Trasformando il sistema con le opportune unità di misura /,, mḴmḴ , si ha:

(1)

Trasformando il sistema con le opportune unità di misura

(

^K ^,^m^,^K^/^m

)

^{, si ha:}

(2)

Ystudio Corsi lezioni ed esercizi svolti di Matematica, Statica e Scienza delle costruzioni Firenze - www.ystudio.it - [email protected]

Il sistema si presenta complessivamente una volta iperstatico, come si dimostra dalla relazione:

(

2 1 1

)

0 1 1

3

3t−s=l−i → ⋅ − + + = −

essendo esternamente isostatico e internamente una volta iperstatico.

Declassando la biella BE il sistema resta complessivamente isostatico non esistendo il centro assoluto del tronco ABCDEF.

Declassando quindi la biella BE, si ottiene il sistema equivalente

Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si ottengono rispettivamente il Sist. (0) e il Sist. (1)

(3)

Sist. (0)

Sist. (1)

(4)

Calcolando le reazioni vincolari dei rispettivi sistemi, si ha:

Sist. (0)

( )

^^





=

−

=

⇒











=

⋅

−

⋅

−

⋅

=

− +

= +

20 10

5

0 3 2 5 30 3 3 :

0 30 0 5

F A A

F F A A

y y x

y A M

y y x

Sist. (1)

( )

^_





=

 ⇒







=

⋅

= +

=

0 0 0

0 3 :

0 0

F A A

F F A A

y y x

y A M

y y x

N.B. Era evidente il risultato delle reazioni vincolari dal momento che siamo in presenza di un sistema autoequilibrato, in un sistema esternamente isostatico.

Riassumendo i due sistemi equilibrati si presentano come segue:

Sist. (0)

(5)

Sist. (1)

Poiché lo svolgimento dell’esercizio prevede di trascurare gli effetti deformativi dovuti a taglio e sforzo normale, per il calcolo dell’incognita iperstatica, considereremo prioritariamente il calcolo del momento flettente nel sistema 1 per i soli tratti ove esprime contributo.

Infatti dall’equazione di congruenza (Mueller-Breslau)

11 10

1 0

η η

η

−

=

= +

=

X

ricordando che: ⁼

∫

S ⁼

∫

S ds

EJ M ds M

EJ M

M ₁ ₁

11 1

0

10 , η

η

TRATTO M₀ M₁ M₀M₁ ²

M1

BC 1 0≤ z≤

(

1+z

)

5

2

z z z

2 5 2

5 ₂ +

2 z2

EC 1

0≤ z≤ 20

(

2+z

) (

−52+z

)

²

2

z _z3 ₁₀ ₂_z

2

5 +

−

2 z2

(6)

E sostituendo nell’equazione di congruenza, si ha:

( )

400 , 8 27

2 3 155

2 12

155

3 1

2 12

150 20 15

3 1

2 2

25 2 3

5 2 4

5

3

2 2

25 2

3 5 2

4 5 2

25 2

5 2

5

1

0 3

1

0 2 3

4

1

0 2 1

0

2 3

2 1

1 0 1

1 1 0

11 10

−

=

−

=

⋅

−

= + +

−

= +

+

−

=



 







 



− + +

−

=



 



− + +

−

=

−

=

−

=

−

=

∫

X

z

z z

z

dz z

dz z z

z X

ds M

ds M M EJ ds

M M

EJ ds M M X

S S

η η

Con il calcolo dell’incognita iperstatica ( sforzo assiale biella BE ) abbiamo reso di fatto il sistema, iperstatico iniziale, isostatico

Riassumendo, il sistema iperstatico (considerate le componenti della relativa biella BE) risulta così equilibrato:

(7)

Diagrammi

(8)

(9)

Procediamo ora quindi con le opportune verifiche Sezione HE

Nel punto maggiormente sollecitato della struttura (E tratto CE) si ha :

K

T

Kcm M

375 , 19

2000

−

= +

=

Ricordando le formule che esprimono le tensioni normali e tangenziali :

b I y TS

I M A

x x x

x z

z = σ = τ =

σ , ,

4 3

3 3

3

2

076 , 12 939

4 , 14 6 , 3 2 16 8 12

2

32 , 24 4 , 14 6 , 3 2 16 8 2

bh cm I BH

cm bh

BH A

⋅ =

⋅

−

= ⋅

= −

=

⋅

−

⋅

=

−

=

(10)

ne calcoleremo i valori nei punti più significativi ( A , B , C )

( )

₂

2

038 , 17 076 8

, 939

2000

797 , 32 0

, 24

375 , 19

cm y K

I M

cm K

A

A x

x

A = = + ⋅ − = −

−

− =

=

σ σ

( )

0

908 , 14 076 7

, 939

2000

2

=

−

=

− + ⋅

=

C x

x C

B x

x B

I y M

cm y K

I M

σ σ

(11)

Analisi delle tensioni tangenziali

Analisi delle tensioni tangenziali τ_zy

) 2 (

) (

125 , 8 0

6 , 7 8 , 0 8 076 , 939

375 , 19

0 0

cm K

b S I T

S poichè b

S I T

x x ALA B

A x x

x A

+

⋅ =

⋅ ⋅

= +

⋅

=

⋅

=

τ τ

( )

2 ) 2

(

789 , 8 1

, 0

6 , 3 8 , 0 2 , 7 6 , 7 8 , 0 8 076 , 939

375 , 19

254 , 8 1

, 0

6 , 7 8 , 0 8 076 , 939

375 , 19

cm K

b S I T

cm K

b S I T

x x C

x x AIMA B

+

⋅ =

⋅ +

⋅

⋅ ⋅

= +

⋅

=

+

⋅ =

⋅ ⋅

= +

⋅

=

τ τ

(12)

Analisi delle tensioni tangenziali τ_zx

706 2

, 8 0

, 0

6 , 7 6 , 3 076 , 939

375 , 19

cm K

b S I T _x

x B

A ⋅ = +

+ ⋅

=

⋅

− = τ

Operiamo la verifica utilizzando il criterio di Von Mises

(

zy zx

)

amm

id σ τ τ σ

σ = ² +3 ² + ² <

I punti ove effettueremo tale verifica sono i punti A e B.

( ) ( )

amm

A

id cm

K

cm

K σ

σ ₋ = −17,835 ² +30,706² =17,877 ₂ < 19 ₂ = (verificata)

( ) ( )

amm

B

id cm

K

cm

K σ

σ ₋ = −15,705 ² +31,254² +0,706² =15,902 ₂ < 19 ₂ = (verificata)