ESERCIZI su INTEGRALI DOPPI

ESERCIZI su INTEGRALI DOPPI

Stabilire se i seguenti insiemi risultano domini normali e nel caso esprimerli come tali 1. D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  4, x y + 2 }

2. D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  2, y x ² } 3. D = {(x, y) 2 R ² | x ²  y  1 |x|}

4. D = {(x, y) 2 R ² | 2x ² + y ²  2, 0  y  1}

5. D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  1, x ² + y ²  2x, y 0 } 6. D = {(x, y) 2 R ² | 1  x ² + y ²  4, y |x|}

Calcolare i seguenti integrali doppi nel dominio indicato 7.

ZZ

D

x ² y + 2yx dx dy essendo D il triangolo di vertici (1, 1), (1, 2) e (2, 2).

8.

ZZ

D

cos x cos ydx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | sin x  y  x, x 2 [0, ^⇡ ₂ ] } 9.

ZZ

D

xy dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  2, x  y ² , y 0 };

10.

ZZ

D |x 1 | dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | p

2y y ²  x  2 y, y 0 };

11.

ZZ

D x

(x

+y

)

dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | 1  x ² + y ²  4x, 0  y  p 3x };

12.

ZZ

D

x dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | |2y x |  2, |2y + x|  2};

13.

ZZ

D

log x dx dy dove D `e la regione del primo quadrante compresa tra la retta 2x + 2y = 5 e l’iperbole xy = 1.

Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti corpi piani della densit` a di massa indicata.

14. D = {(x, y) 2 R ² | 4x ² + y ²  4, 0  y  2x}, di densit`a di massa costante;

15. D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  1, y p

3x, } di densit`a di massa (x, y) = |y|

16. D = {(x, y) 2 R ² | 1  ^x ₄

+ y ²  4, x 0 }, di densit`a di massa (x, y) = x;

17. D = {(x, y) 2 R ² | 1  x ² + y ²  2y, x 0 }, di densit`a di massa costante;

18. D `e un settore circolare di apertura 2↵ e raggio r, di densit` a di massa costante.

Calcolare il volume dei seguenti solidi

19. S = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ²  4, z 1 } 20. C = {(x, y, z) 2 R ³ | 0  z  2 p

x ² + y ²  1}

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