unità di misura  unità di misura del LAVORO

ENERGIA

capacità potenziale di compiere lavoro meccanico

unità di misura  unità di misura del LAVORO

FORME di ENERGIA :

(evidenziate direttamente o nelle

trasformazioni da una forma all'altra)

- cinetica

- potenziale gravità - potenziale elastica - potenziale elettrica

- termica (1kcal=4186J) - chimica

- nucleare - ...

- ...

PRINCIPIO di CONSERVAZIONE dell'ENERGIA

2

Ad esempio in una centrale idroelettrica l’acqua contenuta in un bacino sopraelevato viene incanalata nella centrale, dove mette in rotazione le turbine. Un alternatore trasforma l’energia di rotazione delle turbine in energia elettrica

L’energia non si crea ne` si distrugge ma si trasforma

Quanti joule sono...

Attività

Attività Lavoro (J)Lavoro (J)

Utilizzazione annuale

di energia in Italia 10¹⁹ Cibo mangiato in media

in un giorno da una persona

10⁷

Lampadina da 100 W per 1 minuto 6 10³

1 battito del cuore 0.5

Salto di una pulce 10^-7

Rottura di un legame di DNA 10^-20

3

Forze conservative e non conservative

La gravità è una forza conservativa

=

il lavoro fatto dalla persona viene restituito dalla

gravità

La gravità è una forza conservativa

=

il lavoro fatto dalla persona viene restituito dalla

gravità

L’attrito è una forza non conservativa

=

il lavoro fatto dalla persona nonnon viene restituito dall’attrito L’attrito è una forza

non conservativa

=

il lavoro fatto dalla persona nonnon viene restituito dall’attrito

4

Forze conservative e non conservative

Il lavoro compiuto contro una forza Il lavoro compiuto contro una forza conservativa può essere utilizzato sotto conservativa può essere utilizzato sotto

forma di energia cinetica forma di energia cinetica

sì no

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La forza gravitazionale è conservativa

L_totale = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA = 0-mgh + 0 + mgh = 0

L=0 L=0

L= - mgh L=mgh

montagne russe

6

L’attrito è una forza non conservativa

L_totale = L_AB + L_BC + L_CD + L_DA = -4m_kmgd

Vista dall’alto

L= - m_kmgd

L= - m_kmgd

L= - m_kmgd

L= - m_kmgd

L_AB =  7

F_attr × ds

A

òB ^{= -mkmgd} Il lavoro dipende dal percorso scelto. Se si andasse da A a B procedendo a zig-zag il lavoro sarebbe maggiore perché si farebbe più strada

FORZE CONSERVATIVE

y x z

B

L⁽¹⁾_{A B} = L⁽²⁾_{A B} = L⁽³⁾_{A B} = ...

A (1)

(3) (2)

oppure Llinea chiusa = 0 L_{A B} + L_{B A} = 0

 

L_{A B} = f (A,B)

A x_A, y_A, z_A B x_B, y_B, z_B



Il lavoro per passare da A a B dipende

solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo e non dal cammino seguito

A

B

ESEMPI :

F = costante forza peso p = mg forza di gravità

forza elettrostatica F = – K x forza elastica

F  1/r²

conseguenze formali ENERGIA POTENZIALE

FORZE CONSERVATIVE

L_{A B} = f (A,B)

A x_A, y_A, z_A B x_B, y_B, z_B

U(x,y,z)  ENERGIA POTENZIALE: funzione delle coordinate ENERGIA POTENZIALE

L_AB = f(A) - f (B) = U(A) -U(B) = U(x_A,y_A,z_A) -U(x_B, y_B,z_B)

F = costante forza peso p = mg L=-mg(y_B-y_A)=mg(y_A-y_B) forza di gravità L=-Gm₁m₂(1/r_A-1/r_B)

forza elettrostatica L=kq₁q₂(1/r_A-1/r_B) F = – K x forza elastica

F  1/r²

L= -k/2(x_B²-x_A²)=k/2(x_A²-x_B²)

Per la forza peso : F=mg L=-mg(y_B-y_A)=-mgh=-U

U = U_B-U_A= m g h

Spesso si assume come riferimento la superficie terrestre assegnando ai corpi che vi si trovano energia potenziale nulla (U=0) mentre a tutti quei corpi che sono all'altezza h rispetto al suolo hanno un’energia potenziale U=mgh

