lato l costruire un poligono regolare di N lati.

La costruzione si può facilmente realizzare per N=3, 4, 5, 6; ma già per N=7 e N=9 incontriamo difficoltà insormontabili (l’ettagono e l’ennagono regolare non sono costruibili).

Interessa dunque capire quali poligoni sono costruibili con riga e compasso e quali no.

Il giovane Gauss nel 1796 riuscì a dimostrare che, se p è un numero primo di Fermat, allora il poligono regolare con un numero p di lati è costruibile con riga e compasso.

Ricordiamo che i numeri di Fermat sono espressi dalla formula ₌₂( )²ⁿ ₊₁

Fn e che solo i numeri ottenuti per n = 0,1,2,3,4 (i cui valori sono rispettivamente 3, 5,17, 257, 65537) sono stati sinora verificati essere primi.

Gauss provò, più in generale, che un poligono regolare di N lati è costruibile se la sua scomposizione in fattori primi è del tipo

ks

s k k k

p p p

N =2⁰ ₁¹ ₂² (3)

dove k₀,k₁ k_s sono numeri interi non negativi ed i fattori p primi di Fermat a due a due _i distinti. Gauss intuì anche che la condizione suddetta doveva essere anche necessaria, ma la cosa venne provata solo più tardi da Pierre Wantzel, nel 1836.

Osservazione

In base al Teorema di Gauss, sono costruibili con riga e compasso i poligoni regolari aventi 3, 5, 6, 15 lati: costruzioni esplicite sono contenute negli Elementi di Euclide.

Nota storica

La scoperta della costruibilità del poligono regolare con 17 lati fu effettuata da Gauss, allora appena diciottenne, il 30 marzo 1796, come risulta da un’annotazione sul suo diario personale. La costruzione del poligono regolare con 257 lati, estremamente lunga e laboriosa, è stata realizzata da F. J. Richelot: è oggetto di un articolo, pubblicato nel 1832 sul “Journal für die reine und angewandte Mathematik” (vol. 9), che si estende per ben 194 pagine. Il caso di 65.537 lati è stato trattato dal prof. J.Hermes di Lingen, Germania: la costruzione, che porta il titolo di “Diario della suddivisione del cerchio”, fu da lui iniziata il 4 novembre 1879 e terminata dopo nove anni e mezzo, il 15 aprile 1889: essa occupa circa 250 fogli formato A1, ed è attualmente conservata in una cassa presso il Seminario Matematico dell’Università di Göttingen, Germania.

3.3 Sull’impossibilità delle costruzioni classiche greche

È noto che - al di là delle costruzioni di cui trattano gli Elementi di Euclide - i matematici greci si erano posti problemi complessi di costruzione che solo nel XIX secolo, successivamente alla elaborazione della teoria dei campi ad opera di Galois, Abel ed altri, sono stati dimostrati non risolvibili con riga e compasso. È quindi naturale che, dopo Euclide, generazioni di matematici si siano chiesti quali costruzioni siano possibili con l’uso di questi particolari strumenti. Una risposta completa è stata data solo dai matematici del XIX secolo.

Tornando alla storia, già i matematici greci intuivano il fatto che molte costruzioni non siano possibili con il solo uso di riga e compasso: la trisezione di un angolo, la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio e la costruzione dell’ettagono regolare sono probabilmente gli esempi più noti. Pappo, vissuto nel IV secolo d.C., distingue nella sua opera Collezione numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(10)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

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Matematica i problemi piani, risolubili con riga e compasso, dai problemi solidi, risolubili col metodo delle sezioni coniche, tra i quali colloca il problema della trisezione dell’angolo.

Ai matematici greci mancavano però i mezzi teorici per dimostrare l’impossibilità di tali costruzioni e per giungere a classificare le costruzioni possibili.

Uno sviluppo decisivo è avvenuto con la traduzione dei problemi classici in termini di equazioni algebriche, mediante l’introduzione della geometria analitica, che identifica un punto del piano con una coppia di numeri, le sue coordinate. Diremo che un numero è costruibile (con riga e compasso) se è una coordinata di un punto costruito con riga e compasso a partire dai punti aventi per coordinate numeri interi.

Cartesio sostanzialmente dimostra che ogni numero razionale è costruibile, e che la radice quadrata di un numero positivo costruibile è ancora costruibile. Di più: un numero costruibile soddisfa un’equazione di grado al più due, avente come coefficienti dei numeri precedentemente costruiti.

Nel 1837 Wantzel deduce dai risultati di Cartesio che:

un numero costruibile soddisfa un’equazione del tipo f(x)=0, dove f è un polinomio avente per grado una potenza di due e per coefficienti dei numeri razionali.

