Matematica, Cultura e Società
RIVISTA DELL’UNIONEMATEMATICA ITALIANA
Giuseppe Toscani
Sulle code di potenza di Pareto
Matematica, Cultura e Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Serie 1, Vol. 1 (2016), n.1, p. 21–30.
Unione Matematica Italiana
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Sulle code di potenza di Pareto
G. TOSCANI UniversitaÁ di Pavia
E-mail: giuseppe.toscani@unipv.it
1. ± Introduzione
Le frasi in epigrafe, estratte dall'introduzione di un lavoro dell'economista Raffaele D'Addario relativo allo studio della curva dei redditi [17], ci fanno capire che le forti analogie fra alcuni feno- meni fisici ed economici, nonche il ruolo della
casualitaÁ insita nei modelli, erano evidenti giaÁ nella prima metaÁ del secolo scorso.
Alcuni anni prima della pubblicazione del saggio di D'Addario, tali analogie erano state sottolineate da Ettore Majorana in un famoso articolo su Scien- tia [24]: ``EÁ importante, quindi, che i principi della meccanica quantistica abbiano portato a riconoscere (oltre ad una certa assenza di oggettivitaÁ nella descrizione dei fenomeni) il carattere statistico delle leggi ultime dei processi elementari. Questa conclu- sione ha reso sostanziale l'analogia tra fisica e scien- Accettato: il 23 marzo 2016.
Sommario: In questo articolo vengono brevemente presentate le principali analogie tra il problema dell'anda- mento all'equilibrio delle molecole di un gas rarefatto e la formazione delle code di potenza nella distribuzione della ricchezza in una societaÁ di agenti. L'approccio della meccanica statistica al succitato problema di origine economica ha fornito infatti in questi ultimi anni una spiegazione particolarmente convincente sul fenomeno della formazione delle code di potenza di Pareto.
Abstract: This article brieflyintroduces the main similarities between the problem of the trend to equilibrium of the molecules of a rarefied gas and the formation of the power tails in the distribution of wealth in a multi-agent society. The approach of statistical mechanics to the above mentioned problem of economic nature in fact provided in recent years a particularly convincing explanation on the phenomenon of formation of Pareto tails.
Qui, cioeÁ, ho ricondotto alla stessa generatrice, mediante trasformatrici soddisfacenti alla stessa relazione differen- ziale, le equazioni proposte per la curva dei redditi da Pareto, March, Kapteyn, Vinci, Amoroso e Davis. La fun- zione generatrice, alla quale ho ricondotto le predette equa- zioni, ricorda nella forma l'equazione della distribuzione piuÁ probabile della statistica quantistica di Brillouin, che sintetizza e generalizza formalmente le statistiche quan- tistiche di Boltzmann, Bose-Einstein, Fermi-Dirac. Le equazioni proposte, per la curva dei redditi, pertanto, possono essere interpretate, mutatis mutandis, alla luce dello stesso schema probabilistico.
Raffaele D'Addario, Giornale degli Economisti e Annali di Economia, Febbraio 1949
Matematica, Cultura e SocietaÁ ± Rivista dell'Unione Matematica Italiana Serie I, Vol. 1, N. 1, Aprile 2016, 21-30
ze sociali, tra le quali eÁ risultata un'identitaÁ di valore e di metodo.''
La curva dei redditi citata da D'Addario, carat- terizzata da code di potenza, eÁ nota ancora oggi come distribuzione di Pareto, dal nome dell'econo- mista Vilfredo Pareto, il quale, analizzando la di- stribuzione del reddito della popolazione del Can- ton Ticino, aveva osservato che tale distribuzione (di probabilitaÁ) era caratterizzata da un decadimen- to polinomiale [30]. In formula, se il reddito w di una popolazione eÁ distribuito con densitaÁ f (w), la funzione di distribuzione F(w) del reddito, per w 1 soddisfa
1 F w
1
w
f vdv w p; p > 1:
(1:1)
Il valore della costante positiva p eÁ comunemente chiamato indice di Pareto.
Al di laÁ del modo estremamente acuto con cui Pareto giunse alla sua conclusione, eÁ importante sottolinearne le conseguenze.
Molti fenomeni casuali sono caratterizzati da una distribuzione normale (o Gaussiana), i cui momenti sono tutti finiti. Per tale distribuzione, fissato un certo valore L positivo, la probabilitaÁ di stare fuori dalla striscia ( L; L) decade esponen- zialmente con L. Se invece il fenomeno casuale eÁ caratterizzato da una coda di potenza, cioeÁ decade come in (1.1), solo i momenti fino all'ordine a < p risultano finiti, la probabilitaÁ di stare fuori dalla striscia ( L; L) decade in modo polinomiale con L, e, a paritaÁ di valore, risulta avere una misura molto piuÁ grande rispetto al fenomeno descritto dalla distribuzione normale. Se riferita alla distribuzione del reddito, la conseguenza prima di questa pro- prietaÁ eÁ l'ineguale distribuzione della ricchezza, e l'esistenza di una classe (se pur piccola) di agenti estremamente ricchi.
