DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE Nella forma più usuale la distribuzione esponenziale assume la forma: Le relazioni teoriche dei momenti sono:

(1)

DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

Nella forma più usuale la distribuzione esponenziale assume la forma:

Le relazioni teoriche dei momenti sono:

(2)

DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE a 2 parametri (con soglia) Se esiste un limite inferiore della variabile, diverso da zero, la distribuzione esponenziale assume la forma:

Le relazioni teoriche dei momenti in questo caso sono:

(3)

MODELLO DEL MASSIMO VALORE

Si consideri una serie di n variabili casuali e sia

Se gli X_i sono indipendenti:

Se gli X_isono identicamente distribuiti con funzione di distribuzione cumulata F_x(x)

o semplicemente

Esempio:

Nota, dall esperienza passata, la distribuzione della massima piena in un anno, o piena annuale X, si può valutare la distribuzione della massima piena in n anni, se n è la durata di progetto del sistema idrico.

(4)

DISTRIBUZIONI ASINTOTICHE

Per n grande:

Al crescere di n la distribuzione di è relativamente insensibile alla esatta forma della distribuzione delle X_i. E stato dimostrato che, a seconda della caratteristica della distribuzione delle X_i nella coda destra, la distribuzione della massimo tende a solo 3 distribuzioni asintotiche:

1) 

2) 

3) 

(5)

La distribuzione asintotica del tipo 1 o di Gumbel vale quando la coda superiore della variabile originaria cade in maniera esponenziale, cioè se, per abbastanza grande vale:

essendo g(x) una funzione crescente di x.

Esempio:

Distribuzione esponenziale:

con

Il massimo di n variabili esponenziali con media è distribuito secondo la legge di Gumbel per n abbastanza grande.

Coda di tipo esponenziale

(6)

DISTRIBUZIONE DEL VALORE ESTREMO DI 1° TIPO (EV1) o DI GUMBEL

Interpretazione:

1.  Asintotica

•  Z_iindipendenti ed identicamente distribuiti con leggi di tipo esponenziale.

• 

•  2. Esatta:

•  K numero variabile da anno ad anno con la legge di Poisson.

• 

Z_i vedi sopra ed inoltre indipendenti da K.

X: massimo in un intervallo [0,t], esempio l anno, di un numero variabile secondo la legge di Poisson, con media Λ, di variabili indipendenti ed esponenzialmente distribuite con media θ₂^.

(7)

DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL

con:

Significato dei parametri:

•  Λ : Numero medio di eventi indipendenti in [0,t], esempio in un anno.

•  θ₂ :Valore medio della grandezza dell evento, esempio portata al colmo.

dipende solo da Λ

Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei parametri.

θ₁ è la moda di x

(8)

θ₂ : è proporzionale a σ (misura di dispersione).

: dipendono solo dal coefficiente di variazione . Variabile ridotta:

•  costante di Eulero

• 

(9)

Carta probabilistica di Gumbel

(10)

(11)

Orco a Pont Canavese (Cuorgné)

0" 500" 1000" 1500" 2000" 2500" 3000"

0.01 "

0.02 "

0.05 "

0.10 "

0.20 "

0.30 "

0.40 "

0.50 "

0.60 "

0.70 "

0.80 "

0.90 "

0.95 "

0.99 "

0.995"

0.999"

Probabilità cumulata"

2"

5"

10"

20"

100"

[T]"

Max annuale delle portate al colmo di piena [mc/s]"

GUMBEL" _{200 "}

1000"

Serie di dati molto asimmetriche non si allineano in carta di Gumbel

(12)

dipendenza del valore di progetto dal metodo di stima

(13)

IL METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA

Consiste nel determinare i valori dei parametri in modo da massimizzare la funzione di verosimiglianza:

che è la funzione di densità congiunta del campione per osservazioni indipendenti.

La stima dei parametri si ottiene dal sistema di r equazioni in r incognite.

(14)

Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione normale

verificata se

(15)

Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione di Gumbel

con n=numero di dati del campione.

Il valore a primo membro è determinato sulla base di un valore di tentativo assegnato al secondo membro. Il procedimento si arresta quando i due valori differiscono di una quantità inferiore alla tolleranza assegnata (per es. 0.001 per θ₂).

Il primo valore di tentativo potrà essere quello derivante dalla stima dei momenti.

La correzione che si può apportare ad ogni tentativo per accelerare la convergenza può essere quella suggerita da Gumbel:

(16)

L-momenti

GliL-momenti sono un modo alternativo di descrivere la forma delle distribuzioni di probabilit`a.

Derivano dai probability weighted moments (PWM) o momenti pesati in probabilit`a.

