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12. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 4 Determinare lo sviluppo di Taylor dell’ordine indicato centrato in x

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Academic year: 2021

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(1)

12. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 4

Determinare lo sviluppo di Taylor dell’ordine indicato centrato in x 0 = 0 delle seguenti funzioni 1. f (x) = sin x x cos x + log(1 + x) di ordine 3

2. f (x) = (x + 1) x 1 x 1 di ordine 2 3. f (x) = e x sinh x x p

1 + 2x di ordine 2 4. f (x) = e log

2

(1+x) p

1 + x 2 di ordine 4

Calcolare l’ordine di infinitesimo per x ! 0 delle seguenti funzioni 5. f (x) = log(1 + x)e x sin x p

1 + 2x 6. f (x) = 1+x x

2

+ 2 log(cos x)

7. f ↵ (x) = cos(x ↵ ) p

1 sin x al variare di ↵ 2 R 8. f ↵ (x) = log(cos(↵x)) + sinh 2 x al variare di ↵ 2 R

Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare i seguenti limiti 9. lim

x !0

e

x2

cosh p x x log(cos x) 10. lim

n !+1 e

n

( 1+

n1

)

n2

11. lim

x!0

sin(↵x) cosh p

x log(1 + x) p

3

1 + x 2 1 al variare di ↵ 2 R 12. lim

n !+1 3 n ⇣

log(1 + 2 ↵

n

) sin

2n1

1

2n1

⌘ al variare di ↵ 2 R

Studiare la continuit` a e la derivabilit` a in x 0 = 0 delle seguenti funzioni al variare di ↵, 2 R 13. f (x) =

( log(1+x

2

)+arctan ↵x

x per x > 0 p

3

1 + x per x  0

14. f (x) =

( e

sin2 x

p

3

1+↵x

2

x

2

se x > 0 tan ( x) se x  0

15. f (x) =

( sinh

2

x sinh(x

2

)

x

↵

se x > 0 sin ( x) se x  0

16. f (x) =

( e

x2

cos p x

x

↵

per x > 0 sinh x per x  0

73

(2)

Per risolvere i precedenti esercizi sar` a utile ricordare i seguenti sviluppi notevoli per x ! 0

• e x = 1 + x + x 2

2

+ x 3!

3

+ ... + x n!

n

+ o(x n )

• (1 + x) ↵ = 1 + ↵x + ↵(↵ 1) 2 x 2 + ... + ↵(↵ 1)(↵ 2)...(↵ n+1)

n! x n + o(x n )

• 1+x 1 = 1 x + x 2 x 3 + ... + ( 1) n x n + o(x n )

• log(1 + x) = x x 2

2

+ x 3

3

+ ... + ( 1) n+1 x n

n

+ o(x n )

• arctan x = x x 3

3

+ x 5

5

+ ... + ( 1) n x 2n 1

2n 1

+ o(x 2n )

• sin x = x x 3!

3

+ x 5!

5

+ · · · + ( 1) n x (2n 1)!

2n 1

+ o(x 2n )

• cos x = 1 x 2

2

+ x 4!

4

+ · · · + ( 1) n x (2n)!

2n

+ o(x 2n+1 )

• sinh x = x + x 3!

3

+ x 5!

5

+ · · · + (2n 1)! x

2n 1

+ o(x 2n )

• cosh x = 1 + x 2

2

+ x 4!

4

+ · · · + (2n)! x

2n

+ o(x 2n+1 )

74

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