ESERCIZI su INTEGRALI DOPPI e SUPERFICIALI

ESERCIZI su INTEGRALI DOPPI e SUPERFICIALI

Calcolare i seguenti integrali doppi nel dominio indicato 1.

ZZ

D

xy dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  2, x  y ² , y 0 };

2.

ZZ

D |x 1 | dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | p

2y y ²  x  2 y, y 0 };

3.

ZZ

D x

(x

+y

)

dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | 1  x ² + y ²  4x, 0  y  p 3x };

4.

ZZ

D

x dx dy dove D = {(x, y) 2 R ² | |2y x |  2, |2y + x|  2};

5.

ZZ

D

log x dx dy dove D `e la regione del primo quadrante compresa tra la retta 2x + 2y = 5 e l’iperbole xy = 1.

Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti corpi piani di densit`a di massa indicata.

6. D = {(x, y) 2 R ² | 4x ² + y ²  4, 0  y  2x}, di densit`a di massa costante;

7. D = {(x, y) 2 R ² | x ² + y ²  1, y p

3x, } di densit`a di massa (x, y) = |y|

8. D = {(x, y) 2 R ² | 1  ^x ₄

+ y ²  4, x 0 }, di densit`a di massa (x, y) = x;

9. D = {(x, y) 2 R ² | 1  x ² + y ²  2y, x 0 }, di densit`a di massa costante;

10. D `e un settore circolare di apertura 2↵ e raggio r, di densit`a di massa costante.

Calcolare i seguenti integrali di superficie 11.

Z

S

x d essendo S la superficie (u, v) = (2uv, u ² v ² , u ² + v ² ), u ² + v ²  1 12.

Z

S

z d essendo S la superficie avente per sostegno il cono z = 1 p

x ² + y ² con z 0.

13.

Z

@T

y d essendo T = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ²  1, x ² + y ² + z ²  4, z 0 }.

Calcolare l’area delle seguenti superfici

14. La superficie S avente per sostegno la porzione di parabolide z = x ² + y ² con z 2 [0, 4];

15. La superficie S avente per sostegno la calotta sferica x ² + y ² + z ² = 1 di altezza ¹ ₂ . 16. La superficie S avente per sostegno la regione della sfera x ² + y ² + z ² = 1 con z 2 [0, ¹ ₂ ].

17. La superficie ottenuta dalla rotazione dell’arco di circonferenza (x 2) ² + z ² = 1 con z 0, x  2 attorno all’asse z di un angolo di ⇡ radianti.

18. L’elicoide (t, s) = (as cos t, as sin t, bt) con (t, s) 2 [0, 4⇡] ⇥ [0, 2].

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