Massicci studi sui dati reali delle economie occi- dentali hanno infatti permesso di rilevare come per i grossi patrimoni la curva del reddito segua la de- scrizione (1.1), e che l'indice p di Pareto varia fra 1; 5 e 3 (dati riferiti all'anno 2000: USA 1,6, Giappone
1,8 2,2) [18]. La conseguenza principale eÁ che tipicamente meno del 10% della popolazione in ogni paese possiede almeno il 40% della ricchezza totale di quel paese, e segue tale legge.
L'importanza dell'osservazione di Pareto fu su- bito chiara agli economisti dell'epoca, tanto che alcuni fra questi cercarono di assumerne, anche parzialmente, la paternitaÁ. Nell'anno in cui Pareto pubblica a Losanna il suo libro [30], l'economista Rodolfo Benini commenta [3]: ``Il Prof. Pareto nel suo magistrale Corso di Economia Politica, al capi- tolo La courbe des revenus mette in evidenza la singolare somiglianza che passa tra le curve della distribuzione del reddito, descritte coi dati, certo non perfetti, delle statistiche finanziarie di vari paesi e di vari tempi . . .'' e aggiunge ``Se m0eÁ lecito ricordare le mie impressioni, diroÁ che io ero andato anche piuÁ in laÁ, affermando esistere analogia di distribuzione in un vasto ordine di fenomeni econo- mici, i quali stanno in intimo rapporto colla distri- buzione della ricchezza.''
Lo studio della curva dei redditi proposta da Pareto eÁ stata ripresa in varie occasioni. Nel 1925, il matematico ed economista Luigi Amoroso presen- toÁ uno studio analitico rigoroso di tale curva, nota anche con il nome di trottola sociale [1]. Nel 1932 D'Addario ritornoÁ sul problema, facendo conoscere il lavoro di Amoroso agli economisti [16]. Questi ed altri lavori successivi [17], di buon contenuto mate- matico, non entrarono peroÁ nel merito della sua formazione.
Anche se storicamente eÁ stato per la prima volta osservato in ambito economico da Pareto, il fenome- no delle code di potenza eÁ comune a molti fenomeni fisici, e si ritrova ad esempio nella distribuzione delle velocitaÁ durante il raffreddamento di un gas costi- tuito da molecole parzialmente anelastiche [21, 22].
Proprio questa analogia mi ha fatto conoscere il fenomeno economico delle code, e successivamente interessare allo studio delle possibile cause che le generano.
Come giaÁ descritto nella prefazione al mio libro Interacting Multiagent Systems [28], nei primi anni del duemila ero inserito in un progetto di matema- tica per le applicazioni, finanziato dalla ComunitaÁ Europea, avente come obbiettivo lo studio di equa- zioni cinetiche ed iperboliche. Uno dei problemi di cui mi stavo occupando era relativo al comportamen- to dei gas dissipativi, e allo studio della soluzione della corrispondente equazione cinetica di Boltz- mann. PiuÁ nello specifico, stavo cercando di dare una risposta alla cosiddetta congettura di Max Ernst
e Ricardo Brito [21, 22], che ipotizzava il formarsi di code di potenza nella soluzione autosimilare della suddetta equazione.
Effettuando una ricerca bibliografica con parole chiave particelle ed anelastico, sono venuto a cono- scenza di un interessante lavoro del fisico Frantisek Slanina che associava le particelle anelastiche alla distribuzione della ricchezza in un'economia di mer- cato [31]. Era il 2004, e un'ulteriore ricerca basata sulla bibliografia del succitato lavoro mi chiarõÁche il problema della formazione delle code di Pareto era ritornato di attualitaÁ da alcuni anni, ed era uno dei problemi piuÁ studiati nell'ambito del settore di ri- cerca dell'econofisica.
L'econofisica eÁ infatti un campo di studio nato con l'obiettivo di portare l'economia nell'ambito delle scienze naturali, o, piuÁ nello specifico, con l'intento di sviluppare una fisica dell'economia.
Questo neologismo, introdotto dal fisico H.E.
Stanley a margine del congresso ``Second Stat- phys-Kolkata'', tenutosi a Kolkata (India) nel 1995 (vedi [32]), al pari di termini come biofisica, geofisica e astrofisica eÁ il risultato della combinazione della parola economia con la parola fisica.
Per quanto riguarda il fenomeno delle code di potenza di Pareto, le analogie fra la fisica e l'econo- mia passano dalla meccanica statistica, attraverso l'identificazione delle particelle di un gas con gli agenti di un sistema economico, dell'energia delle particelle con la ricchezza degli agenti, e con l'iden- tificazione delle collisioni con le transazioni finan- ziarie.
