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n bn an −3 4

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Academic year: 2021

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Problem 12220

(American Mathematical Monthly, Vol.127, December 2020) Proposed by D. M. Batinetu-Giurgiu and N. Stanciu (Romania).

Letan =Pn

k=11/k2andbn=Pn

k=11/(2k − 1)2. Prove

n→∞lim n bn

an −3 4



= 3 π2.

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

Solution. Since bn= a2n−an

4 , as n → ∞, n bn

an −3 4



= n a2n an −1



= n an

n

X

k=1

1

(n + k)2 = 1 an · 1

n

n

X

k=1

1

(1 + k/n)2 → 3 π2 because

an →π2

6 and 1 n

n

X

k=1

1

(1 + k/n)2 → Z 1

0

dx (1 + x)2 = 1

2.



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