Trasformando il sistema con le opportune unità di misura /,, mḴmḴ , si ha:

(1)

Trasformando il sistema con le opportune unità di misura

(

K ,m,K/m

)

, si ha:

(2)

Il sistema si presenta complessivamente una volta iperstatico, come si dimostra dalla relazione:

(

² ¹ ² ¹ ¹

)

⁰ ¹

2 3

3t−s=l−i → ⋅ − + + + + = − essendo esternamente isostatico e internamente una volta iperstatico.

Di fatto il tronco DCBA è isostatico di partenza e quindi l’iperstaticità ricade sul tronco EFGHI vincolato dalla cerniera in C (reale) e cerniera in D (ideale).

Declassando o la biella BH o la biella BI o la cerniera in B (componente orizzontale) il sistema resta complessivamente isostatico non esistendo il centro assoluto del tronco DCBA.

Contrariamente se si declassasse la cerniera in B (della sua componente verticale) si verificherebbe l’esistenza del centro assoluto (in B), con relativa labilità del tronco DCBA.

Declassando quindi, ad esempio la biella BI, si ottiene il sistema equivalente

Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si ottengono rispettivamente il Sist. (0) e il Sist. (1)

(3)

Sist. (0)

Sist. (1)

(4)

Calcolando le reazioni vincolari dei rispettivi sistemi, si ha:

Sist. (0)

( )















=

 ⇒







= +

⋅

−

⋅

=

− +

=

4 75

4 85 0

0 5 2 40 4 :

0 40 0

A D D

A A D D

y y x

y D M

y y x

Calcolo della biella BH: Eq.ne Aus.ria in C M

( )

C _ABCD ^:y_A⋅³−y_D⋅¹−x_B ⋅¹=⁰ → x_B =³⁵

Sist. (1)

( )

^_





=

 ⇒







=

⋅

−

⋅

= +

=

0 0 0

0 1 4

: 0 0

A D D

D A

A D D

y y x

y y

D M

y y x

N.B. Era evidente il risultato delle reazioni vincolari dal momento che siamo in presenza di un sistema autoequilibrato, in un sistema esternamente isostatico.

Calcolo della biella BH: Eq.ne Aus.ria in C

( )

2

0 1 1 1

2 1 1 3

: _A⋅ − _D⋅ + ⋅ − _B ⋅ = → _B =

ABCD y y x x

C M

Riassumendo i due sistemi equilibrati si presentano come segue:

Sist. (0)

(5)

Sist. (1)

Poiché lo svolgimento dell’esercizio prevede di trascurare gli effetti deformativi dovuti a taglio e sforzo normale, per il calcolo dell’incognita iperstatica, considereremo prioritariamente il calcolo del momento flettente nel sistema 1 per i soli tratti ove esprime contributo.

Infatti dall’equazione di congruenza (Mueller-Breslau)

11 10

1 0

η η

η

−

=

= +

=

X

ricordando che: ⁼

∫

S ⁼

∫

S ds

EJ M ds M

EJ M

M ₁ ₁

11 1

0

10 , η

η

TRATTO M₀ M₁ M₀M₁ ²

M1

IH 2 0≤ z ≤

5z2

−

2

− z ³

2 5 z

2 z2

HG 1

0≤ z≤ ³⁵^z⁻⁵

(

²⁺^z

)

²

( )

2 2

2

1 z

+z +

− ²⁰ ²⁺⁵ ²^z²⁻¹⁵ ²^z 2

CG 2 0≤ z ≤

0

2

− z 0

2 z2

(6)

E sostituendo nell’equazione di congruenza, si ha:

( )

( ) ( )

[ ]

324 , 28 7

2 145 14

3 6

2 145 3

14 6

2 2 35 30 3 2

8

2 2 15 3

2 2 5 20 2 10

3 2

2 2 15 3

2 2 5

20 2

4 5

2

2 15 2

5 2 20 2

5

1 0 2

0 3

1

0 2 3

2

0 4

1

0 2

0 2 1

0

2 2

0

3

2 1

1 0 1

1 1 0

11 10

−

=

−

=

⋅

−

=

−

= +

− +

+

−

=

 +



 







 



 + −

 +



 





−

=

= +

− +

 +



 





−

=

−

=

−

=

−

=

∫

X

z z

X

dz dz

z

dz z z

dz z X

ds M

ds M M EJ ds

M M

EJ ds M M X

S S

η η

Con il calcolo dell’incognita iperstatica ( sforzo assiale biella BI ) abbiamo reso di fatto il sistema, iperstatico iniziale, isostatico.