Una volta accettate queste analogie, lo studio della distribuzione della ricchezza in un economia di mercato si giova di tutta la ricerca matematica e fisica in teoria cinetica dei gas, la cui origine risale alla seconda metaÁ dell'ottocento.
In questa nota, cercheroÁ di chiarire quanto que- sto nuovo punto di vista abbia contribuito a chiarire, almeno in parte, il perche della formazione delle code di potenza, mettendone in evidenza i contributi matematici essenziali. La trattazione saraÁ per forza di cose solo parziale, e terraÁ conto principalmente dei risultati ottenuti da me e dai miei collaboratori in questi anni.
Il lettore interessato ad approfondire gli argo- menti troveraÁ comunque una bibliografia aggiornata e sufficientemente completa.
2. ± L'ereditaÁ di Boltzmann
La teoria cinetica ha fornito un approccio vincen- te per descrivere le proprietaÁ macroscopiche rile- vanti di un gas composto da un numero estrema- mente alto di molecole soggette alle leggi della meccanica classica.
In accordo alla teoria molecolare della materia, un volume di gas di un centimetro cubo eÁ un sistema composto da circa 1020 molecole che si muovono in modo irregolare. Risultando impossi- bile descrivere un tale sistema tramite le equazioni di moto di ogni singola particella, la scelta della teoria cinetica eÁ stata quella di considerare l'evo- luzione non di un sistema, quanto di un insieme di sistemi identici i cui dati iniziali differiscono per quantitaÁ dell'ordine di un errore accettabile. In conseguenza di questa scelta, i risultati utili e significativi sono solo quelli che descrivono il com- portamento di molti sistemi in forma di statistica, vale a dire quelli che contengono informazioni sulle distribuzioni (di probabilitaÁ). In questa descrizio- ne, una data particella non ha una posizione e una velocitaÁ definite, ma solo certe probabilitaÁ di avere differenti posizioni e velocitaÁ.
Per meglio comprendere l'analogia formale fra lo studio di un sistema composto da molti agenti e quello di un sistema di particelle, eÁ necessario forni- re qualche dettaglio sul principale modello fisico- matematico utilizzato in teoria cinetica dei gas rare- fatti, e sulle sue principali proprietaÁ.
Si consideri un volume di gas composto da mole- cole perfettamente elastiche e di uguale massa, distribuite in modo omogeneo in un volume. In accordo alla meccanica statistica, l'evoluzione tempo- rale della densitaÁ f f (v; t) delle velocitaÁ v delle molecole, con v vettore appartenente allo spazio fisico R3, eÁ descritta dall'equazione integro-differen- ziale di Boltzmann (spazialmente omogenea) [5, 9, 10]
@
@t f v; t Q f ; f v; t:
(2:2)
Poiche il membro di destra di questa equazione (termine di collisione), misura le variazioni della densitaÁ dovute agli effetti delle interazioni fra le molecole, l'equazione (2.2) ci dice sostanzialmente che la densitaÁ varia nel tempo solamente a causa delle interazioni.
PiuÁ in dettaglio, il termine di collisione Q quanti- fica la variazione della densitaÁ delle molecole di velocitaÁ v dovuta a tutte le collisioni binarie che sono cinematicamente possibili. PoicheÁ le molecole sono perfettamente elastiche, e quindi la collisione bina- ria fra due molecole della stessa massa conserva sia il momento che l'energia, eÁ facile verificare che se due molecole di velocitaÁ v e w entrano in collisione, le possibili velocitaÁ v e w delle stesse molecole dopo aver colliso sono tutte e sole quelle date dalle rela- zioni
v1
2 v w jv wjn;
w1
2 v w jv wjn;
2:3
dove n eÁ un versore arbitrario di R3.
Come funzione delle velocitaÁ, Q dipende dal tipo di interazione binaria. Uno dei modelli di interazione piuÁ usati eÁ quello delle molecole Maxwelliane [5, 6, 8]
2:4 Q f ; g v
R3 S2
B v w n
f vg w f vg w dwdn;
Nella (2.4) S2eÁ la sfera di raggio uno, ve wsono le velocitaÁ delle molecole che entrando in collisione generano le velocitaÁ v e w in accordo alla legge (2.3) e B( ) eÁ la frequenza con cui la collisione avviene. Si noti che per la collisione di tipo Maxwelliano la frequenza eÁ indipendente dal modulo della velocitaÁ relativa, il che permette notevoli semplificazioni nei calcoli [5].
Il significato fisico dell'operatore Q eÁ chiaro. Se si assume che le sole interazioni significative sono le collisioni binarie, fissata una velocitaÁ v, le collisioni binarie aumentano la percentuale di molecole con velocitaÁ v tutte le volte che una coppia di molecole con velocitaÁ v e w collidendo in accordo alla (2.3) genera una velocitaÁ pari a v. Al contrario, le collisioni binarie diminuiscono la percentuale di molecole con velocitaÁ v tutte le volte che la molecola di velocitaÁ v ne incontra una con velocitaÁ w generando, in accordo alla (2.3), la coppia di molecole con velocitaÁ ve w, entrambe diverse dalla velocitaÁ v.