(che, in questo caso, dipende solo dalla coordinata y e non dalle coordinate orizzontali)

Differenza di ENERGIA POTENZIALE

CONSERVAZIONE dell'ENERGIA MECCANICA

Per FORZE CONSERVATIVE

E_meccanica = U + T = costante

Nel caso della forza peso : U=mgh L = T = T_B -T_A

L = -U = U_A -U_B üý

þT_B -T_A =U_A -U_B Þ T_A +U_A = T_B +U_B

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F = costante

forza peso p = mg U=mgh

U

h

forza di gravità U=-Gm₁m₂1/r F  1/r²

forza elettrostatica U=kq₁q₂1/r

U

r

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F = – K x forza elastica U=kx²/2

E=T+U(x)=cost.

-x_o

U

x

x_o

Moto oscillatorio tra –x_o e +x_o, dove l’energia meccanica è

solo energia potenziale mentre in x=0 è solo energia cinetica

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Conservazione dell’energia meccanica

• Moto di un oggetto lasciato cadere da una altezza h

• Moto armonico: pendolo semplice

• Moto di un oggetto soggetto alla forza gravitazionale e velocità di fuga

• Legame chimico tra due atomi di una molecola biatomica

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Potenza

La potenza è una grandezza fisica scalare che ci permette di confrontare diversi lavori sulla base dei tempi in cui vengono compiuti, la potenza misura la velocita` con cui si compie il lavoro

P = L

t

Potenza istantanea

(1CV=735.5W)

P = dL

dt = F cosqds

dt = F cosq ^ds

dt = Fvcosq =  F × v

Potenza media

[lavoro][t]^-1 = [M][L] [t]^–2 [L] [t]^–1= [M][L]²[t]^–3

Watt (W) = J/s

Unità di misura nel S.I:

Dimensioni:

Esercizio

Calcolare il lavoro fatto da una persona di m = 80 kg per salire un piano di scale con dislivello = 3.0 m

Calcolare la potenza sviluppata, se le scale sono salite in t = 20.0 s

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Soluzione

J 2300 )(3.0m)

ms kg)(9.8

(80 mgh

Δh w

Δh F

L = × = × = = ^-2 =

W s 120

20.0 J 2300

t

P = L = =

lavoro fatto da una persona di m = 80 kg

per salire un piano di scale con dislivello = 3.0 m

potenza sviluppata,

se le scale sono salite in t = 20.0 s

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19

Esempi:

1) una donna spinge una macchinina inizialmente ferma, verso un bambino

esercitando una forza orizzontale costante F=5N per una distanza d=1m.Calcolare

•Il lavoro che viene compiuto sulla macchinina

•L’energia cinetica finale della macchinina

•Se la macchinina ha una massa m=0.1kg qual’è la sua velocità finale

Arrivata al bambino questo la ferma applicando una forza

F’ costante per un tratto d’=0.25m (supponiamo trascurabile l’attrito).

•Si calcoli F’

L=Fd=5 * 1=5J

Se non ci sono altre forze il lavoro totale L=Fd=5 * 1=5J=T_f-T_i T_i=0 e quindi T_f=5J

T=1/2 * mv² v=√(2T_f/m)

Se non ci sono altre forze il lavoro totale L=F’d’=F’d’cos180^o

L=T_f-T_i T_f=0 e T_i=5J quindi F’=- L/d’=- (-5J)/0.25=20N modulo della forza F’

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F P N



x

h-h_o=xsin

T_i=1/2mv_i²

Lavoro fatto dalla forza F L_F=Fx

Lavoro fatto dalla forza P L_P=-mgxsin=-mg(h-h_o)

L_tot=L_F+L_P=T_f-T_i L_P=-(U_f-U_i)

Dipende solo dalla differenza delle altezze del punto finale e del punto iniziale e non

dall’angolo 

Definiamo mgh=U-Uo la variazione di energia potenziale della macchinina

• Se prendiamo alla base del piano h_o=O ÞUo=0 allora U=mgh

•E quindi nel punto x della salita U=mgh

2) un bambino spinge una macchinina su per una salita, supponendo le forze d’attrito trascurabili calcolare il lavoro

L_F=(T_f-T_i)+(U_f-U_i)

21

•Giro della morte: una pista circolare di raggio r=2.4m qual’è la minima velocità con cui il motociclista deve imboccare la pista per poter percorrerla completamente (si supponga attriti trascurabili e che il motociclista proceda in folle una volta imboccata la pista)

F_c = mv² r

F_c = P + N

Nelle condizioni di perdita di contatto N=0 e v²= gr è la velocità che il m. deve avere nel punto più alto.

