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Roma, 29 marzo 2014 1. In R

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(1)

Geometria 6. Rette, piani e sfere in R

3

Roma, 29 marzo 2014 1. In R

3

siano dati i seguenti punto p e retta r:

p =

−2 1 3

 , r :

 x y z

 =

 1

−1 2

 + λ

 0

−2 1

 , (λ ∈ R).

Calcolare la distanza di p da r.

2. In R

3

siano dati i seguenti punto p e piano π:

p =

−2 1 3

 , π :

 x y z

 =

 3

−1 2

 + λ

 1

−1 1

 + µ

 0

−2 1

 , (λ, µ ∈ R).

Calcolare la distanza di p da π.

3. In R

3

sia π il piano dato da −x

1

+3x

2

+2x

3

+1 = 0 e siano p =

−1 1 2

 e q =

−1 0 1

.

(a) Calcolare un’equazione cartesiana del piano π

1

passante per p e parallelo a π.

(b) Calcolare un’equazione parametrica della retta r passante per q e ortogonale π

1

. (c) Calcolare un’equazione parametrica della retta ` passante per p e ortogonale π.

(d) Determinare r ∩ `. Se r ∩ ` = ∅, calcolare la distanza d(r, `).

4. Siano date le rette r

1

, r

2

, r

3

di equazioni parametriche

r

1

:

 x y z

 =

 3

−1 2

+λ

 1

−1 1

 , (λ ∈ R), r

2

:

 x y z

 =

 4

−2 3

+µ

−1 3 2

 , (µ ∈ R)

e

r

3

:

 x y z

 =

 3 1 5

 + ν

 2 0 5

 , (ν ∈ R).

(a) Determinare i punti d’intersezione: {P } = r

1

∩ r

2

; {Q} = r

2

∩ r

3

; {R} = r

3

∩ r

1

(b) Scrivere un’equazione parametrica del piano passante per P , Q ed R.

(c) Scrivere un’equazione cartesiana del piano passante per P , Q ed R.

5. Sia S la sfera di equazione (x

1

− 1)

2

+ (x

2

+ 1)

2

+ (x

3

− 2)

2

= 9. Siano π il piano di equazione x

1

= 1 e π

0

quello di equazione −2x

1

+ x

3

+ 1 = 0.

(a) Calcolare la distanza fra π e il centro di S e la distanza fra π

0

e il centro di S (b) Verificare che l’intersezione fra π ed S ` e una circonferenza e calcolarne il raggio.

Fare la stessa cosa per π

0

.

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