Dall'equazione cinetica di Boltzmann possiamo ricavare, tramite lo studio della variazione delle quantitaÁ osservabili, le proprietaÁ fisiche del gas.
Per quantitaÁ osservabile si intende la media, fatta rispetto alla densitaÁ del gas, di una qualunque funzione delle velocitaÁ W W(v). Moltiplicando ambo i membri dell'equazione di Boltzmann (2.2) per la funzione W(v) ed integrando sulle velocitaÁ, si ottiene la legge di variazione nel tempo dell'osservabile
d dt
R3
W v f v; tdv
R3
W vQ f ; f v; tdv:
2:5
Tenuto conto del fatto che le collisioni (elastiche) conservano momento ed energia, il membro di de- stra della (2.5) eÁ nullo, cosiccheÂ
W vQ f ; f vdv 0;
(2:6)
almeno per W(v) 1; v; v2[5, 9]. Questo garantisce la conservazione nel tempo della massa r del gas, della sua velocitaÁ media U e temperatura T, definite come momenti della densitaÁ f (v; t) delle molecole
(2:7) r
fdv; U 1 r
fvdv; T 1 3r
f v U2dv:
Inoltre, in conseguenza del celebrato teorema H di Boltzmann sulla crescita dell'entropia [7], la soluzio- ne si porta nel tempo verso la soluzione di equilibrio Maxwelliano, funzione della massa r, della velocitaÁ media U e della temperatura T
M v r
2pT3=2exp jv Uj2 2T
( )
; (2:8)
che si caratterizza come l'unica densitaÁ per la quale Q(M; M) 0.
EÁ opportuno ricordare che lo studio della conver- genza verso la distribuzione di equilibrio Maxwel- liano, ed in particolare della velocitaÁ con cui l'entro- pia della soluzione si porta sul valore all'equilibrio, eÁ stato uno dei problemi piuÁ studiati della teoria cinetica dei gas, ed eÁ anche grazie ai risultati ottenuti in questo ambito [34, 35], che il matematico francese CeÂdric Villani eÁ stato insignito nel 2010 di una medaglia Fields.
Al di laÁ delle difficoltaÁ matematiche presenti nella risoluzione del problema, l'aver dimostrato che la soluzione dell'equazione cinetica (2.2) converge ver- so la soluzione di equilibrio molto rapidamente (in effetti esponenzialmente rispetto al tempo), fornisce anche una verifica sperimentale della correttezza
delle scelte di Boltzmann nella formulazione della sua equazione.
Ciascuno di noi ha in effetti modo di verificare quanto velocemente un gas si riporti verso la confi- gurazione di equilibrio, quando, dopo aver aperto una finestra provocando una corrente d'aria, la richiude ben sapendo che la corrente cesseraÁ imme- diatamente.
Questo aspetto della teoria cinetica ha conse- guenze importanti anche per le applicazioni ad am- biti differenti, inclusi quelli di cui andremo presto a parlare.
Dal momento che le proprietaÁ principali del gas, nonche la configurazione di equilibrio, ri- mangono invariate rispetto al cambio della fre- quenza con cui le molecole collidono, si consideri il caso in cui la frequenza di collisione eÁ costante, B(v w) n s=4p, con s > 0. In questo caso l'operatore di collisione si semplifica nella diffe- renza fra un operatore bilineare ed un operatore lineare
(2:9) Q f ; f v s
R3S2
f vg wdwdn rf v
!
;
e la soluzione di equilibrio M(v), eÁ individuata uni- vocamente dalla identitaÁ
M v 1 r
R3S2
M vM wdwdn:
(2:10)
In altre parole, lo stato di equilibrio del gas eÁ univocamente individuato, una volta fissate le quan- titaÁ macroscopiche r, U e T, dalle regole di intera- zione (2.3) tramite il termine di guadagno dell'ope- ratore di collisione. La struttura delle collisioni binarie (2.3) (livello microscopico) e i conseguenti invarianti di collisione (2.6) determinano univoca- mente la densitaÁ di equilibrio (livello macroscopico), data dalla (2.8).
3. ± Modelli cinetici per la distribuzione della ricchezza
Si consideri un mercato composto da un numero elevato di agenti, ciascuno dotato di reddito, che interagiscono per mezzo di transazioni finanziarie.
Volendo studiare come si evolve nel tempo la densitaÁ
f (w; t) degli agenti con reddito (o ricchezza) w 0, sfruttando l'analogia con la teoria cinetica dei gas descritta nella sezione precedente, eÁ sufficiente identificare gli agenti con le molecole, la ricchezza degli agenti con l'energia delle particelle e le tran- sazioni finanziarie fra due agenti con le collisioni binarie [28].
