Doppi Bipoli

Doppi Bipoli

Matrice R (Rappresentazione controllata in corrente)

Per ricavare R11 ed R21 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 1 ed 1', lasciare aperti i morsetti 2 e 2' (i2 = 0) e calcolare v1 e v2.

Per ricavare R21 ed R22 si deve applicare un generatore di corrente tra 2 e 2', lasciare aperti i morsetti 1 ed 1' (i1 = 0) e calcolare v1 e v2.

{













R₁₁= v₁ i₁

∣

R₁₂= v₁ i₂

∣

R₂₁= v₂ i₁

∣

R₂₂= v₂ i₂

∣

R11 ed R22 prendono il nome di “Resistenza Propria”, mentre R12 ed R21 di “Resistenza Mutua”.

Matrice G (Rappresentazione controllata in tensione)

Per ricavare G11 e G21 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 1 ed 1', collegare i morsetti 2 e 2' tramite un corto circuito (v2 = 0) e calcolare i1 ed i2.

Per ricavare G12 e G22 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 2 e 2', collegare i morsetti 1 ed 1' tramite un corto circuito (v1 = 0) e calcolare i1 ed i2.

{













G₁₁= i₁ v₁

∣

G₁₂= i₁ v₂

∣

G₂₁= i₂ v₁

∣

G₂₂= i₂ v₂

∣

G11 e G22 prendono il nome di “Conduttanza Propria”, mentre G12 e G21 di “Conduttanza Mutua”.

Figura 1: Esempio di un doppio bipolo

V₁ V₂

I₁ I₂

Esempio a pagina 7

Esempio a pagina 8

Matrice H (Rappresentazione ibrida)

Per ricavare H11 ed H21 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 1 e 1', collegare i morsetti 2 e 2' tramite un corto circuito (v2 = 0) e calcolare v1 ed i2.

Per ricavare H12 ed H22 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 2 e 2', lasciare aperti i morsetti 1 ed 1' (i1 = 0) e calcolare v1 ed i2.

{













H₁₁= v₁ i₁

∣

H₁₂= v₁ v₂

∣

H₂₁= i₂ i₁

∣

H₂₂= i₂ v₂

∣

H11 = Resistenza di ingresso H12 = Guadagno di tensione H21 = Guadagno di corrente H22 = Conduttanza di ingresso

Matrice H' (Rappresentazione ibrida inversa)

Per ricavare H'11 ed H'21 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 1 ed 1', lasciare aperti i morsetti 2 e 2' (i2 = 0) e calcolare i1 e v2.

Per ricavare H'12 ed H'22 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 2 e 2', collegare i morsetti 1 ed 1' tramite un corto circuito (v1 = 0) e calcolare i1 e v2.

{













H '₁₁= i₁ v₁

∣

H '₁₂= i₁ i₂

∣

H '₂₁= v₂ v₁

∣

H '₂₂= v₂ i₂

∣

H11 = Conduttanza di ingresso H12 = Guadagno di corrente H21 = Guadagno di tensione H22 = Resistenza di ingresso

Matrice T (Rappresentazione con matrice di trasmissione)

Le grandezze della porta (2-2') sono variabili indipendenti, mentre quelle della porta (1-1') sono dipendenti.

Per ricavare A e C, si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 1 ed 1', lasciare aperti i morsetti 2 e 2' (i2 = 0) e calcolare v1 ed i1.

Per ricavare B e D, si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 1 ed 1', collegare i morsetti 2 e 2' tramite un corto circuito (v2 = 0) e calcolare v1 ed i1.

{













A = v₁ v₂

∣

B = v₁

−i₂

∣

C = i₁ v₂

∣

D = i₁

−i₂

∣

A = Guadagno di tensione B = Transresistenza diretta C = Transconduttanza diretta D = Guadagno di corrente

Matrice T' (Rappresentazione con matrice di trasmissione inversa)

Le grandezze della porta (1-1') sono variabili indipendenti, mentre quelle della porta (2-2') sono dipendenti.

Per ricavare A' e C', si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 2 e 2', lasciare aperti i morsetti 1 ed 1' (i1 = 0) e calcolare v2 ed i2.

Per ricavare B' e D', si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 2 e 2', collegare i morsetti 1 ed 1' tramite un corto circuito (v1 = 0) e calcolare v2 ed i2.

