Trasformando il sistema con le opportune unità di misura
(
K ,m,K/m)
, si ha:Il sistema si presenta complessivamente una volta iperstatico, come si dimostra dalla relazione:
(
3 2 1 1)
0 1 23
3t−s=l−i → ⋅ − + + + = −
essendo esternamente iperstatico e internamente una volta labile.
Declassando (ad esempio) il carrello in E, il sistema resta complessivamente isostatico non
esistendo il centro assoluto del tronco ABC e di conseguenza non esistendo il centro assoluto per il tronco EDFG.
Declassando quindi il carrello in E, si ottiene il sistema equivalente
Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si ottengono rispettivamente il Sist. (0) e il Sist. (1)
Sist. (0)
Sist. (1)
Calcolando le reazioni vincolari dei rispettivi sistemi, si ha:
Sist. (0)
( )
( )
=
=
=
−
=
⇒
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
⋅ +
=
− +
= +
5 , 7
50 5 , 32
5 , 7
0 1 5 , 7 1 :
.
0 2 5 , 7 2 40 2 :
0 40 0 5 , 7
G A A A
G EDFG
G A G A A
y M
y x
y D
M A E
y M A M
y y x
Sist. (1)
( )
( )
=
−
=
−
=
=
⇒
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅ +
= + +
=
1 6 2 0
0 1 1 1 :
. .
0 4 1 2 :
0 1 0
G A A A
G EDFG
G A G A A
y M
y x
y D
M A E
y M A M
y y x
Riassumendo i due sistemi equilibrati si presentano come segue:
Sist. (0)
Sist. (1)
Poiché lo svolgimento dell’esercizio prevede di trascurare gli effetti deformativi dovuti a taglio e sforzo normale, per il calcolo dell’incognita iperstatica, considereremo prioritariamente il calcolo del momento flettente nel sistema 1 per i soli tratti ove esprime contributo.
Infatti dall’equazione di congruenza (Mueller-Breslau)
11 10
11 10
1 0
η η
η η
η
−
=
= +
=
X
X
ricordando che: =
∫
S =∫
S dsEJ M ds M
EJ M
M 1 1
11 1
0
10 , η
η
TRATTO M0 M1 M0M1 2
M1
AB 3
0≤ z ≤ 32,5z−50−5z2 6 −2z 10z3 −95z2 +295z−300 36−24z +4z2 FD
1
0≤ z≤ 7,5z−7,5 z 7,5z2 −7,5z z2
ED 1
0≤ z≤ 0 z 0 z2
E sostituendo nell’equazione di congruenza, si ha:
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
K
X
z z
z z
z z
z z
z z
X
dz z dz z
z
dz z z
dz z
z z
X
ds M
ds M M EJ ds
M M
EJ ds M M X
S S
S S
170 , 6 110 3
25 , 226
3 110
25 , 226
3 108 2 108 36
75 , 3 5 , 2 2 900
855 2655 2
405
3 36 2
3 12 4
75 , 3 5 , 2 2 300
295 3
95 2
5
2 36
24 4
5 , 7 5 , 7 300
295 95
10
1
0 3 3
0 2
3
1 0 2 3
3
0 2
3 4
1
0 2 3
0 2
1
0 2 3
0
2 3
2 1
1 0 1
1 1 0
11 10
=
⋅
=
=
= +
+
−
− +
− +
−
−
=
+
− +
−
+
− + −
−
=
= +
+
−
− +
− +
−
−
=
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
η η
Applicando quindi il principio di sovrapposizione degli effetti, calcoliamo le restanti reazioni vincolari del sistema iperstatico iniziale:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 7,5 6,170
( )
1 13,6798 , 12 6 170 , 6 50
16 , 20 2 170 , 6 5 , 32
5 , 7
1 0
0 1 0 1 0 1
=
⋅ +
=
⋅ +
=
−
⋅ +
=
⋅ +
=
−
⋅ +
=
⋅ +
−
=
⋅ +
G G
A A
A A
A A
y X y
M X M
y X y
x X x
Riassumendo, il sistema iperstatico risulta così equilibrato:
Diagrammi
Sezione T rovescia
Nel punto maggiormente sollecitato della struttura si ha :
K
K
T
Kcm M
5 , 7
16 , 20
1298
+
= +
=
−
=
Ricordando le formule che esprimono le tensioni normali e tangenziali :
b I y TS
I M A
x x x
x z
z = σ = τ =
σ , ,
( )
( )
4 3 2
3 2
2 2
313 , 2 998
6 2 2
12
36 , 23 2
975 , 2 6
2
2 2
cm h y
H bh bh
H y BH BH
I
cm bh
BH A
bh cm BH
h H bh y BH
G G
x G
G =
− −
−
−
− +
=
=
−
=
− =
−
= −
ne calcoleremo i valori nei punti più significativi ( A , B , C , D )
( )
( )
( )
2 2
2 2
069 , 9 975
, 1298 6
029 , 8 175
, 313 6 , 998
1298 0
935 , 16 025
, 313 13 , 998
1298 321 , 36 0
, 23
5 , 7
y K
M
cm y K
I M
cm y K
I M
cm y K
I M
cm K
A
x C x
x C
B x
x B
A x
x A
−
− =
=
=
−
− =
=
=
=
=
+
=
− −
=
=
+
= +
=
=
σ σ σ σ σ
σA =17,256
σD = - 8,748
Analisi delle tensioni tangenziali τzy
0 0
328 , 8 1
, 0
575 , 6 8 , 0 10 313 , 998
16 , 20
106 , 10 0
575 , 6 8 , 0 10 313 , 998
16 , 20
713 , 8 1
, 0
175 , 6 4 , 0 575 , 6 8 , 0 10 313 , 998
16 , 20
0 0
) ( ) 2
( ) 2 (
2 2
) (
=
=
⋅
=
+
⋅ =
⋅ ⋅
= +
⋅
=
+
⋅ =
⋅ ⋅
= +
⋅
=
+
⋅ = +
⋅
⋅ ⋅
= +
⋅
=
=
=
⋅
=
D x x
x D
x x AIMA C
x x ALA C
x x B
A x x
x A
S poichè b
S I T
cm K
b S I T
cm K
b S I T
cm kg b
S I T
S poichè b
S I T
τ τ τ τ τ
Analisi delle tensioni tangenziali τzx
611 2
, 8 0
, 0
575 , 6 8 , 0 6 , 4 313 , 998
16 , 20
cm K
b S I T x
x C
D− = ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ = +
τ
Verifica secondo il criterio di Von Mises
(
zy zx)
ammid σ τ τ σ
σ = 2 +3 2 + 2 <
I punti dove si effettua tale verifica sono i punti A e B.
( )A
( ) ( )
ammid σ
σ = 17,256 2 +30,6112 = 17,288 < verificato!
( )C
( ) ( ) amm
id σ
σ = 7,708 2 +31,3282 +0,6112 = 8,113 < verificato!