Questa scelta ha chiaramente dei punti di debo- lezza. Intanto, la numerositaÁ degli agenti operanti in un sistema economico, dell'ordine di 107, eÁ molto inferiore a quella delle molecole del gas, per cui la bontaÁ della scelta dell'approccio statistico non eÁ garantita. Inoltre, mentre le regole di collisione binaria (2.3) fra molecole sono determinate in modo univoco dalle leggi della meccanica, qualunque re- gola di transazione finanziaria si proponga eÁ larga- mente arbitraria, e in ogni caso manca delle caratte- ristiche di universalitaÁ che forzatamente le vengono assegnate.
CioÁ nonostante, poiche le regole di transazione assegnate a livello microscopico sono in grado di determinare univocamente, tramite l'approccio ci- netico, soluzioni macroscopiche di equilibrio, le ca- ratteristiche di queste soluzioni confrontate con quelle disponibili a partire dai dati osservati nelle economie reali, permettono di stabilire a posteriori la bontaÁ o meno delle regole fissate. In particolare, questo permette di individuare la tipologia e le caratteristiche delle transazioni che generano all'e- quilibrio code di potenza di Pareto, spiegando cosõÁin modo elementare sia la loro formazione che la loro persistenza.
I modelli per la distribuzione del reddito che andremo a descrivere sono stati e sono particolar- mente interessanti da studiare matematicamente anche in ragione della varietaÁ degli stati di equili- brio risultanti. A differenza della teoria cinetica dei gas, brevemente introdotta nella Sezione 2, per la quale l'equilibrio Maxwelliano (2.8) eÁ la densitaÁ di equilibrio universale delle velocitaÁ delle mole- cole, le densitaÁ di equilibrio generate dalle transa- zioni finanziarie possono essere molto diverse a seconda delle regole di transazione, e in generale non eÁ possibile determinarle in modo analitico. Di conseguenza, i risultati matematici ottenuti riesco- no a descrivere in modo preciso solo poche pro- prietaÁ accessibili analiticamente (momenti, rego- laritaÁ, ecc.) [26].
La costruzione di un modello cinetico di un mercato basato sulle interazioni tra agenti si basa su poche ipotesi largamente condivisibili. Per prima cosa, gli agenti sono considerati indistin- guibili, di modo che il loro stato ad ogni istante di tempo t 0 eÁ completamente caratterizzato dalla loro ricchezza w 0 in quell'istante. Secondo, la variazione nel tempo della ricchezza eÁ sostanzial- mente dovuta alle transazioni tra coppie di agenti.
La transazione rappresenta una interazione bina- ria in cui la parte della ricchezza che ciascun agente mette in gioco viene modificata in base a un preciso meccanismo valido per tutti. PiuÁ in dettaglio, quando due agenti A e B effettuano una transazione, le loro ricchezze v e w si modifi- cano e assumono i valori v e w in accordo a una regola di scambio lineare analoga alla (2.3), de- scritta in piena generalitaÁ dai quattro coefficienti di transazione p1, p2, q1 e q2
v p1v q1w; w p2v q2w:
(3:11)
Si noti che il coefficiente p1 (rispettivamente p2) rappresenta la percentuale della ricchezza v mes- sa in gioco dall'agente A che ritorna all'agente A (rispettivamente passa all'agente B). Analogo significato per i coefficienti q1 e q2, legati all'a- gente B.
Per meglio descrivere l'aleatorietaÁ spesso legata alle operazioni di tipo finanziario, nonche per evita- re transazioni in cui gli agenti possano perdere piuÁ di quanto hanno impegnato, come coefficienti di transazione si fissano dei parametri aleatori non negativi.
Una volta assegnate le regole di transazione, le analogie fra la teoria cinetica dei gas e la teoria cinetica per il sistema di agenti si completano scri- vendo la legge di evoluzione per la densitaÁ f f (w; t) della ricchezza w degli agenti. Fissando per sempli- citaÁ massa r 1, e una frequenza di collisione s 1, l'equazione di Boltzmann associata (l'analogo della (2.2)) si scrive [28]
(3:12) @
@t f w; t Q f ; f w; t
Q f ; f w; t f w; t:
Il termine di collisione Q eÁ operativamente de- scritto tramite la sua azione sulle quantitaÁ osserva- bili. Se v e w sono le ricchezze risultato della
transazione (3.11), per ogni fissato osservabile W W(w)
(3:13)
1
0
W wQ f ; f wdw
1 2
1
0
1
0
hW v W wif vf wdvdw:
Nella (3.13) e nel seguito, per ogni fissata quantitaÁ aleatoria u, ne indicheremo con hui il valor medio.
