Geometria 3. Dimensione, indipendenza. Roma, 13 marzo 2014.

Geometria 3. Dimensione, indipendenza. Roma, 13 marzo 2014.

1. Siano

v

₁

=



 1

−1 1



 , v

₂

=



 0 2 3



 ∈ R

³

; (a) Far vedere che {v

₁

, v

₂

} sono vettori indipendenti.

(b) Esibire un terzo vettore v

3

tale che R

³

= Span{v

1

, v

2

, v

3

}.

(c) Esibire un terzo vettore v

₃⁰

tale che R

³

6= Span{v

₁

, v

₂

, v

⁰₃

}.

2. Scrivere i seguenti sottospazi W come Span(v

1

, v

2

, . . . ,v

r

) per dei vettori v

1

, v

2

, . . . ,v

r

.

(a) W = {









 x

1

x

₂

x

3

x

₄

x

5











∈ R

⁵

:  x

1

+ x

2

− x

3

= 0

2x

₂

+ x

₃

= 0 } ⊂ R

⁵

;

(b) W = {





 x

₁

x

2

x

₃

x

4





 ∈ R

⁴

: x

1

+ 2x

3

= 0} ⊂ R

⁴

;

(c) W = {



 x

₁

x

2

x

3



 ∈ R

³

:







x

₁

− x

₂

− x

₃

= 0 x

2

− x

3

= 0 x

1

+ x

2

− x

3

= 0

} ⊂ R

³

;

3. (a) Esibire basi per gli spazi vettoriali W dell’Esercizio 2.

(b) Determinare le dimensioni degli spazi vettoriali W dell’Esercizio 2.

4. Sia W il sottospazio di R

⁵

dato da

W = {









 x

1

x

₂

x

3

x

₄

x

5











∈ R

⁵

:  x

1

+ x

2

− x

3

= 0 2x

₂

+ x

₃

= 0 },

e sia W

⁰

il sottospazio di R

⁵

dato da

W = {









 x

₁

x

2

x

₃

x

4

x

₅











∈ R

⁵

:  x

3

+ x

₄

− x

₅

= 0 2x

4

+ x

5

= 0 }.

Determinare la dimensione di W ∩ W

⁰

.

5. Sia V uno spazio vettoriale sie W ⊂ V un suo sottospazio. Dimostrare che (a) dim W ≤ dim V ;

(b) V = W se e solo se dim W = dim V .