1 Integrali doppi.

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 15 marzo 2015

1 Integrali doppi.

1.1 Integrali doppi.

Risolvere i seguenti integrali doppi sull'insieme D.

1. Z Z

D

(5y + 2x) dxdy, D =(x, y) ∈ R²: 0 ≤ y ≤ 4 ∧√

y ≤ 0 ≤ 4

2. Z Z

D

x³+ y
dxdy, D = (x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 2 ∧ y ≤ x²∧ x ≥ 0

3. Z Z

D

x³+ xy + x²arctan x
dxdy, D = (x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 2 ∧ y ≤ x²

4. Z Z

D

p|xy| dxdy, D =n

(x, y) ∈ R²: |y| ≤√

3 ∧ y²≤ x ≤ 3o

5. Z Z

D

xy dxdy, D = triangolo A (1; 1) , B (3; 3) , C (1; 5)

6. Z Z

D

1

x²+ y²+ 1dxdy, D =n

(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x²+ y²≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ x√ 3o

7. Z Z

D

|xy| dxdy, D =(x, y) ∈ R²: y ≥ 0 ∧ x²+ y²≤ 1

8. Z Z

D

xy dxdy, D =(x, y) ∈ R²: y ≥ 0 ∧ x²+ y²≤ 1

9. Z Z

D

cos (x + y) e^x−ydxdy, D =n

(x, y) ∈ R²: |x + y| ≤ π

2 ∧ |y − x| ≤ 1o

10. Z Z

D

e^x2+y

2x + 3y − 1dxdy, D =(x, y) ∈ R²: 0 ≤ x + 2y ≤ 2 ∧ −3 ≤ 2x + 3y ≤ −1

1

1.2 Integrali di supercie.

1. Calcolare l'area della supercie cartesiana σ di equazione z = ¹₂ x²+ 2y²

limitata al dominio D =

(x, y) ∈ R²: x²+ 4y²≤ 8 .

2. Risolvere il seguente integrale di supercie.

Z Z

σ

1

z⁴ dσ (1.1)

Sulla supercie σ di equazione z = √ ¹

x²+y² ristretta al dominio D =n

(x, y) ∈ R²: ¹₂ ≤p

x²+ y²≤ 1o.

3. Risolvere il seguente integrale di supercie.

Z Z

σ

pz + y²

p1 + 4x²+ 4y² dσ (1.2)

Sulla supercie σ di equazione z = x²−y²ristretta al dominio D = (x, y) ∈ R²: x²+ 4y²≤ 4 ∧ x²+ y²≥ 1 .

1.3 Applicazioni dei doppi integrali alla sica.

1. Si dimostri che il momento d'inerzia di un disco cavo di massa m, raggio interno ri e raggio esterno reè I = ¹₂m r²_i + r²_e
.

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