Come per l'equazione di Boltzmann (2.2), la va- riazione degli osservabili eÁ data dall'equazione
(3:14) d dt
1
0
W wf w; tdw
1
0
W wQ f ; f f w; tdw:
Dal momento che, se f (w) eÁ una densitaÁ di proba- bilitaÁ
1
0
W(w)f (w) dw 1 2
1
0
1
0
(W(v) W(w))f (v)f (w) dvdw:
Inserendo questa identitaÁ nella (3.14), e utilizzando la (3.13), si arriva a concludere che, come nel caso cinetico, le quantitaÁ W(w) invarianti rispetto alla transazione sono quelle per le quali
hW v W wi W v W w:
(3:15)
In aggiunta alla funzione W(w) 1, che chiaramente soddisfa la (3.15), e corrisponde alla conservazione della massa (f (w; t) rimane una densitaÁ di probabilitaÁ al variare del tempo se lo eÁ inizialmente), l'unico altro invariante di transazione significativo eÁ relativo alla scelta W(v) v. Le transazioni per le quali
hv wi v w (3:16)
caratterizzano un sistema di agenti con ricchezza media conservata (l'analogo di un gas ideale a mole- cole perfettamente elastiche per il quale si conserva l'energia). Detta m(t) la ricchezza media al tempo t 0
m(t)
1
0
wf (w; t) dw m(t 0) m0:
Al di laÁ del fatto che un mercato a ricchezza media conservata non eÁ realistico, poiche i sistemi econo- mici sono caratterizzati da fasi di crescita (o di decrescita) della ricchezza media, dal punto di vista modellistico questa scelta permette di sfruttare fino in fondo le analogie con la teoria cinetica dei gas rarefatti, inclusa la parte che riguarda la convergen- za verso l'equilibrio della densitaÁ f (w; t) della ric- chezza degli agenti, nonche la determinazione delle proprietaÁ macroscopiche di tale equilibrio.
A questo proposito, tenendo in conto ancora una volta le analogie con la teoria cinetica dei gas, ed in particolare i risultati di Villani [35], possiamo ragionevolmente supporre che la velocitaÁ con cui la soluzione dell'equazione cinetica (3.12) si porta sulla soluzione di equilibrio sia molto maggiore della velocitaÁ con cui nel sistema economico even- tualmente varia la ricchezza media. Questo garan- tisce che per la maggior parte del tempo il sistema economico si trova vicino ad una configurazione di equilibrio.
La relazione (3.16) eÁ soddisfatta sostanzialmente in due casi che descrivono situazioni finanziarie molto diverse. Il primo caso corrisponde a transa- zioni puntualmente conservative, cioeÁ transazioni (3.11) che verificano la condizione
v w v w:
Nelle transazioni puntualmente conservative la quantitaÁ totale di denaro oggetto della transazione rimane invariata. Uno degli agenti guadagna, l'altro perde.
Il secondo caso corrisponde a transazioni conser- vative in media, cioeÁ transazioni in cui, mentre in generale
v w6 v w;
la (3.16) rimane verificata prendendone la media. In altre parole, dalla singola transazione entrambi gli agenti possono ricavare un guadagno (o una perdi- ta). In questo caso ad essere conservata eÁ solo la quantitaÁ di denaro dell'intero sistema. Risulta evi- dente che la possibilitaÁ per entrambi gli agenti di trarre guadagno dalla transazione, rende la stessa molto piuÁ realistica.
Dal punto di vista modellistico, le prime transa- zioni ad essere introdotte sono state di tipo puntual- mente conservativo. In una serie di lavori dei primi anni duemila, a partire da [18], la scuola indiana
facente capo a Bikas Chakrabarti [11, 12, 13, 14] ha considerato transazioni con coefficienti dati da
p1 1 l(1 e); q1 le;
p2 l(1 e); q2 1 le:
Tali coefficienti sono caratterizzati dalla presenza di un parametro 0 < l < 1, e da una variabile casuale e, distribuita ad esempio in modo uniforme sull'inter- vallo [0; 1]. Il parametro l, che puoÁ essere sia co- stante che dipendente dalla ricchezza personale degli agenti, caratterizza il cosiddetto indice di salvaguardia, e nasce dalla considerazione che nes- sun agente rischierebbe tutta la sua ricchezza in un'unica transazione.
Il caso limite l 1 corrisponde infatti a un mo- dello di gioco (d'azzardo) nel quale
v e v w; w 1 e v w:
(3:17)
In questa transazione, la posta in gioco v w viene ripartita sulla base di una percentuale aleatoria data dalla variabile e. Come vedremo, per la sua relativa semplicitaÁ, il modello cinetico ottenuto dalla (3.17) puoÁ essere studiato in dettaglio, e le corrispondenti soluzioni di equilibrio in vari casi si ottengono in modo esplicito [2].
