i) se an∼ bn per n

Analisi Matematica 1, a.a. 2009-2010

Complementi sul confronto asintotico per le serie.

Teorema del confronto asintotico

Siano a_n e b_n due successioni a valori positivi.

i) se an∼ bn per n → ∞ (cio`e, limn→+∞ an

b_n = 1), P+∞

n=1a_n`e convergente se e solo seP+∞

n=1b_n `e convergente.

ii) Se an= o(bn) per n → +∞ (cio`e, limn→+∞ an

b_n = 0), seP+∞

n=1b_n`e convergente alloraP+∞

n=1a_n `e convergente.

iii) Se bn= o(an) per n → +∞ (cio`e, limn→+∞ an

b_n = +∞), seP+∞

n=1bn`e divergente alloraP+∞

n=1an `e divergente.

Confronto asintotico con P 1 n^p

Sia an, una successione a termini positivi.

i) Se per qualche p > 1 si ha lim_n→+∞n^pa_n= L ∈ [0, +∞), alloraP+∞

n=1a_n `e convergente.

ii) Se per qualche p ≤ 1 si ha limn→+∞n^pan = L ∈ (0, +∞], alloraP+∞

n=1an `e divergente.

Scala di serie convergenti/divergenti P+∞

n=2 1

n^α(log n)^β `e convergente 1) per α = 1 e β > 1,

oppure

2) per α > 1 e ∀β ∈ R.

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