Per una variabile casuale x con funzione di probabilit`a cumulata F (x) si ha

Mp,r ,s = E [x^p{F (x)}^r{1 F (x)}^s]

D. Ganora L-momenti 2

(17)

L-momenti vs momenti

r = M_{1,r ,0} = E [x{F (x)}^r]

Z inf inf

x{F (x)}^r · f (x)dx

Mr = E [(x µ(x))^r]

Z inf inf

(x µ(x))^r · f (x)dx

PWM! lineari nella variabile casuale (la x non `e mai elevata a potenza, ma lo `e solo F (x))

Momenti! la x `e elevata a potenza per r > 1

(18)

L-momenti

I PWM possono essere usati per stimare i parametri di una distribuzione, ma sono difficili da interpretare direttamente come misure di dispersione, forma, ...

Tali informazioni sono per`o presenti in particolari combinazioni di PWM

1 = 0 ! media

2 = 2 1 0 ! dispersione

3 = 6 2 6 1+ 0 ! asimmetria

4 = 20 3 30 2+ 12 1 0

(19)

Coefficienti adimensionali

⌧ = ²

1 ! L-CV

⌧3 = ³

2 ! L-skewness

⌧4 = ⁴

2 ! L-kurtosis

in generale ⌧r = ^r₁

(20)

L-momenti

Notazione:

x1,x2, . . . ,xi. . .xn campione

x(1)  x⁽²⁾  . . .  x⁽ⁱ⁾  . . .  x⁽ⁿ⁾ campione ordinato in senso crescente

x1:n  x^2:n  . . .  x^i:n  . . .  x^n:n campione ordinato in senso crescente

(21)

L-momenti

(22)

L-momenti

(23)

Propriet`a

esistenza se la media della distribuzione esiste, allora esistono tutti gli L-momenti

unicit`a se la media della distribuzione esiste, allora gli L-momenti definiscono in maniera univoca la distribuzione (non ci sono due distribuzioni con gli stessi L-momenti)

I 2 0

I |⌧^r| < 1 per tutti r 3

I 1

4(5⌧₃² 1) ⌧⁴ <1

I per distribuzioni che assumono solo valori positivi ⌧3 `e limitato in funzione di ⌧ 2⌧ 1 ⌧³ <1

(24)

PWM campionari

b0 = 1 n

Xn j=1

xj:n

b1 = 1 n

Xn j=2

(j 1) (n 1)xj:n

b₂ = 1 n

Xn j=3

(j 1)(j 2) (n 1)(n 2)x_j:n

br = 1 n

Xn j=r +1

(j 1)(j 2) . . . (j r ) (n 1)(n 2) . . . (n r )xj:n

(25)

L-momenti campionari

l₁ = b₀

l2 = 2b1 b0

l3 = 6b2 6b1+ b0

l₄ = 20b₃ 30b₂+ 12b₁ b₀

(26)

Per T abbastanza grande, in genere superiore ai 20 anni, vale:

Di conseguenza una X_T GUMBEL varia linearmente con Ln T (linea blu)

Distribuzioni degli estremi a 3 parametri

(27)

LEGGE GENERALIZZATA DEI VALORI ESTREMI (GEV)

L espressione della GEV è :

θ₁ parametro di posizione θ₂ parametro di scala

θ₃ parametro di forma

θ₃ = 0 ! distribuzione EV I (Gumbel)

θ₃ < 0 ! EV II (Fréchet) - limitata sup. da θ₁+θ₂/θ₃ θ₃ > 0 ! EV III (Weibull) - limitata inf. da θ₁+θ₂/θ₃

36 θ₃=0

θ₃≠0

(28)

Max annuale delle portate al colmo di piena [mc/s]"

0" 500" 1000" 1500" 2000" 2500" 3000"

0.01 "

0.02 "

0.05 "

0.10 "

0.20 "

0.30 "

0.40 "

0.50 "

0.60 "

0.70 "

0.80 "

0.90 "

0.95 "

0.99 "

0.995"

0.999"

Probabilità cumulata"

2"

5"

10"

20"

100"

[T]"

GEV"

GUMBEL" _{200 "}

1000"

Orco a Pont Canavese (Cuorgné) La GEV si adatta a serie con elevata asimmetria

(29)

Si hanno ad esempio:

- Distribuzioni debolmente asimmetriche (Cunnane)

- Distribuzioni debolmente asimmetriche (Gringorten)

- Distribuzioni fortemente asimmetriche (Hazen)

4 1

Formulazioni per la stima della probabilità cumulata della

popolazione dipendenti dalla distribuzione che si sta testando:

(30)

Scelta della distribuzione

(31)

(32)