Nel 2005, alla fine di uno studio condotto in collaborazione con Lorenzo Pareschi e Stephane Cordier, il concetto di indice di salvaguardia eÁ stato associato al concetto di rischio [15]. I coefficienti considerati in [15] sono del tipo
p1 1 l h; q1 l; p2 l; q2 1 l ~h:
In aggiunta al parametro 0 < l < 1, i coefficienti di transazione vedono la presenza di due variabili aleatorie h e ~h, indipendenti ed equidistribuite, di media nulla e tali da garantire la positivitaÁ di p1e q2. Poiche in questo caso
v w v w hv ~hw 6 v w;
le transazioni sono conservative solo in media. La presenza del contributo hv nel risultato della tran- sazione per l'agente a ricchezza v (rispettivamente
~hw per l'agente a ricchezza w), rappresenta la com- ponente di rischio (aleatoria) presente nella transa- zione.
Lo stesso effetto puoÁ essere ottenuto nel gioco (3.17) sostituendo l'unica variabile aleatoria e con due variabili aleatorie h e ~h a valori positivi, indipen-
denti e con la stessa legge, di modo che v h v w; w ~h v w;
(3:18)
con h e ~h soggette alla condizione hhi h~hi 1=2.
Anche in questo caso, infatti
v w (h ~h)(v w) 6 v w;
e le transazioni sono conservative solo in media.
4. ± Perche le code di Pareto?
La maggior parte delle ricerche citate nella se- zione precedente, oltre alla parte modellistica con- tenente la descrizione del modello cinetico e delle sue proprietaÁ, dedicava ampio spazio allo studio numerico della soluzione, cercando di estrarre dalle simulazioni numeriche indicazioni il piuÁ possibile precise sulla possibile formazione di code di potenza.
In generale, i metodi numerici piuÁ utilizzati per descrivere questi modelli cinetici sono i metodi di tipo Monte Carlo [28], particolarmente adatti a simulare interazioni binarie con coefficienti aleatori in un sistema con un numero elevato ma finito di agenti.
Verificare che la soluzione (numerica) dell'equa- zione cinetica tende a formare code polinomiali eÁ oggettivamente un problema molto complesso. In- fatti le code (di potenza) della distribuzione si for- mano in ragione della presenza di pochi agenti con ricchezze elevate, caratteristica che determina gros- se oscillazioni della soluzione discreta dell'equazione cinetica nella parte della distribuzione lontana dallo zero.
In altre parole, il metodo numerico non eÁ risolu- tivo esattamente nella zona in cui dovrebbe esserlo.
Una risposta precisa sul comportamento della soluzione per tempi lunghi poteva venire solo da uno studio matematico rigoroso del problema gene- rale, o, in alternativa, dalla ricerca di soluzioni esplicite di equilibrio per modelli cinetici di tipo Boltzmann il piuÁ possibile semplificati.
Una prima risposta eÁ stata ottenuta nel 2008 in collaborazione con Daniel Matthes [26] (vedi anche [19, 20, 28]). Se si assume come modello cinetico per l'evoluzione della ricchezza l'equazione di Boltzmann (3.12), le code di potenza di Pareto si possono forma- re solo in presenza di collisioni conservative in
media. Le collisioni puntualmente conservative danno infatti luogo ad una distribuzione di equilibrio che ha tutti i momenti finiti (l'analogo della distri- buzione Maxwelliana (2.8)).
Nel caso delle collisioni conservative in media introdotte in [15], la formazione delle code, e la determinazione del corrispondente indice di Pareto dipendono esclusivamente dalla legge di distribu- zione delle variabili di rischio h e ~h. In altre parole, nel modello cinetico a transazioni binarie, la forma- zione delle code eÁ conseguente al fatto che le tran- sazioni presentano un certo grado di rischio. Elimi- nando il rischio si eliminano anche le code.
Il modello cinetico di puro gioco, ottenuto con transazioni del tipo (3.17), permette un'analisi detta- gliata delle soluzioni di equilibrio, fornendo in molti casi soluzioni esplicite che confermano la differenza sostanziale fra transazioni puntualmente conserva- tive e transazioni conservative in media [2].
Come descritto nella Sezione 2, le soluzioni di equilibrio del modello cinetico (3.12) sono le densitaÁ di probabilitaÁ soluzioni dell'equazione
f w Q f ; f w:
(4:19)
La ricerca delle soluzioni della (4.19) passa attraver- so la possibilitaÁ di utilizzare trasformate di Laplace, rendendo in questo modo il problema relativamente piuÁ semplice [2]. Senza entrare nei dettagli, si rico- nosce che la (4.19) eÁ risolubile esplicitamente per opportune scelte delle variabili aleatorie e in (3.17) (rispettivamente h e ~h in (3.18)).