{













A ' = v₂ v₁

∣

B ' = v₂

−i₁

∣

C ' = i₂ v₁

∣

D ' = i₂

−i₁

∣

A = Guadagno di tensione B = Transresistenza diretta C = Transconduttanza diretta D = Guadagno di corrente

Trasformazioni tra le rappresentazioni

R G H H' T T'

R

G₂₂

G −G₁₂

G

−G₂₁

G G₁₁

G

H H₂₂

H₁₂ H₂₂

−H21

H₂₂ 1 H₂₂

1

H '₁₁ −H '₁₂ H '₁₁ H '21

H '₁₁

H ' H '₁₁

A C

T C 1 C

D C

D ' C '

1 C '

T ' C '

A ' C '

G

R₂₂

R −R₁₂

R

−R₂₁

R R₁₁

R

1 H₁₁ −H₁₂

H₁₁ H21

H₁₁

H H₁₁

H ' H '₂₂

H '₁₂ H '₂₂

−H '21

H '₂₂ 1 H '₂₂

D B −T

B

−1 B

A B

A ' B ' −1

B '

−T ' B '

D ' B '

H

R R₂₂

R₁₂ R₂₂

−R21

R₂₂ 1 R₂₂

1 G₁₁ −G₁₂

G₁₁ G21

G₁₁

G G₁₁

H '22

H ' −H '12

H '

−H '₂₁

H ' H '₁₁

H '

B D

T D

−1 D

C D

B ' A '

1 A '

−T ' A'

C ' A '

H'

1 R₁₁ −R₁₂

R₁₁ R21

R₁₁

R R₁₁

G G₂₂

G₁₂ G₂₂

−G21

G₂₂ 1 G₂₂

H₂₂

H −H₁₂

H

−H₂₁

H H₁₁

H

C A −T

A 1 A

B A

C ' D ' − 1

D '

T ' D '

B ' D '

T

R₁₁ R₂₁

R R₂₁ 1 R₂₁

R₂₂ R₂₁

−G₂₂ G₂₁ − 1

G₂₁

−G G₂₁ −G₁₁

G₂₁

−H H₂₁ −H₁₁

H₂₁

−H₂₂ H₂₁ − 1

H₂₁ 1 H '₂₁

H '₂₂ H '₂₁ H '₁₁ H '₂₁

H ' H '₂₁

D '

T ' B '

T ' C '

T ' A'

T '

T'

R₂₂ R₁₂

R R₁₂ 1 R₁₂

R₁₁ R₁₂

−G₁₁ G₁₂ − 1

G₁₂

−G G₁₂ −G₂₂

G₁₂

1 H₁₂

H₁₁ H₁₂ H₂₂ H₁₂

H H₁₂

−H ' H '12

−H '22

H '12

−H '11

H '₁₂ − 1 H '₁₂

D

T B

T C

T A

T

N.B. : Per poter trasformare una rappresentazione in un' altra è necessario che i denominatori delle frazioni siano diversi da zero.

Potenza totale assorbita da un doppio bipolo

P_totale = V₁I₁V₂I₂

Il bipolo si dice passivo se per ogni insieme di tensioni e correnti che soddisfano le equazioni costitutive si ha: Ptotale > 0.

Reciprocità e simmetria

Un doppio bipolo è reciproco se date due coppie diverse di tensioni e correnti, che soddisfano le relazioni costitutive, se inverto le porte di ingresso e di uscita il circuito non cambia.

La simmetria è la proprietà per cui se inverto le porte di ingresso e di uscita il comportamento del bipolo non cambia. Un bipolo simmetrico è anche reciproco, ma non vale il contrario.

Rappresentazione Condizione di reciprocità e simmetria

Matrice R R₁₂=R₂₁ (simmetrico se anche R11 = R22)

Matrice G G₁₂=G₂₁ (simmetrico se anche G11 = G22)

Matrice H H₁₂= −H₂₁ (simmetrico se anche: det(H) = 1)

Matrice H' H '₁₂= − H '₂₁ (simmetrico se anche: det(H') = 1)

Matrice T determinante di T = 1 (simmetrico se anche A = D)

Matrice T' determinante di T' = 1 (simmetrico se anche A' = D')

A DA

NOTA BENE

Di seguito si usa la seguente convenzione:

• v1 ed i1 sono la tensione e la corrente entranti al collegamento tra i due bipoli (ovvero i1 è la corrente che circola in ingresso sulla linea nera più in alto e v1 è la tensione in ingresso tra la linea nera più in basso e quella più in alto)

• v2 ed i2 sono la tensione e la corrente uscenti dal collegamento tra i due bipoli (ovvero i2 è la corrente che circola in uscita sulla linea nera più in alto e v2 è la tensione in uscita tra la linea nera più in basso e quella più in alto)

Collegamento di doppi bipoli in serie

Quando i bipoli sono collegati in serie, hanno le stesse correnti ai capi delle porte.

i₁=i_{1 bipolo1}=i_{1 bipolo 2} i₂=i_{2 bipolo 1}=i_{2 bipolo 2} Bisogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in serie la rappresentazione con la matrice R.

Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in serie si farà la somma delle matrici R e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale:







R_{21 bipolo1} R_{21bipolo 2} R_{22 bipolo1}R22 bipolo 2







Collegamento di doppi bipoli in parallelo

Quando i bipoli sono collegati in parallelo, hanno le stesse tensioni ai capi delle porte.

v₁=v_{1 bipolo 1}=v_{1 bipolo 2} v₂=v_{2 bipolo 1}=v_{2 bipolo 2}

Bisogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in parallelo la rappresentazione con la matrice G.

Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in parallelo si farà la somma delle matrici G e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale:













Collegamento di doppi bipoli in cascata

Quando i bipoli sono collegati in cascata, la corrente entrante in un bipolo è la stessa che esce dal bipolo precedente.

Bisogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in cascata la rappresentazione con la matrice T.

Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in cascata si farà la moltiplicazione delle matrici T e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale:

























Bipolo 1

Bipolo 2

Bipolo 1

Bipolo 2

Bipolo 1 Bipolo 2

Trasformatore ideale

Un caso particolare di doppio bipolo è il trasformatore ideale, che è in grado di modificare le tensioni e le correnti che sono poste in ingresso, amplificandole o smorzandole in uscita.

Il circuito posto alla sinistra del trasformatore si chiama “circuito primario”, mentre quello posto a destra si chiama “circuito secondario”.

Le relazioni di tensioni e correnti tra primario e secondario sono:

v₂=t v₁ i₂= − v₁

t

t é il coefficiente di trasformazione da primario a secondario

Da queste relazioni è possibile ricavare una tabella pratica per le operazioni di trasporto dei componenti dal primario al secondario e viceversa:

t è il coefficiente di trasformazione da primario a secondario. In caso di coefficiente (a:b) → t = b/a

Da Primario A Secondario Da Secondario A Primario

R  Resistenza _{R⋅ t}² R  Resistenza R

t²

A corrente ^A

t A corrente A⋅t

E tensione E ⋅t E tensione ^E

t

Il trasformatore ideale non assorbe potenza e permette di cambiare il valore della tensione senza modificare la potenza complessiva del sistema:

P_assorbita=v₁i₁t v₁





primario t

V₁ V₂ oppure V₁ V₂

a : b

secondario

primario secondario

Esempio di Matrice R (per doppio bipolo a T)

1. Ricavo R11 ed R21:

Collego un generatore di corrente a sinistra del doppio bipolo e lascio aperta l'altra coppia di morsetti. I1 è la corrente imposta dal generatore di corrente ed I2 = 0, per cui tolgo anche R3.

v₁= R₁R₂i₁  Legge di Kircchoff alla maglia

v₂=R₂i₁  Legge di Ohm

Posso trovare R11 ed R21:

R₁₁= R₁ R₂i₁

i₁ = R₁ R₂ R₂₁= R₂i₁ i₁ = R₂ 2. Ricavo R12 ed R22:

Collego un generatore di corrente a destra del doppio bipolo e lascio aperta l'altra coppia di morsetti. I2 è la corrente imposta dal generatore di corrente ed I1 = 0, per cui tolgo anche R1.

v₁= R₂i₂  Legge di Ohm

v₂= R₂ R₃i₂  Legge di Kircchoff alla maglia

Posso trovare R12 ed R21: R₁₂= R₂i₂

i₂ =R₂ R₂₂=R₂R₃i₂

i₂ = R₂ R₃ 3. Il sistema finale in forma matriciale è:













Teoria a pagina 1

Esempio di matrice G (Per doppio bipolo a Π)

1. Ricavo G11 e G21:

Collego un generatore di tensione a sinistra del doppio bipolo e un corto circuito a destra. V1 è la tensione imposta dal generatore E1, mentre V2 = 0. Dato che R2 è in parallelo con un corto circuito, la tolgo e la corrente I2 sarà quella che scorre in R3.

i₁=v₁⋅



 1

R₃



R₁R₃

i₂= −v₁⋅ 1 R₃

Posso trovare G11 e G21:

G₁₁=

v₁⋅



 1 R₃



v₁ =



 1

R₃



1 R₃

v₁ = − 1 R₃ 2. Ricavo G12 e G22:

Collego un generatore di tensione a destra del doppio bipolo e un corto circuito a sinistra. V2 è la tensione imposta dal generatore E2, mentre V1 = 0. Dato che R1 è in parallelo con un corto circuito, la tolgo e la corrente I1 sarà quella che scorre in R3.

i₁= −v₂⋅ 1

R₃ i₂=v₂⋅



 1 R₃



Posso trovare G12 e G22:

G₁₂= − v₂⋅ 1

R₃

v₂ = − 1

R₃ G₂₂=

v₂⋅



 1 R₃



v₂ =



 1 R₃



3. Il sistema finale in forma matriciale è:









^

^

Teoria a pagina 1

Promemoria G = 1 / R

Serie:

G₁₂ = 1 / (R₁ + R₂) Parallelo:

G₁₂ = 1/R₁ + 1/R₂ Legge di Ohm

I = G V