Wantzel dimostra anche che f è irriducibile e questo implica che il grado di ogni equazione soddisfatta da un numero costruibile è divisibile per due. Questa proprietà dei numeri costruibili permetterà di dimostrare l’impossibilità della risoluzione di alcuni problemi classici della geometria euclidea.

3.4 Approfondimento: punti costruibili e campo euclideo

Avendo in mente la suddetta connotazione classica del problema delle costruzioni con riga e compasso, si può arrivare ad una sua rigorosa formulazione teorica valendosi dei metodi della geometria analitica, che permettono sempre di trasformare un problema geometrico in un problema analitico.

Utilizzando il linguaggio della geometria analitica un qualsiasi problema di costruzione con riga e compasso può sempre formularsi nei seguenti termini:

Dati più punti in un piano riferiti ad un sistema di coordinate (definito a partire dai punti dati), stabilire se le coordinate di un ulteriore determinato punto sono ricavabili attraverso le cinque operazioni grafiche sopra enunciate.

Si dimostra facilmente che l’utilizzo della sola riga consente di raggiungere tutti e soli i punti le cui coordinate stanno nel “campo di razionalità” definito dalle coordinate dei punti dati, vale a dire eseguendo, per ogni coppia a, b di numeri dati, le operazioni algebriche

)

(a+b , )(a− , )b ( ba⋅ , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ba .

Utilizzando un linguaggio più rigoroso, possiamo dare la seguente Definizione 1

Sia F un campo, e sia K una sua estensione. Un elemento a Î K si dice costruibile su F se esiste un’estensione 2-radicale di F contenente a .

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

(11)

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)

Rev. 9/2007 Pag. 11

Questa definizione nasce dalla geometria euclidea del piano. Ricordiamo che un segmento si dice costruibile con riga e compasso se è possibile costruirlo con un procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:

• tracciare rette tra punti dati;

• tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto;

• intersecare tali rette;

• intersecare tali rette e tali circonferenze;

• intersecare tali circonferenze.

Si dice che un numero reale a è costruibile, se è possibile costruire con riga e compasso un segmento avente lunghezza a . Naturalmente, ciò ha senso solo se si è fissato nel piano un segmento di lunghezza unitaria.

Si può dunque dimostrare la seguente Proposizione 1

Supponiamo che a e b siano numeri reali costruibili. Allora i numeri(a+b), )(a− , )b ( ba⋅ , e, se b≠0, ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

ba , sono costruibili. In particolare, tutti i numeri razionali sono costruibili.

Si dimostra poi che, con l’aggiunta del compasso, è possibile realizzare una “estensione quadratica” del campo di razionalità, costruendo per ogni numero a in esso contenuto il numero a , vale cioè anche la seguente

Proposizione 2

Se il numero reale positivo a è costruibile, allora lo è anche a .

Dimostrazione: Data una retta passante per il punto A, si costruiscano, sulle due semirette uscenti da A, rispettivamente un punto B tale che AB

abbia lunghezza 1 ed un punto C tale che AC abbia lunghezza a. Si costruisca il punto medio M del segmento BC e si costruisca una circonferenza di centro M passante per B (e quindi avente BC come diametro).

Si conduca la perpendicolare a BC per A, e sia P un suo punto d’intersezione con la circonferenza.

Allora, per il Teorema di Talete, il triangolo BPC ha un angolo retto in P. Dal Secondo Teorema di Euclide segue allora che la lunghezza di AP è a.

Supponiamo ora di aver fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane, e che il segmento di lunghezza unitaria sia quello di estremi (0,0) e (1,0). Si tratta di costruire un punto che abbia da esso distanza a dall’origine. Il procedimento con riga e compasso prevede, in generale, di pervenire a questo punto attraverso una serie di punti intermedi, ottenuti intersecando rette e circonferenze. All’inizio è possibile costruire solo le circonferenze che hanno (0,0) come centro e passano per (1,0) (o viceversa), e la retta congiungente (0,0) e (1,0). Queste circonferenze e questa retta hanno equazioni cartesiane con coefficienti tutti razionali. Il punto d’intersezione di due rette aventi equazioni a coefficienti razionali è un punto avente coordinate razionali, poiché queste sono le soluzioni di un sistema lineare 2×2 a coefficienti razionali. Le coordinate dei punti di intersezione di una retta e di una circonferenza (equivalentemente, di due circonferenze) a coefficienti in Q sono soluzioni di equazioni quadratiche, e quindi appartengono ad un’estensione 2-radicale di Q. Pertanto, le numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero

1 0 0

11 + − + + + =

n �� (1)

Σ∞=

− =1

10 ! 0.110001000000000000000001000 kk … (2)