Rimandando a un qualunque testo classico di Calcolo delle ProbabilitaÁ (o a Wikipedia) per ulterio- ri approfondimenti su alcune classiche densitaÁ di probabilitaÁ, ricordo che una variabile aleatoria eÁ di tipo Beta con parametri a; b > 0 (in breve Beta(a; b)) se la sua densitaÁ eÁ data da
ba;b(x) G(a b)
G(a)G(b)xa 1(1 x)b 1; 0 x 1:
Nel caso in cui le transazioni sono puntualmente conservative, e la variabile casuale e in (3.17) eÁ una variabile aleatoria simmetrica di tipo Beta(a; a), lo stato di equilibrio dell'equazione (3.12) (la soluzione della (4.19)) risulta essere una distribuzione Gamma
f1(w) 1
G(a) aawa 1exp f awg; w 0:
Viceversa, nel caso in cui le transazioni sono conser- vative solo in media, e sia (4h) 1che (4~h) 1nella (3.18) sono variabili aleatorie Beta(a 1=2; a 1=2), con a > 1, cosiccheÁ hh ~hi 1, la soluzione di equilibrio risulta essere una distribuzione Gamma inversa, cioeÁ (4:20) f1 w a 1a
G a
1
wa1 exp f a 1=wg;
w 0:
A differenza del primo caso, nella (4.20) sono perfet- tamente riconoscibili le code di potenza.
EÁ interessante osservare che la funzione (4.20) ottenuta dallo studio di un modello cinetico elemen- tare coincide con la funzione di equilibrio (la trottola sociale) originariamente studiata da Amoroso [1], e successivamente ripresa da D'Addario [16, 17]. Que- sta osservazione giustifica ancor di piuÁ l'interesse verso i modelli matematici, i quali, una volta rispet- tate le caratteristiche essenziali del fenomeno, pur essendo molto semplificati rispetto alla realtaÁ, sono in grado di riprodurre la stessa con buona approssi- mazione.
Come evidenziato dalla realtaÁ economica in cui viviamo, le code di Pareto sono un fenomeno stabile, che permane anche in presenza di tassazione. Una verifica di questa proprietaÁ eÁ stata ottenuta dal punto di vista modellistico considerando equazioni cinetiche del tipo Boltzmann in presenza di termini atti a simulare la tassazione, cioeÁ il prelievo di una parte della ricchezza, con successiva redistribuzione al fine di mantenere la conservazione della ricchezza media [4, 23, 33].
5. ± Qualche conclusione
A vent'anni dalla nascita ufficiale della ricerca nell'ambito dell'econofisica, possiamo dire con cer- tezza che la modellistica fisico-matematica dei siste- mi socio-economici eÁ un utile strumento di verifica e previsione, duttile e relativamente facile da imple- mentare al fine di ottenere soluzioni numeriche anche in presenza di molti parametri.
Gli strumenti matematici utilizzati, essenzial- mente nascosti in questa breve esposizione, sono purtroppo solo in parte accessibili anche a studiosi di discipline non strettamente scientifiche. Per questa ragione, al momento il contributo che le motivazioni
economiche hanno reso alla ricerca matematica e fisica sono prevalenti rispetto alle potenzialitaÁ che tale ricerca potrebbe avere nel campo dell'economia.
In ogni caso, attingendo a problemi classici di eco- nomia, la teoria cinetica ha sviluppato in questi anni nuovi argomenti e nuove tecniche, che ne hanno evidenziato le sue solide basi.
Infatti, come ampiamente evidenziato in [27, 28], le applicazione della teoria cinetica vanno oggi dagli ambiti economici a quelli sociali e biologici, e sono complementari ad altri approcci di tipo fisico e matematico, quale quello rappresentato dalle equa- zioni di reazione-diffusione.
La ricerca sui temi della distribuzione della ric- chezza eÁ tuttora molto fervida, e mira ad introdurre aspetti piuÁ realistici che se da un lato rendono i modelli piuÁ complicati, dall'altro sono in grado di descrivere al meglio i principali fenomeni connessi con le economie di mercato.
Ad esempio, al fine di differenziare le transazioni finanziarie fra agenti da quelle delle molecole, si sono rese le stesse dipendenti da variabili legate ad aspetti piuÁ strettamente sociali [28]. Fra questi, l'opinione e la conoscenza personale degli agenti hanno sicuramente un ruolo attivo. Risultati inte- ressanti in questa direzione sono stati ottenuti solo recentemente [25] tenendo in conto l'opinione degli agenti nelle transazioni. Infine, il ruolo della cono- scenza nella (ineguale) distribuzione della ricchezza eÁ stato analizzato in [29] considerando transazioni il cui esito eÁ legato al grado personale di conoscenza degli agenti.
R I F E R I M E N T I B I B L I O G R A F I C I
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Professore di Fisica Matematica presso l'UniversitaÁ di Pavia. I suoi principali interessi di ricerca riguardano la teoria cinetica dei gas, le equazioni a derivate parziali di tipo parabolico, e la modellazione matematica di sistemi socio-economici. Sull'ultimo argomento ha di recente scritto, in collaborazione con L. Pareschi, il libro ``Interacting Multiagent Systems, Kinetic equations Monte Carlo Methods'', edito dalla Oxford University Press.
Giuseppe Toscani
