Programma del corso di Calcolo delle Probabilit`a (Laurea Magistrale in Scienze Statistiche, a.a. 2016/2017) Titolare del corso: Alessandra Bianchi
Il programma del corso `e reperibile anche in rete sul sito del corso o sulla pagina moodle del corso. Segue l’elenco dettagliato degli argomenti svolti a lezione con relativo riferimento ai seguenti:
• Calcolo delle Probabilit`a , Apogeo (2007), di S.M. Ross. (Ross)
• A Probability Path , Birkhauser (1999), di S.I. Resnick. (Res)
• Lezioni del docente reperibili dal sito di moodle. (Mood)
1. Spazio di probabilit`a e primi esempi. Spazio campionario, eventi, algebre e sigma-algebre , probabilit`a e sua propriet`a fondamentali.
Formula di inclusione-esclusione. Continuit`a della probabilit`a. El- ementi di calcolo combinatorio. Spazio discreto uniforme a alcuni esempi: estrazione da un’urna con e senza reinserimento, problema dell’accoppiamento. Probabilit`a condizionata ad un evento e sue pro- priet`a. Regola del prodotto, formula delle probabilit`a totali, formula di Bayes. Indipendenza di eventi e di sigma-algebre. Prove ripetute indipendenti: caso finito e caso infinito . Definizione di liminf e limsup di eventi e lemma di Borel-Cantelli.
Capitoli 1,2,3 di (Ross). Si veda anche (Mood) o i paragrafi 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 (sigma-algebre, limf e limsup di eventi) 2.3 e 2.4.1 (prove ripetute infinite) 4.1 (indipendenze di sigma-algebre) e 4.5.1 e 4.5.2 (lemma di Borel-Cantelli) di (Res).
2. Distribuzioni discrete unidimensionali. Variabile aleatoria, dis- tribuzione e sue propriet`a, densit`a di probabilit`a discrete, media, var- ianza e momenti di ordine k. Esempi di distribuzioni discrete: dis- tribuzione uniforme, di Bernoulli, binomiale, geometrica, ipergeomet- rica, binomiale negativa, di Poisson.
Capitolo 4 e paragrafi 7.1-7.3 di (Ross).
3. Distribuzioni discrete multidimensionali. Vettori aleatori mul- tidimensionali. Distribuzione congiunta e distribuzione marginale di variabili aleatorie discrete. Indipendenza e noncorrelazione. Covari- anza e coefficiente di correlazione. Esempi: distribuzione multinomiale e ipergeometrica multinomiale. Somma di variabili aleatorie e alcuni
1
casi notevoli. Distribuzioni discrete condizionate e valore atteso con- dizionato.
Paragrafi 6.1-6.4 e 7.4-7.5 di (Ross) e (Mood).
4. Distribuzioni assolutamente continue unidimensionali. Fun- zione di ripartizione, caso singolare, caso assolutamente continuo e densit`a di probabilit`a. media, varianza e momenti di ordine k. Es- empi di distribuzioni assolutamente continue: distribuzione uniforme, esponenziale, Gaussiana, Gamma, di Cauchy, Chi-quadro, Beta. Es- empi di variabili aleatorie con distribuzione mista. Stima delle code per variabili normali.
Capitolo 5 e paragrafi 7.1-7.3 di (Ross) e (Mood).
5. Distribuzioni assolutamente continue multidimensionali. fun- zione di ripartizione congiunta e marginale, densit`a di probabilit`a con- giunta e marginale, Indipendenza e noncorrelazione. Covarianza e coefficiente di correlazione. Densit`a di Z = X + Y e alcuni casi notevoli. Esempi: distribuzione di Dirichlet, distribuzione Gaussiana n-dimensionale. distribuzione uniforme multidimensionale. Riordina- mento di numeri aleatori indipendenti con distribuzione uniforme in [0, 1]. Distribuzioni assolutamente continue condizionate e valore at- teso condizionato.
Paragrafi 6.1-6.7, 7.4-7.5 di (Ross) e (Mood).
6. Strumenti utili: funzioni generatrici e disuguaglianze Valore at- teso condizionato. Funzione generatrice di probabilit`a, funzione gener- atrice dei momenti, funzione caratteristica. Disuguaglianza di Markov e di Chebicev, disuguaglianza di Jensen, disuguaglianza di H¨older e di Minkovski.
Paragrafi 7.7.-7.8 di (Ross) e (Mood).
7. Convergenza di variabili aleatorie e teoremi limite. Conver- genza quasi certa, in probabilit`a, in media di ordine p, in distribuzione:
Esempi, propriet`a e relazioni tra i diversi tipi di convergenza. Esempi:
convergenza della distribuzione geometrica a quella esponenziale, con- vergenza della distribuzione binomiale a quella di Poisson, il teorema di De Moivre Laplace. Legge dei grandi numeri (in senso debole e in senso forte). Teorema del limite centrale e applicazioni.
Capitolo 8 di (Ross) e (Mood), o Capitoli 6,7,8 e 9 di (Res).
2