Se il motociclista vuole arrivare nel punto più alto della pista con v²= gr con quale velocità deve imboccare la pista?

T_i + U_i = T_f + U _f 1

2 mv^2f - 1

2 mv_min² = -mg2r v_min² = 4gr + gr

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Una cassa da 2000N viene spinta su per una rampa inclinata di 37⁰. Il coefficiente di attrito dinamico m_d=0.2. Calcolare:

•La forza minima necessaria per trascinare la cassa su per la rampa,

•L’accelerazione che la cassa avrebbe se venisse lasciata andare giù per la rampa

F_app

Tre biglie: tre biglie di ugual massa vengono lanciate dall’altezza di un tavolo h con velocità uguale in modulo, ma diversamente orientata

h

1 2 3

Con quale velocità in modulo le tre biglie arrivano a terra:

V1=V2=V3

[1.5*10³N]

[4.3 m/s²]

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Appendice: conservazione della quantità di moto

24 Una forza impulsiva è una forza che agisce per un lasso di tempo molto breve (tipicamente dell'ordine del ms).

Il carattere impulsivo di una forza è la caratteristica fondamentale degli urti: durante un urto, per esempio tra due biglie d'acciaio, le forze interne che governano l'interazione delle biglie sono sempre di molti ordini di grandezza più intense delle forze esterne, quali ad esempio la forza gravitazionale. Questa grande differenza di intensità permette di trascurare le forze esterne e considerare il sistema come se fosse isolato (permettendo, tra l'altro di utilizzare la

conservazione della quantità di moto).

Per la loro stessa natura l'intensità massima delle forze impulsive risulta essere molto alta e difficilmente se ne può determinare con precisione l'andamento nel tempo. Per studiare fenomeni in cui agiscano forze di questo genere torna utile il teorema dell'impulso.

Esempi di forze impulsive sono la forza cui è soggetta una pallina durante il rimbalzo a terra, quella esercitata da un martello, le forze che si sviluppano durante un'esplosione, etc.

Appendice: forze impulsive

25 Esempio

Consideriamo il caso di una palla da tennis regolamentare, di massa m = 58 g e diametro d = 6.5 cm che cada per terra da una quota h pari a 2 metri. Orientiamo l'asse di riferimento verticale verso l'alto: le velocità dirette verso l'alto sono positive, quelle dirette verso il suolo sono negative.

Nell'istante t₀=0 in cui avviene il contatto tra il suolo e la palla, essa ha acquisito una velocità v₀ pari a

la velocità media del centro di massa della palla durante la compressione può essere approssimata con:

Supponiamo che la palla si schiacci durante l'urto fino ad accorciarsi del 25% del suo diametro originale, cioè di una lunghezza =0.25d=1.625cm; possiamo quindi stimare il tempo di contatto tra palla e suolo come:

Dal teorema dell'impulso, possiamo calcolare la forza media che agisce sulla pallina utilizzando la media integrale:

v₀ = - 2g(h- d/2) = -621.11cm/s

v » 0+ v₀

2 = -310.56cm/s

t = 2

v @ 0.01s

26 È evidente che tale forza è di molti ordini di grandezza superiore alle forze esterne in quel momento agenti sulla palla: la forza di gravità vale infatti solo:

da cui:

cioè la forza impulsiva è più di due ordini di grandezza più intensa della forza di gravità. Questo permette di trascurare durante l'urto la forza gravitazionale e considerare il sistema palla+parete un sistema isolato. Da notare che per fornire la stima del modulo della forza agente durante l'urto non abbiamo avuto bisogno della conoscenza dettagliata della dinamica della deformazione. Naturalmente avendo a disposizione una relazione esplicita della forza in funzione della compressione si sarebbe potuto integrare le equazioni del moto direttamente dalla seconda legge di Newton nella forma d²x/dt²= f(x)/m, che rappresenta un'equazione differenziale del secondo ordine.

f

f_g @1.26× 10²

f_g = mg@ 0.57N