Impostando quindi un’equazione ausiliaria in C, o sul tronco ABCD o sul tronco EFGCHI, abbiamo modo di ricavare lo sforzo assiale della biella BH

Calcolo della biella BH: Eq.ne Aus.ria in C

( )

C x x K

M _ABCD 1 _B 1 0 _B 29,821

2 324 , 1 7 4 3 85 4

:75⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = → =

(7)

Allo stesso modo, utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, possiamo arrivare al calcolo dello sforzo assiale della biella BH:

( ) X ( ) K

_BH _BH _BH 29,821

2 324 1 , 7

1 35

0 + ⋅ = − ⋅ =

=

Riassumendo il sistema iperstatico (considerate le componenti delle relative bielle BH eBI) risulta così equilibrato:

(8)

Diagrammi

(9)

(10)

Procediamo ora quindi con le opportune verifiche Sezione HE

Nel punto maggiormente sollecitato della struttura (B tratto AB) si ha :

K

T

Kcm M

0 75 , 18

3750

=

−

= +

=

Ricordando le formule che esprimono le tensioni normali e tangenziali :

b I y TS

I M A

_x _x

z

z = σ = τ =

σ , ,

4 3

3 3

3

2

334 , 12 2031

14 5 , 7 2 16 16 12

2

46 14 5 , 7 2 16 16 2

bh cm I BH

cm bh

BH A

⋅ =

⋅

−

= ⋅

= −

=

⋅

−

⋅

=

−

=

(11)

ne calcoleremo i valori nei punti più significativi ( A , B , C )

( )

₂

2

769 , 14 334 8

, 2031

3750 0

cm y K

I M

cm K

A

A x

x

A + ⋅ − = −

=

σ σ

( )

0

923 , 12 334 7

, 2031

3750

2

=

−

=

− + ⋅

=

C x

x C

B x

x B

I y M

cm y K

I M

σ σ

(12)

Analisi delle tensioni tangenziali

Analisi delle tensioni tangenziali τ_zy

) 2 (

) (

069 , 16 0

5 , 7 1 16 334 , 2031

75 , 18

0 0

cm K

b S I T

S poichè b

S I T

x x ALA B

A x x

x A

−

⋅ =

⋅ ⋅

= −

⋅

=

⋅

=

τ τ

( )

) 2 (

334 , 5 1

, 3 1 7 5 , 7 1 16 75 , 18

108 , 1 1

5 , 7 1 16 334 , 2031

75 , 18

K

S T

cm K

b S I T

x C

x x AIMA B

−

⋅ =

⋅ +

⋅

⋅ ⋅

= −

⋅

=

−

⋅ =

⋅ ⋅

= −

⋅

=

τ τ

(13)

Analisi delle tensioni tangenziali τ_zx

519 2

, 1 0

5 , 7 5 , 7 334 , 2031

75 , 18

cm K

b S I T _x

x B

A ⋅ = −

− ⋅

=

⋅

− = τ

Operiamo la verifica utilizzando il criterio di Von Mises

(

zy zx

)

amm

id σ τ τ σ

σ = ² +3 ² + ² <

I punti ove effettueremo tale verifica sono i punti A e B.

( ) ( )

amm

A

id cm

K

cm

K σ

σ ₋ = −14,769 ² +30,519² =14,796 ₂ < 19 ₂ = (verificata)

( ) ( )

amm

B

id cm

K

cm

K σ

σ ₋ = −12,923 ² +31,108² +0,519² =13,096 ₂ < 19 ₂ = (verificata)