Esercizio 2 Risolvere il circuito con il metodo delle correnti di maglia.

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Esercizio 2

Risolvere il circuito con il metodo delle correnti di maglia.

Svolgimento

Stabiliamo i versi delle tensioni e delle correnti. Nella figura seguente sono indicate anche le correnti di maglia.

`

Scriviamo le equazioni (una per maglia) in base al secondo principio di Kirchhoff.

{

−𝐸 ₁ + 𝑅 ₁ 𝐼 _𝑚1 − 𝑅 ₂ 𝐼 ₂ = 0 𝑅 ₂ 𝐼 ₂ + 𝑅 ₃ 𝐼 _𝑚2 − 𝐸 ₂ = 0

Abbiamo un sistema di due equazioni in tre incognite. Dobbiamo trovare la corrente I ₂ in funzione delle correnti di maglia. Applichiamo il primo principio di Kirchhoff al nodo A.

𝐼 ₁ + 𝐼 ₂ − 𝐼 ₃ = 0 𝐼 ₂ = 𝐼 ₃ − 𝐼 ₁ Ma

𝐼 ₃ = 𝐼 _𝑚2 𝑒 𝐼 ₁ = 𝐼 _𝑚1 Quindi:

𝐼 ₂ = 𝐼 _𝑚2 − 𝐼 _𝑚1 Sostituendo nel sistema:

{

−𝐸 ₁ + 𝑅 ₁ 𝐼 _𝑚1 − 𝑅 ₂ (𝐼 _𝑚2 − 𝐼 _𝑚1 ) = 0 𝑅 ₂ (𝐼 _𝑚2 − 𝐼 _𝑚1 ) + 𝑅 ₃ 𝐼 _𝑚2 − 𝐸 ₂ = 0 +

+ +

+ +

I

I

I

I

I

A

2 {

−𝐸 ₁ + 𝑅 ₁ 𝐼 _𝑚1 − 𝑅 ₂ 𝐼 _𝑚2 + 𝑅 ₂ 𝐼 _𝑚1 = 0 𝑅 ₂ 𝐼 _𝑚2 − 𝑅 ₂ 𝐼 _𝑚1 + 𝑅 ₃ 𝐼 _𝑚2 − 𝐸 ₂ = 0

{

(𝑅 ₁ + 𝑅 ₂ )𝐼 _𝑚1 − 𝑅 ₂ 𝐼 _𝑚2 = 𝐸 ₁

−𝑅 ₂ 𝐼 _𝑚1 + (𝑅 ₂ + 𝑅 ₃ )𝐼 _𝑚2 = 𝐸 ₂ Sostituendo i valori numerici:

{

(10 + 20)𝐼 _𝑚1 − 20𝐼 _𝑚2 = 25

−20𝐼 _𝑚1 + (20 + 5)𝐼 _𝑚2 = 10

{

30𝐼 _𝑚1 − 20𝐼 _𝑚2 = 25

−20𝐼 _𝑚1 + 25𝐼 _𝑚2 = 10

→ {

6𝐼 _𝑚1 − 4𝐼 _𝑚2 = 5

−4𝐼 _𝑚1 + 5𝐼 _𝑚2 = 2 Risolviamo col metodo di Cramer:

𝐼 _𝑚1 =

| 5 −4 2 5 |

| 6 −4

−4 5 |

= 5 ∙ 5 − (−4)(2)

6 ∙ 5 − (−4)(−4) = 25 + 8 30 − 16 = 33

14 = 2.36𝐴

𝐼 _𝑚2 =

| 6 5

−4 2 |

| 6 −4

−4 5 |

= 6 ∙ 2 − 5(−4)

6 ∙ 5 − (−4)(−4) = 12 + 20 30 − 16 = 32

14 = 2.28𝐴

Quindi:

𝐼 ₁ = 𝐼 _𝑚1 = 2.36𝐴 𝑉 ₁ = 𝑅 ₁ 𝐼 ₁ = 10 ∙ 2.36𝑉 = 23.6𝑉

𝐼 ₂ = 𝐼 _𝑚2 − 𝐼 _𝑚1 = (2.28 − 2.36)𝐴 = −0.08𝐴 𝑉 ₂ = 𝑅 ₂ 𝐼 ₂ = −20 ∙ 0.08 = −1.6𝑉 𝐼 ₃ = 𝐼 _𝑚3 = 2.28𝐴 𝑉 ₃ = 𝑅 ₃ 𝐼 ₃ = 5 ∙ 2.28𝑉 = 11.4𝑉

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Matilde Consales